2019年高考數(shù)學試卷（理科）（新課標2）答案解析

絕密★啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學氯頁：.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。.作答時，務必將答案寫在答題卡上,寫在本試卷及草穗灶無效..考蠅束后，將本試卷和答題旨-并交回。一、選擇本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項巾，只有一項是符合題目要求的.1設集合4={kR-5x+6>0),B={r|x-l<0),則A5,1) B(-2,1)C.(-3,-1) D,(3,+叼【答案】A【解析】【分析】先求出集合A,再求出交集.【詳解】由題意得，幺=1卜〈2或x〉3),8={x|x<l),則加3={中<1}.故選A.【點睛】本題考點為集合的運算，為基礎題目..設x-3+21,則在復平面內(nèi)￡對應的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共施復數(shù)再判斷結(jié)果.【詳解】由z=-3+2/,得￡=-3-2，則3=-3-2,對應點(3-2)位于第三象限.故選C.【點睛】本題考點為共筑復數(shù)，為基礎題目.tiAW l_l_u I <▲AV/<▲▲Y.已知初=C，3),/C=(3,f),|5C|=1,貝A.-3 B.-2

D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量三角形法則求出t,再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由aC=4C-H8=(L"3),|SC|=Jl2+(i-3)3=1,得f=3,貝iJ8C=(l,0),(2,3)0(10)=2x14-3x0=2.故選C.【點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎知識和基本技能，難度不大.4.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日&點的軌道運行.4點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,A點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，『滿足方程：M\+%一修+廣)監(jiān)(&+，)/儲一次+隈設感=』，由于)的值很小，因此在近似計算中竺鳥獸1fs34,貝心的近似值為R (1+a)3A,阪 B,摩C.3—Ar D.3—i-Rq必 q3Ml【答案】D【解析】【分析】【詳解】由。=方，得尸=人？R因為監(jiān)汗牛=【詳解】由。=方，得尸=人？R因為監(jiān)汗牛=(K+r)牛，w(R+r>r2 &3，愿你以渺小啟程,以偉大結(jié)束。所以--M- =(1+底)件，'"(1+4)2 4/ ' 2'an^2.=c^rn+cr)--1—1=儲+讓+3,^cr3即aK)(1W (1+0)2 '【點睛】由于本題題干校長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復雜式子的變形出錯.5.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差【答案】A【解析】【分析】可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案.【詳解】設9位評委評分按從小到大排列為々工與4X3工%L<^<x9.則：1：原始中位數(shù)為x5，去掉最低分再，最高分勺，后剩余<x4L工,中位數(shù)仍為X5,..A正確.口原始平均數(shù)x=}(再+X2+X3+ZL+/+xQ,后來平均數(shù)x'=；(x?+/+x,L+5)平均數(shù)受極端值影響較大，二x與7不一定相同，B不正確③s，=g[(七-Ny+(公一/y+L+(與一下)[s'?=72-/)+(/-/)+L+(%-x)|由⑵易知，C不正確.Q原極差=演一再,后來極差=x&-與可能相等可能變小，D不正確.【點睛】本題旨在考查學生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.6若。>匕，則A.ln(flrd)>0 B.3-<?

D.C.a3-爐＞0D.【答案】C【解析】【分析】本題也可用直接法，因為,所以a-3>0,當a-3=1時，ln(a-h)=0,知A錯，因為y=3"是熠函數(shù)，所以3,>33故B錯;因為黑函數(shù)y=/是增函數(shù)，。，所以/>/,知C正確取a=1,8=-2>滿足a>》，1=同<網(wǎng)=2,知D錯.【詳解】取。=2,6=1,滿足a>b,ln(a—b)=0,知A錯，排除A;因為9=3*>3*=3,知B錯，排除B；取a=1乃=一2,滿足a>b,1=?<網(wǎng)=2,知D錯，排除D,因為黑函數(shù)丁=/是增函數(shù)，a>b>所以/>/,故選C.【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、幕函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.7設a,夕為兩個平面，則a〃夕的充要條件是a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行a內(nèi)有兩條相交直線與0平行a,。平行于同一條直線a,A垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知：)內(nèi)兩條相交直線都與月平行是感〃聲的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若威〃聲,則)內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以與內(nèi)兩條相交直線都與「平行是的必要條件，故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如:“若aua,bufl,aHb,則a!1/3”此類的錯誤.

s若拋物線/1=*r（p>0）的焦點是橢圓J+匕=1的一個焦點，貝”=3PPA.2 B.3C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于P的方程，即可解出尸，或者利用檢蛤排除的方法，如P=2時，拋物線焦點為（1,0）,橢圓焦點為（±2,0）,排除A,同樣可排除B,C,故選D.【詳解】因為拋物線V=2px（p>0）的焦點（號,0）是橢圓江+廣=1的一個焦點，所以3p-p=（馬"2 3P夕 2解得P=8,故選D.【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng).9.下列函數(shù)中，以令為周期且在區(qū)間（：，］津調(diào)遞增的是A.Xr）=|cos2x| B.尸|sin2x|C.Xx）-cos|x| D.Xx）-sin|x|【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇.【詳解】因為V=sin|x|圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為1y=cos|x|=cosx,周期為2*,排除C,作出y=卜052引圖象，由圖象知，其周期為｝在區(qū)間（J,f）單調(diào)遞增,A正確作出y=Mn2x|的圖象，由圖象知，其周期為《，在區(qū)間（g，g）單調(diào)遞減，排除B,故選A.2 42

【點、睛】利用二級結(jié)論：：函數(shù)丁=【點、睛】利用二級結(jié)論：：函數(shù)丁=|/(x)|的周期是函數(shù)，=/(X)周期的一半；②y=sin|ox|不是周期函數(shù);10已知魔e(0,—),2sin2o6=cos2ot+-l,則sinot=10B.V5A.B.V5A.【答案】Br解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案.【詳解】Q2sm2a=cos2a+1,4sinacosa=2cos2a.Qaesina>0,2sma=cosa,又sin2a+cos2cr=l,..5sin2a=l,sin'a=-，又sin<x>0,【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺.11設歹為雙曲線G4-1=1（a>0,b>0）的右焦點，。為坐標原點，以。9為直徑的圓與圓過川］3ab交于尸、Q兩點.若尸。1=1。如，則C的離心率為A.72 B./C.2 D.6【答案】A【解析】【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率.【詳解】設尸。與x軸交于點，，由對稱性可知P0_Lx軸，又Q\PQ\=\OF\=c,.-.|E4|=p..產(chǎn)工為以。歹為直徑的圓的半徑，:力為圓心|。川=1.二產(chǎn)停J又0點在圓"上，【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，畝題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.11設函數(shù)/(Q的定義域為R,滿足/(x+l)=2/(x),且當xe(O函時,/(力=?T)若對任意Oxe(-8,w],都有/(琦2-§,則，”的取值范圍是【答案】B【解析】【分析】本題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準確求出函數(shù)每一段解析式，分析出臨界點位置,精準運算得到解決.【詳解】Qxe(0,1]時,/(x)=x(x-l),/(x+l)=2/(x),../(x)=2/(x-l),即/(x)右移1個單位,圖像變?yōu)樵瓉淼?倍.0如圖所示：當2VxM3時,/(x)=V(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-不，整理得:7g 89xa-45x+56=0..(3x-7)(3x-8)=0,..x,=-,x2=-(^)，:.xe(-8,利時，【點睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側(cè)擴大到2倍，導致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達式的理解，平時應加強這方面練習，提高抽象概括'數(shù)學建模能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有1。個車次的正點率為097,有20個車次的正點率為098,有10個車次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.【答案】0.98.【解析】【分析】本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題.【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高鐵個392數(shù)為10+20+10=40,所以該站所有高鐵平均正點率約為 0.98.40【點睛】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大.易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值.14.已知/(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，/。)=一6,若/。112)=8,貝心=【答案】-3【解析】【分析】當x>0時-x<0,/(x)=-/(-X)=e-代入條件即可得解【詳解】因為/(x)是奇函數(shù)，目當x>0時一x<0,/(x)=-/(-x)=^.又因為ln2e。。，/(In2)=8,所以e-&?=8,兩邊取以。為底的對數(shù)得一aln2=31n2,所以一。=3,即a=-3.【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算.滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.15.\44BC的內(nèi)角A&C的對邊分別為.若b=6,a=2c,B=w，則上45c的面積為【答案】6后【解析】【分析】本題苜先應用余弦定理，建立關于。的方程，應用白，。的關系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎知識、基本方法、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查.【詳解】由余弦定理得/=a3+c2-laccosB,

即1=12解得匕==一2的（舍去）所以a=2c=4萬＞=-ac=-acsinB=3x4⑶2后史=6的【點睛】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤.解答此類問題，關鍵是在明確方法的基礎上，準確記憶公式，細心計算.16中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體”（圖D.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖？是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，目此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有 個面，其棱長為.【答案】 （1）共26個面（2）,棱長為圾1.【解析】【分析】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決.【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有18+8=26個面.如圖，設該半正多面體的棱長為x,則3 =x,延長8C與FE交于點G,延長8C交正方體棱于H，由半正多面體對稱性可知，A8GE為等腰直角三角形，BG=GE=CH=—x, GH=2x^-x+x=（j2+Y）x=},

【點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單,穩(wěn)中求勝是關鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步噱。第17?21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.(-)必考題：共60分。17如圖，長方體相8~48?21的底面月BCD是正方形，點￡在棱441上，BE-EC\(1)證明:BE-平面SBC”(2)若四=4E,求二面角耳/Sg的正弦值【答案】(1)證明見解析；(2)正2【解析】

【分析】（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道4G_L側(cè)面44胡，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出4G_l仍，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出BE_L平面EBG，\_L4H*w*JL<4_J<2）以點B坐標原點，以BC,瓦4,8紇分別為0y/軸，建立空間直角坐標系，設正方形49C。的邊長為a,B、B=b,求出相應點的坐標，利用8￡_L￡Ci,可以求出之間的關系，分別求出平面仍C、平面ECg的法向蚩，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角8-屈7-7的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關系，求出二面角的正弦值【詳解】證明（I）因為38-4464是長方體，所以4G，側(cè)面44員而8￡u平面44仍,所以3F_L4G又BE上EC1,BO[CEC]=C],用64。1u平面因此3FJ_平面總用射；\JUM4<wUUI\>4wKJ<2）以點8坐標原點，以3C,a4,班i分別為xj/軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，8(0,0,0),C(a,0,0),Ci(a,0,B),￡(0,a鄉(xiāng),IUDILU] k h h2因為BEl.ECx,所以B?ECx=0=>(0,a,—)?(a,-a,—)=0=-/4-—=0n3=2a,所以￡(0,o,a),￡C=(a,-a,-a),CC1=(0,0,2a),5￡=(0,a,a),設加=（再,必*1）是平面BEC的法向量,所以,7?jLm所以,7?jLmmBE=0,vuuy=<mEC=0.ayx+叼=0,axx-ayx-azx0=>w=(0,l,-l),設%=(勺Jz.zj是平面ECg的法向量,2az2=02az2=0,ax2-oy2一空j二°V=閥=(1,1,0),所以二面角B-EC-G的正弦值為-)2=旦【點睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關系，考查了數(shù)學運算能力.1S11分制乒乓球比褰，每贏一球得I分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得？分的一方獲勝，該局比蹇結(jié)束甲、乙兩位同學進行單打比寒，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了x個球該局比褰結(jié)束.(1)求P(予=2);(2)求事件“后4目甲獲勝”的概率.【答案】⑴0.5；(2)0.1【解析】【分析】(1瘁題首先可以通過題意推導出尸(x=2)所包含的事件為“甲連嬴兩球或乙連減兩球”,然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果：。冰題首先可以通過題意推導出產(chǎn)(X=4)所包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知，產(chǎn)(X=2)所包含的事件為“甲連嬴兩球或乙連贏兩球”所以尸(X=2)=0.5x0.4+05x0.6=0,5⑵由題意可知，產(chǎn)(工=4)包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”所以P(Z=4)=0.5x0.6x0,5x0.4+0.5x0,4x0,5x0.4=0,1【點睛】本題考查古典概型的相關性質(zhì)，能否通過題意得出產(chǎn)(X=2)以及尸(X=4)所包含的事件是解決本題的關鍵，考查推理能力，考查學生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題.已知數(shù)列和｛加滿足,3=0,4a*+i=3%-4+4,4心=地-a*-4.（1）證明：（4+為）是等比數(shù)列，3兒）是等差數(shù)列；（2）求｛4）和的通項公式【答案】（D見解析；（2）4=/+%一+，^=y-?+f.【解析】【分析】（1）可通過題意中的4%-=3% +4以及=泡-勺-4對兩式進行相加和相減即可推導出數(shù)列｛%+久）是等比數(shù)列以及數(shù)列｛/-2｝是等差數(shù)列；C）可通過（1）中的結(jié)果推導出數(shù)列｛%+4｝以及數(shù)列｛4-瓦｝的通項公式，然后利用數(shù)列｛4+九｝以及數(shù)列［%-幺）的通項公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知=3a*-幺+4,4心=泡-a”-4，%+&=1,1-=1,所以4%+i+4%=現(xiàn)-4+4+34-%-4=2%+次,即a*+%=*他+"）,所以數(shù)列｛%+”是苜項為1、公比為，的等比數(shù)列，%+4=（力1，因為4a“+i-4%=3a“-切+4-（應-a*-4）=4a,-4i,+8,所以4+i-4+i=%-b*+2,數(shù)列｛a.一幺｝是苜項1、公差為2的等差數(shù)列，%-b*=2n-l.（2）由（1）可知，%+4=（為*1,4-b*=2n-1,所以%=弘4+&+/-勾=*+”/,公=算% %-4）］吟一力+/.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.X+1已知函數(shù)/（x）=Inx---.X-1（1）討論lx）的單調(diào)性，并證明犬X）有且僅有兩個零點3（2）設9是1Xx）的一個零點，證明曲線.r=lnk在點幺畫，hX。）處的切線也是曲線J=e，的切線.【答案】（1）函數(shù)/（x）在（0」）和。,伊）上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；<2）證明見解析【解析】【分析】<1)對函數(shù)/w求導，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；<2)先求出曲線y=lnx在金(xo，lnx°)處的切線/,然后求出當曲線y=e"切線的斜率與，斜率相等時,證明曲線丁=e"切線『在縱軸上的截距與/在縱軸的截距相等即可【詳解】(1)函數(shù)/W的定義域為(0，1)u(L+8),TOC\o"1-5"\h\zJ._1_1 /41了。)=Inx—==」'(?=:二2,因為函數(shù)/(X)的定義域為(0,l)u(1,9),所以/'(力>0,因X-1 1)此函數(shù)/(X)在(0,1)和(L…)上是單調(diào)增函數(shù)；1 17+1 2當xe(0,l),時，一一8,而/(-)=ln--—=-->0,顯然當xe(0,1),函數(shù)/(x)有零e e_￡_]e-ie點，而函數(shù)/(x)在Xe(0,1)上單調(diào)遞增，故當Xc(0.1)時，函數(shù)/(X)有唯一的零點；當xeQ”)時，/(e)=lne--=—<0,/(e2)=lne2-4il=4Z^>0>因為/9)/>2)<0,所以的數(shù)/(X)在(*/)必有一零點，而函數(shù)/(X)在(L*。)上是單調(diào)遞增，故當xe(1,-Ko)時，函數(shù)/(r)有唯一的零點綜上所述，函數(shù)/W的定義域(0,1)u。,”)內(nèi)有2個零點j(2)因為％是/W的一個零點，所以/(0)=In七-2±|=0=>In/=》?TOC\o"1-5"\h\z方-1 x0-ly=\nx=>y=-,所以曲線1y=lnx在幺位。,瓦々)處的切線/的斜率上=一，故曲線y=lnx在x /, 1/ 、, &+1 x2力(X。,lnX。)處的切線/的方程為：，-InX。=—(X-%)而In5=-5—,所以/的方程為1y=—+--仆方-1/仆-1,它在縱軸的截距為一二.Xo-l設曲線y=e”的切點為3(不熄)，過切點為8(演,儀)切線]，y=e*ny=/,所以在B(ae>>)處的切線，的斜率為蠟，因此切線「的方程為V=e"+e”-Q,當切線『的斜率K=e"'等于直線1的斜率上=工時，即e"='=>須=-Onx°）,5 xo切線，在縱軸的截距為4=d（1-再）=（l+lnx0）=—（1+lnx0）,而In瓦=紅?,所以“「一1, 1八%+1、 2 _ 一■, 一，■,一 .4=—。+\）=-直線/,/的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線X。x0-lx0-ly=Inx在A>°,lnx0）處的切線也是曲線y=e"的切線.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學運算能力已知點4-2,0）,區(qū)2,0）,動點M、）滿足直線■與8A/的斜率之積為一|?.記”的軌跡為曲線C（1）求。的方程，并說明。是什么曲線3（2）過坐標原點的直線交C于P,。兩點，點P在第一象限，軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交。于點G.（1）證明："QG是直角三角形；（u）求MPQG面積的最大值【答案】（1）詳見解析（2〉詳見解析【解析】【分析】（D分別求出直線必與用/的斜率，由已知直線期與的的斜率之積為-，，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線⑷/與理f有斜率的條件3<2）（1）設出直線尸。的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出巳。兩點的坐標，進而求出點E的坐標，求出直線。后的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關系求出G的坐標，再求出直線產(chǎn)G的斜率，計算上加弓c的值，就可以證明出.QB是直角三角形；（u）由（D可知P,Q,G三點坐標，"QG是直角三角形，求出尸Q,尸G的長，利用面積公式求出“QG的面積，利用導數(shù)求出面積的最大值【詳解】（1）直線40的斜率為二二（x。-2）,直線BM的斜率為一一（x*2）,由題意可知：x+2 X-233=一5=^2+21/=4,5。父），所以曲線C是以坐標原點為中心，焦點在x軸上，不包括左x+2X-2 2

右兩頂點的橢圓，其方程為二+匕=l,(xw±2)4 2、 '<2)(i)設直線尸。的方程為J=依，由題意可知左>0,直線尸。的方程與橢圓方程/+2V=4聯(lián)立即?y=kx,?+2/=4n,2

nr= 一岳11，

ofr<

2k

y~~i=^=y=kx,?+2/=4n,2

nr= 一岳11，

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2k

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J2/+1_-2,點尸在第一象限，所以一2年y=. .y/2k^+1尸(?2kJ2叩+1'J2^+1-2 一2上 2"Q(='兩7),因此點*的坐標為(際‘°)直線2E的斜率為尢可得直線0*方程：*一菽,與橢圓方程聯(lián)立'_kkP=5"&R+1',消去)得,(2+/)/x2+2y2=4.4k2x \2k2+3J2M+I21+1=。(*),設點Ga，》)，顯然。點的橫坐標星7和再是方程(*)的解12"+8所以有x二白__~^7?一,_ 6/甘 ，代入直線0E方程中，得1 2+k2 1—+2)J%2+]2P (6r M=(V+2)亞百1,所以點G的坐標為"+2)亞言+1'(好+2)及左2+i,直線產(chǎn)G的斜率為；k?G=(廿+2)坤+1亞好+1_2必一2儂+2)67+4 2 -6廿+4-2(7+2)(廿+2)/它+1收，+1因為&法,°=k=-1,所以尸。，尸6,因此“QG是直角三角形,(u)由⑴可知：P(_2 jc((u)由⑴可知：P(61+4J2上,+1421+1 ^2k2+lV2F+T61+4G的坐標為((k2+2)72V+1'(k2+2)以，+/，PQ=4二=一二—-^-以JVJ2T+1J2>+1 J2/+1J21+1 J%」+1m C6/+4 2~T72p 2k_7 4km7(Jc3+2)V2p+lV2P+I (Aa+2)V2p+l-+1(好+2)以2+1'? _1 v4」J1+1 4jl+/_ 8(好+Q噸~ (k2+2)>/2k2+\圓+1-2/+5工+2M=一淞+：￡叱*康+2),因為左>0,所以當?！磌<1時，及>0,函數(shù)S/)單調(diào)遞熠，當上>1時，及<0,函數(shù)S3)單調(diào)遞減,因此當k=1時，函數(shù)5(外有最大值，最大值為$。)=1【點睛】本題考查了求橢圓的標準方程，以及利用直線與橢圓的位置關系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學運算能力，考查了利用導數(shù)求函數(shù)最大值問題.22.在極坐標系中，。為極點，點河3°,穌)(凡>0)在曲線C：0=4sin6上，直線/過點4(4,0)且與。M垂直，垂足為P(1)當穌=］時，求4及7的極坐標方程；(2)當M在C上運動目尸在線