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第一節(jié)中值定理一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小結(jié)一、羅爾(Rolle)定理曲線y=f(x)在[a,b]上是一條連續(xù)的曲線弧。2.除端點(diǎn)外處處有不垂直于x

軸的切線。3.兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等。結(jié)論：在曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)C處，曲線有水平的切線。若記C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為例如,證明：不妨設(shè)證明：證由費(fèi)馬引理有證注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.例1解：二、拉格朗日(Lagrange)中值定理曲線y=f(x)在[a,b]上是一條連續(xù)的曲線弧。2.除端點(diǎn)外處處有不垂直與x

軸的切線。結(jié)論：在曲線上至少存在一點(diǎn)C

，在該點(diǎn)的切線平行于弦（２）顯然，當(dāng)b<a

時(shí)，公式（１）或（２）亦成立（1）又可寫成兩點(diǎn)說明：成立。證：分析:弦AB方程為作輔助函數(shù)證：分析:弦AB方程為拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.作輔助函數(shù)拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論證明：注意：區(qū)間Ｉ可以是任意形狀的區(qū)間．例3證例4證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理在拉格朗日定理中，若曲線的方程為參數(shù)方程而曲線在C

點(diǎn)處的切線斜率為思考題：柯西定理能不能用下列方式證明？為什么？因?yàn)镕(x)和f(x)在[a,b]上均滿足拉氏定理?xiàng)l件，理由：（1）和（2）式中的一般不相同。柯西定理也常用來證明一些等式和不等式。例4證分析:結(jié)論可變形為四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.思考題

試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.思考題解答不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿足在開區(qū)

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