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《《高等數(shù)學(xué)》十五分類(lèi)詳?shù)谝?函數(shù)、極限、連考試內(nèi)函數(shù)的概念及表示法,函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性,復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù),基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,初等函數(shù),函數(shù)關(guān)系的建立.?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì),函數(shù)的左極限和右極限,無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系,無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的較,極限的四則運(yùn)算,極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則:?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和準(zhǔn)則,兩個(gè)重要極限
=1,
1
1=x→0 函數(shù)連續(xù)的概念,函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型,初等函數(shù)的連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)考試要1.理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念,了解反函數(shù)及隱函數(shù)的念.4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,了解初等函數(shù)的概念5.理解極限的概念,理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系.6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則7.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則,并會(huì)利用它們求極限,掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的法.8.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念,掌握無(wú)窮小量的比較方法,會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限.9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理,并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).1. 函數(shù)的概念及其特(99,3分)設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),F(x)是fx的原函數(shù),則A.當(dāng)fx是奇函數(shù)時(shí),F(x)必是偶函數(shù).B.當(dāng)fx是偶函數(shù)時(shí),F(x)必是奇數(shù)C.當(dāng)fx是周期函數(shù)時(shí),F(x)必是周期函數(shù)1,|x|1D.當(dāng)fx是單調(diào)增函數(shù)時(shí),F(x)必是1,|x|1(01,3分)設(shè)fx
0,|x|>
則fffx等1考考試點(diǎn)(www.kaoshidian.com)名師精品課:4006885A. B.
1,|x|10,|x|>
0,|x|11,|x|>(05,4分)設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)fx的一個(gè)原函數(shù),“MN”表示“M的充分必要條件是N”,必有( A.F(x)是偶函 fx是奇數(shù).B.F(x)是奇函數(shù) fx是偶函數(shù).C.F(x)是周期函 fx是周期數(shù).D.F(x)是單調(diào)函數(shù) fx是單調(diào)函數(shù).小函數(shù)的概念及其復(fù)合,包括分段函數(shù)的復(fù)合,本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系的建立問(wèn)題,而建立函數(shù)關(guān)系是進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ).對(duì)于函數(shù)的四個(gè)主要特性:奇偶性和周期性一般用定義檢驗(yàn);單調(diào)性則大多用導(dǎo)數(shù)符號(hào)分析;有界性往往需要結(jié)合極限與連續(xù)的性質(zhì)來(lái)確定.1. 極限概念與性(98,3分)設(shè)數(shù)列xn與yn滿(mǎn)足limxnyn=0,則下列斷言正確的是 A.若xn發(fā)散,則yn必發(fā) B.若xn,則yn必有界C.若
有界,則
必為無(wú)窮小 D.若1
為無(wú)窮小,則
必為無(wú)窮小小關(guān)于極限的存在性,以下幾點(diǎn)是值得注意的1.若limf存在,limg不存在,則lim(f±g)一定不存在,但limfg,limg
可能存在,也可能不存在2.若limf=l≠0,limg=!,則limfg=.3.若f有界,limg=!則lim(f±g)=!但limfg不一定為∞1. 函數(shù)極限的計(jì)(99,5分)求
槡1+tanx-槡1+sinx
xln1+x-(00,3分)limarctanx-x x→ln1+2x3(01,3分)
槡3-x-槡1+x x2+x- (04,10分)求極限limx→
–12+cosx3(07,4分)limarctanx-sinx sinx-sinsinx(09,9分)求極限 2《高《高等數(shù)學(xué)》十五分類(lèi)詳考試點(diǎn)考試點(diǎn)(www.kaoshidian.com)名師精品課:40068851-cosxx-ln1+tanx(09,9分)求極限lim .(11,4分)lim10
x=x
sin4·小·1.計(jì)算極限的基本方法有:利用極限的四則運(yùn)算、利用無(wú)窮小量的等價(jià)代換、利用兩類(lèi)重要極限以及洛必達(dá)法則.一道典型的考題還經(jīng)常會(huì)用到兩種甚至兩種以上的方法.2.未定式極限的基本形式是:“0
”型和“!”型,其他未定式本質(zhì)上均可化為這兩種形式,而未定式極限的主要方法是洛必達(dá)法則,但在用洛必達(dá)法則之前應(yīng)注意兩點(diǎn):一是先盡量用無(wú)窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行化簡(jiǎn)(便于求導(dǎo));二是將非零因子項(xiàng)(乘或除項(xiàng))的極限用四則運(yùn)算先求出來(lái),再!洛必達(dá)法則.3.“!”型未定式極限經(jīng)??刹捎梅肿臃帜竿宰畲箜?xiàng)的辦法進(jìn)行分析求解4.若待求極限的函數(shù)表達(dá)式中含有 , x-或lxlimarctanx等時(shí),一般不用洛必達(dá)法則. 5.冪指函數(shù)的極限limf(x)gx一般先化為指數(shù)函數(shù)再求極限:limfxgx=limegxlnfx=elimgxlnfx特別地,當(dāng)limfx=1時(shí),有limfxgx =limegxln1+fx-1=elimgxfx-1.6.常用無(wú)窮小量的等價(jià)代換有:若a(x)→0則sinax~ax,1-cosαx~1α2x,tanαx~α2arcsinαx~αx,ln1+αx~αx,eax-1~α1+αxk-1~kαf但應(yīng)注意,無(wú)窮小量的等價(jià)代換一般是整體代換,即作為乘、除的項(xiàng)可代換,而加、減項(xiàng)不能隨f代換,即若α~α,β~
α=l
'f,
αf=lim'還應(yīng)注意:若limβ
≠1則limα-βf=limα-β'f.(考生可以自己論證一下7.個(gè)別情況下,當(dāng)用上述無(wú)窮小量的等價(jià)代換求極限仍有時(shí),也可考慮用泰勒公式(麥克勞林公式)進(jìn)行展開(kāi),找出更高階的等價(jià)無(wú)窮小量.8.在求極限的過(guò)程中適當(dāng)利用變量代換往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算,特別是題設(shè)為x!時(shí),作變換t1,轉(zhuǎn)化為t0后,問(wèn)題經(jīng)常一下子就變簡(jiǎn)單了.1. 函數(shù)極限的逆問(wèn)(98,5分)確定常數(shù)a,b,c的值,3 ax- =cc≠0∫xxln1+t3∫ (00,3分)若limsin6x+xfx=0,則lim6+fx A. B. C. D.(08,4分)已知函數(shù)fx連續(xù),且lim1-cosxfx =1,則x→0ex2-1f
∫x∫ln1+t2(11,5分)已知函數(shù)Fx= .設(shè)limFx=limFx=0試求a的取值范圍 小
x1.已知極限反過(guò)來(lái)求相關(guān)參數(shù),這類(lèi)所謂極限的逆問(wèn)題,一般仍用極限的四則運(yùn)算、無(wú)窮小量等價(jià)代換和洛必達(dá)法則等進(jìn)行分析討論.但用洛必達(dá)法則時(shí),必須注意其前提條件,一般情形是
f' =A或∞, limfx“
”,
!”
=limf'
,而逆問(wèn)題是已 g' g g'fx“
=A,則是否一定也有limfx“0”,“!”型=limf' =A,從理論上說(shuō)是g =A,從理論上說(shuō)是不成立的.因此在用洛必達(dá)法則時(shí),必須先檢驗(yàn)limf'g'x=A或∞是否成立2.關(guān)于無(wú)窮小量有如下性質(zhì):αxoαx~αx.1. 數(shù)列的極(99,7分)設(shè)fx是區(qū)間[0,+!上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù) an=∑fk-∫fxdxn=1,2,…k 證明數(shù)
an的極限存在(02,3分)lim11+cosπ 1+cos2π+… 1+cosnπ n→n (02,8分)設(shè)0<x1<3,xn+1=槡xn3-xnn=1,2,…,證明數(shù)列{xn}的極限存在,并求極限(04,4分)
111
1
2
·…1
2等 ln2 B. C. ln1+x ln21+x (06,12分)設(shè)數(shù)列xn滿(mǎn)足0<x1<πxn+1=sinxn(n=1,2,…(1)證明limxn存在,并求該極限4n(2)計(jì)算limn
(07,4分)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+!內(nèi)具、有二階導(dǎo)數(shù)且f″x>0,令un=fnn=1,2,…,則下列結(jié)論正確的是 (1)若u1>u2,則B.若u1>u2,則C.若u1<u2,則D.若u1<u2,則
un必收斂un必發(fā)散un必收斂un必發(fā)散(08,4分)設(shè)函數(shù)f(x)在(-!+!內(nèi)單調(diào)有界,xn為數(shù)列,下列命題正確的是 B.
xn收斂,xn單調(diào),
fxn收斂fxn收斂D.
fxn收斂,fxn單調(diào),
xn收斂xn收斂(09,4分)lim∫1e-xsinnxdx (11,10分)(1)證明:對(duì)任意正整數(shù)n,都 <ln1+1<1成立n+ (2)設(shè)
=1+2
+…+n
–lnnn=1,2,…,證明數(shù)列
收斂(12,4分)設(shè)an>0n=1,2,
,Sn=a1+a2+…+an,則數(shù) Sn有界是數(shù)列an收斂A.充分必要條 B.充分非必要條C.必要非充分條 D.既非充分也非必要條件(12.10分)(1)證明方程xn+xn-1+…+x=1(n為大于1的整數(shù))在區(qū)個(gè)實(shí)根(2)記(1)中的實(shí)根為xn,證明limxn存在,并求此極限
1,
2內(nèi)有且僅有2小求數(shù)列的極限,一般有四種主要方法1.若已知數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式,可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限進(jìn)行計(jì)算,即如 limf(x)=A,則有limfnA2.若數(shù)列用遞推公式給出,一般考慮用單調(diào)有界數(shù)列必有極限來(lái)分析.3.對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小,然后再用定理
→
∫4.若數(shù)列通項(xiàng) n項(xiàng)(也可多或少若干項(xiàng))求和時(shí),往往考慮用定積分的定義∫n b-a
b- l∑n→k
nk
fxnan51. 無(wú)窮小量的比(97,3分)設(shè)x→0時(shí),etanx-ex與xn是同階無(wú)窮小,則n為( A. B. C. D.(01,3分)設(shè) x→0時(shí),1-cosxln1+x2是 xsinxn高階的無(wú)窮小,xsinxn是ex2-1高階無(wú)窮小,整數(shù)n等于 A. B. C. D. ∫(04,4分)把x→0+時(shí)的無(wú)窮小量α cost2dt,β= tan槡∫ 槡∫γ sint3dt排列起來(lái),使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小,確的排列次序是 槡∫0A.αβ B.,γ C.βα D.βγα(05,4分)當(dāng)x→0時(shí),αx=kx2與βx (06,10分)試確定A,B,C的值,使
槡1+xarcsinx-槡cosx是等價(jià)無(wú)窮小,則ex1+Bx+Cx2=1+Ax+ox3其中ox是當(dāng)x0時(shí)比x3高階的無(wú)窮?。ǎ埃?,4分)當(dāng)x0+時(shí),與槡x等價(jià)的無(wú)窮小量A.1-e槡x B.ln1+x1-槡
C.槡1+槡x- D.1-cos槡x(09,4分)當(dāng)x→0時(shí),fx=x-sinax與gx=x2ln1-bx是等價(jià)無(wú)窮小,則 A.a=1,b=-6C.a=-1,b=-6
B.a=1,b=6D.a=-1,b=6(11,4分)已知當(dāng)x→0時(shí),函數(shù)fx=3sinx-sin3x與cxk是等價(jià)無(wú)窮小,則( A.k=1,c=4 B.k=1,c=-4 C.k=3,c=4 D.k=3,c=-4(12,10分)已知函數(shù)fx=1+x-1,記a=limf (1)求a的值(2)若當(dāng)x→0時(shí),fx-a與xk是同階無(wú)窮小,求常數(shù)k的值?。保疅o(wú)窮小量的比較問(wèn)題,本質(zhì)上是“0
”型未定式的極限問(wèn)題,因此可用求未定式的極限的所方法進(jìn)行討論,但應(yīng)注意并不是任意兩個(gè)無(wú)窮小量均可比較,比如當(dāng)x→時(shí),αx=xsin1xβx=x均為無(wú)窮小量,但它們不能進(jìn)行比較2.當(dāng)x→
時(shí),若是對(duì)三個(gè)或三個(gè)以上的無(wú)窮小量進(jìn)行比較,可考慮分別先6
x-xn進(jìn)行00較,比如由 f 存在且非零,找出nn>0,確定fx是x-00x→xx-x01. 函數(shù)的連續(xù)性及間斷點(diǎn)的分cosx2,x≠
的n階無(wú)窮小,再進(jìn)行比較(97,3分)已知fx
a,x=x
在x=0處連續(xù),則a 4(98,5分)求函數(shù)fx=1+xtanxπ在區(qū)間0,2π內(nèi)的間斷點(diǎn),并判斷其類(lèi)型4(00,3分)設(shè)函數(shù)fx a+
-!+!內(nèi)連續(xù),且limfx=0,則常數(shù)a,b滿(mǎn)足 →A.a<0,b< B.a>0,b> C.a0,b> D. 0,b<0(01,7分)求極限lim
,記此極限為fx,求函數(shù)fx的間斷點(diǎn) 其類(lèi)型 (04,4分)設(shè)fx=limn-1x,則fx的間斷點(diǎn)為x (02,3分)設(shè)函數(shù)fx
nx2+1-x,x>arcsinae2x,x0ln1+ax3
在x=0處連續(xù),則a x-(03,10分)設(shè)函數(shù)fx=6x=
,x<
問(wèn)a為何值時(shí),fx在x=0處連續(xù);a為何eax+x2-ax-時(shí),x=0是fx的可去間斷點(diǎn)
xsin4
,x>(05,4分)設(shè)函數(shù)fx
,則( ex1-1A.x=0,x=1都是fx的第一類(lèi)間點(diǎn).B.x=0,x=1都是fx的第二類(lèi)間斷點(diǎn).C.x=0是fx的第一類(lèi)間斷點(diǎn),x=1都是fx的第二類(lèi)間斷點(diǎn).D.x=0是fx的第二類(lèi)間斷點(diǎn),x=1都是fx的第一類(lèi)間斷點(diǎn)3∫sintdt,x≠(06,4分)設(shè)函數(shù)fx 在x=0處連續(xù),則a= 1 a,x=(06,4分)設(shè)fx是奇函數(shù),除x=0外處處連續(xù),x=0是第一類(lèi)間斷點(diǎn),則A.連續(xù)的奇函數(shù) B.連續(xù)的偶函數(shù).C.在x=0間斷的奇函 D.在x=0間斷的偶
∫ftdt是 ∫0數(shù).考試點(diǎn)考試點(diǎn)(www.kaoshidian.com)名師精品課:4006885《高《高等數(shù)學(xué)》十五分類(lèi)詳(07,4分)函數(shù)fx
ex+e xex–
-ππ上的第一類(lèi)間斷點(diǎn)是x= A. B. C.-2
D.π2(08,4分)設(shè)函數(shù)fx=ln|x|x-1
sinx則fx有 A.1個(gè)可去間斷點(diǎn),1個(gè)跳躍間斷點(diǎn).B.1個(gè)可去間斷點(diǎn),1個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn).C.2個(gè)跳躍間斷點(diǎn).D.兩個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)x-(09,4分)函數(shù)fx= 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( πA. B. C. D.無(wú)窮多個(gè)x2- (10,4分)函數(shù)fx=x2-1槡1+x2的無(wú)窮間斷點(diǎn)數(shù)為 A. B. C. D.?。保醯群瘮?shù)在定義區(qū)間上連續(xù),因此,對(duì)初等函數(shù)求其不連續(xù)點(diǎn),只需找出其無(wú)定義點(diǎn)即可.2.分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性一般要考慮其左、右極限,從而考慮其左、右連續(xù)性3.確定間斷點(diǎn)的類(lèi)型,當(dāng)在間斷點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式相同時(shí),可先直接考慮在間斷點(diǎn)的極限;當(dāng)在間斷點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同時(shí),應(yīng)先求左、右極限再判斷本章小這部分內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中占有重要的基礎(chǔ)地位,本章命題要點(diǎn)是函數(shù)極限與連續(xù)及間斷點(diǎn)的分類(lèi),因此在此復(fù)習(xí)過(guò)程中值得特別注意,數(shù)列的極限以及無(wú)窮小的比較也是命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一.8第二 一元函數(shù)微分考試內(nèi)導(dǎo)數(shù)和微分的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義,函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系,平面曲線的切線與法線,導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法,高階導(dǎo)數(shù),一階微分形式的不變性,微分中值定理,洛必達(dá)(L’l法則,函數(shù)單調(diào)性的判別,函數(shù)的極值,函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線,函數(shù)圖形的描繪,函數(shù)的最大值與最小值,弧微分,曲率的概念,曲率圓與曲率半徑.考試要1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念,理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程,了解導(dǎo)數(shù)的物理意義,會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量,理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性,會(huì)求函數(shù)的微分.3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)4.會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù),會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5.理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必塔法則求未定式極限的方法7.理解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法,掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用.8.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性(注:在區(qū)間(a,b)內(nèi),設(shè)函數(shù)fx具有二階導(dǎo)數(shù).當(dāng)f″x>0時(shí),fx的圖形是凹的;當(dāng)f″x<0時(shí),fx的圖形是凸的),會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線,會(huì)描繪函數(shù)的圖形.9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念,會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑2.1導(dǎo)數(shù)的定(98,2分)函數(shù)fx=x2-x-2|x3-x|不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( A.3 B.2 C.1 D.0(04,10分)設(shè)函數(shù)fx在-!+!上有定義,在區(qū)間0,2上,fx=xx2-4,若對(duì)任意的x都滿(mǎn)足fx=kfx+2,其中k為常數(shù).(1)寫(xiě)出fx在[-2,0)上的表達(dá)式9(2)問(wèn)k為何值時(shí),fx在x=0處可導(dǎo)(05,4分)設(shè)函數(shù)fx=
n1+|x|3n,則fx -!+!槡A.處處可 B.恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)槡C.恰有兩個(gè)不可導(dǎo) D.至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(07,4分)設(shè)函數(shù)fx在x=0處連續(xù),下列命題錯(cuò)誤的是A.若limfx存在,則f0=0. B.若limfx+f-x存在,則f0=0 C.若limfx存在,則f'0存在 D.若limfx-f-x存在,則f'0存在 (11,4分)設(shè)函數(shù)fx在x=0處可導(dǎo),且f0=0,則A.-2f′ B.-f′ C.f′小
x2fx-2fx3 = D.導(dǎo)數(shù)的定義本質(zhì)上是一類(lèi)特殊函數(shù)的極限問(wèn)題,一般來(lái)說(shuō),題設(shè)在一點(diǎn)可導(dǎo),往往要利用導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)的定義.對(duì)于分段函數(shù)或隱含的分段函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一般要用左、右導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行討論.另外以下兩點(diǎn)是值得注意的:1.設(shè)fx可導(dǎo)且在x=x處的導(dǎo)函數(shù)連續(xù),若limgx=limhx=
則limfgx-fhx0=f'xlimgx-h 0 x-
x-2.設(shè)fx在x=x處連續(xù),則limfx=Afx=0,f'x=A0 xx- 02. 導(dǎo)數(shù)的幾何、物理應(yīng)(99,3分)曲
x=etsin2t在點(diǎn)y=etcost
0,1處的法線方程 (00,7分)已知fx是周期為5的連續(xù)函數(shù),它在x=0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)滿(mǎn)足關(guān)系式,f1+sinx-3f1-sinx=8x+ax其中αx是當(dāng)x0時(shí)比x高階的無(wú)窮小,且fx在x=1處可導(dǎo),求曲線y=fx在點(diǎn)6,f6處的切線方程(01,3分)設(shè)函數(shù)y=fx有方程e2x+y-cosxy=e-1所確定,則曲線y=fx在點(diǎn)的法線方程為
0,1(03,4分)設(shè)函數(shù)y=fx由方程xy+2lnx=y4所確定,則曲線y=fx在點(diǎn)方程是
1,1處的切(02,6分)已知曲線的極坐標(biāo)方程是r=1-cos,求該曲線上對(duì)應(yīng)θ=π處的切線與法線的6角坐標(biāo)方程(05,4分)設(shè)函數(shù)y=yx由參數(shù)方
x=t2+y=ln1+
確定,則曲線y=yx在x=3處的法與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 A.1ln2+ B.-1ln2+ x=t2+C.-8ln2+x=t2+(06,12分)已知曲線L的方(1)討論L的凹凸性
y=4t-
, (2)過(guò)點(diǎn)-1,0引L的切線,求切 x0,y0,并寫(xiě)出切線的方程(3)求此切線與L(對(duì)應(yīng)于xx的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積(07,4分)曲
x=cost+cos2ty=1+sint
,上對(duì)應(yīng)于t
的點(diǎn)處的法線斜率 4∫(08,4分)曲線sinxy+lny-x=x在點(diǎn)0,1處的切線方程 ∫(09,(09,9分)曲1-x0e-u2在點(diǎn)0,0處的切線方程 y=t2ln2-t2(10,9分)曲線y=x2與曲線y=alnxa≠0相切,則a=( A. B. C. D.(10,4分)已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l以2cm/s的速率增加,寬w以3cm/s的速率增加,則當(dāng)l=12cm,w=5cm時(shí),他的對(duì)角線增加的速率為 小導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用主要是求切線與法線方程,而本質(zhì)上是求一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算問(wèn)題.因此,應(yīng)熟練掌握顯函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及極坐標(biāo)方程所確定的函數(shù)等在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算.—般地,曲線y=yx過(guò)法線方程
x,y的切線方程Y-yx=y'xX-2. 一般導(dǎo)函數(shù)的計(jì)
Y-yx=-y'
X-(99,3分)設(shè)函數(shù)y=yx由方程lnx2+y=xy+sinx確定,
dxx(00,5分)求函數(shù)fx=xln1+x在x=0處n階導(dǎo)數(shù)f0n(05,4分)設(shè)函數(shù)y=yx由方程y=1-xey確定,則 dxx(06,4分)設(shè)函數(shù)gx可微,hx=e1+gx,h′1=1,g′1=2,則g1等于( A.ln3-1 B.-ln3-1 C.-ln2-1 D.ln2-1.(07,4分)設(shè)函數(shù)y ,則yn0 2x+(08,6分)設(shè)函數(shù)y=yx由參數(shù)方
x=xt,y
∫ln1+udu確定,其中xt是初值∫0
—
=的解,
d2dx2xt0=(09,4分)設(shè)y=yx是由方程xy+ =x+1確定的隱函數(shù), x(10,4分)函數(shù)y=ln1-2x在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)y(n)0 (12,4分)設(shè)函數(shù)fx=ex-1e2x-2·… enx-n,其中n為正整數(shù),則f0= A.-1n-1n-1! C.-1n-1 2
-1nn-1?。保睿睿。ǎ保?,4分)y=yx是由方程x-y+1=e所確定的隱函數(shù), 小1.一般導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算方法可分為(1)初等函數(shù)求 (2)隱函數(shù)求 (3)參數(shù)方程求(4)反函數(shù)求導(dǎo) (5)分段函數(shù)求導(dǎo) (6)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算其中重點(diǎn)和難點(diǎn)是分段函數(shù)求導(dǎo)以及高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.2.分段函數(shù)求導(dǎo),在不同的區(qū)間段上一般直接用初等函數(shù)求導(dǎo)法即可,而在分段點(diǎn)上則強(qiáng)調(diào)要用定義進(jìn)行討論,或通過(guò)左、右導(dǎo)數(shù),最終再判定在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是否存在.x=x y'隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù),一般直接在已知等x=x y'參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)的公式為:
,則dx=x'y=yx2=反函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù):設(shè)y=fx,
y″tx't-x″ty'tx'3t3.求n階導(dǎo)數(shù)的基本方法有(1)數(shù)學(xué)歸納
d2x f″xdy=f'x,dy2=-f'3x(2)遞推公式法(3)兩個(gè)函數(shù)相乘求n階導(dǎo)數(shù)的萊尼茲公式法(4)用泰勒公式和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)進(jìn)行比較求一點(diǎn)的n階導(dǎo)數(shù)值等等.2. 可導(dǎo)、連續(xù)與極限的關(guān)(99,3分)設(shè)fx(99,3分)設(shè)fx槡x2gx,x0其中gx是有界函數(shù),則fx在x=0處 A.極限不存 B.極限存在,但不連續(xù)C.連續(xù),但不可 D.可小分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般都需要采用定義通過(guò)左、右兩端來(lái)進(jìn)行討論;含有絕對(duì)值的函數(shù)表達(dá)式本質(zhì)上應(yīng)當(dāng)做分段函數(shù)看待;極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)三者之間的關(guān)系是:可導(dǎo)連續(xù)極限存在,但反過(guò)來(lái)不成了.注意多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)(偏導(dǎo),可微)之間的關(guān)系與一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系差異.2.5微分的概念與計(jì)x(00,3分)設(shè)函數(shù)y=yx由方程2xy=x+y所確定,則 x(02,3分)設(shè)函數(shù)fu可導(dǎo),y=fx2當(dāng)自變量x在x=-1處取得增量Δx=-0.1時(shí),相應(yīng)的函數(shù)增量Δy的線性主部分為0.1,則f′1的等于( A.- B.0. C.1D.0.x(05,4分)設(shè)y=1+sinxx,則 x(06,4分)設(shè)函數(shù)y=fx具有二階導(dǎo)數(shù),且f'x>0,f″x>0,Δx為自變量x在點(diǎn)x0處的增量Δ與dy分別為fx在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)的增量與微分,若Δ>0則( A.0<dy<y B.0<Δ<dyC.Δ<dy< D.dy<Δ<小應(yīng)注意函數(shù)增量Δy、自變量增量Δx和微分dy之間的聯(lián)系與區(qū)別,若函數(shù)改變量Δy=fx0+Δx-fx0=f'x0Δx+oΔx,則dy=f'x0Δx.考生往往記住了公式dy=f'x0dx,而忘記了原始定義dy=f'x0x.2. 利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間與極(98,3分)設(shè)函數(shù)fx在x=a的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且fa為其極大值,則存在δ>0,當(dāng)xa-δa+δ時(shí),必有 A.x-afx-fa B.x-afx-faC.
ft-f
0x≠
D.limft-fx"0x≠a t-x t-x(00,3分)設(shè)函數(shù)fx、gx是大于零的可導(dǎo)函數(shù),且f'xgx-fxg'x<0,則當(dāng)a<x<b時(shí),有( A.fxgb>fbgxC.fxgx>fbg
B.fxga>fag.D.fxgx>fag(01,3分)設(shè)函數(shù)fx在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=fx的圖形如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f'x的圖形為( (03,4分)設(shè)函數(shù)fx在-!+!內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則fx有()A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).B.兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).C.兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).D.三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).(04,4分)設(shè)函數(shù)fx連續(xù),且f'0>0,則存在δ>0使得fx在0,δ內(nèi)單調(diào)增加.B.fx在-δ0內(nèi)單調(diào)減少C.對(duì)任意的x∈0,δ,有fx>f.D.對(duì)任意的x∈-δ0,有fx>f∫ ∫(10,10分)求函數(shù)fx
x2-te-tdt的單調(diào)區(qū)間與極值1?。保脤?dǎo)函數(shù)f'x的符號(hào)確定函數(shù)fx的單調(diào)性及極值是討論函數(shù)性態(tài)的基本要求,導(dǎo)函數(shù)f'x可通過(guò)極限形式表示出來(lái),也可通過(guò)某微分方程的形式表現(xiàn)出來(lái).2.y=fx,y=f'x,y=f″x三者在圖形方面的關(guān)系,本質(zhì)上也可通過(guò)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)關(guān)系進(jìn)行討論.3.注意以下結(jié)論:若f'x在x=x0處連續(xù),limf'x=Af'x=0,f″x=→x- 因此若進(jìn)一步有A0,則x=x0是fx的極值點(diǎn).2. 求函數(shù)的最x+∫(04,11分)設(shè)fx
|sint|dtx《高《高等數(shù)學(xué)》十五分類(lèi)詳考試點(diǎn)考試點(diǎn)(www.kaoshidian.com)名師精品課:4006885(1)證明fx是以π為周期的周期函數(shù)(2)求fx的值域(08,4分)曲線y
x-5x3的拐點(diǎn)坐標(biāo) (09,4分)函數(shù)y=x2x在區(qū)間(0,1]上的最小值 ?。保簦妫陂_(kāi)區(qū)間的最?。ù螅┲担?/p>
a,b內(nèi)的可能極值點(diǎn)唯一,則在此點(diǎn)取極?。ù螅┲?,即為fx a,b2.若fx在閉區(qū)間a,b上連續(xù),x1,x2,…,xn為fx a,b內(nèi)的可能極值點(diǎn),即為fxa,b上的最大值、最小值分別為M=maxfa,fx1,…,fxn,fbm=minfa,fx1,…,fxn,fb2. 求函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間與拐(00,3分)設(shè)函數(shù)fx滿(mǎn)足關(guān)系式f″x+f′x2=x且f′0=0,則( A.f0是fx的極大值B.f0是fx的極小C.點(diǎn)0,f0是曲線y=fx的拐D.f0不是fx的極值,x-32的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為
0,f0也不是曲線y=fx的拐點(diǎn).(01,3分)曲線y=x-1A. B. C.2D.x=t3+3t+(04,4分)設(shè)函數(shù)yx由參數(shù)方y=t3-3t+
確定,則曲線y=yx向上凸的x取值范 (04,4分)設(shè)fx=|x1-x|,則 x=0是fx的極值點(diǎn),但0,不是曲線y=fx的拐點(diǎn).x=0不是fx的極值點(diǎn),但0,0是曲線y=fx的拐點(diǎn)x=0x=0是fx的極值點(diǎn),x=0不是fx的極值點(diǎn)0,0是曲線y=fx的拐點(diǎn)0,0也不是曲線y=fx的拐點(diǎn)x=1t3+t+(11,11分)設(shè)函數(shù)y=yx由參數(shù)方程yx的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).
33小兩側(cè)異號(hào)033小兩側(cè)異號(hào)0x0,f
確定,求y=yx的極值和曲線y般來(lái)說(shuō),若fx在x=x的左、
是曲y=fx的拐點(diǎn),請(qǐng)注意以下結(jié)論1.若f″
=0,fx0≠0,則點(diǎn)xfx0是曲線y=fx的拐2.若f″x在x= 處連續(xù),且limf″x=A,則f″x=0,fx=A0 xx- 0則當(dāng)A0時(shí),點(diǎn)x0,fx0是曲線y=fx的拐點(diǎn)2.9 求函數(shù)曲線的漸近線x(98,3分)曲線y=xlne+1(x>0)的漸近線方程 x1(00,3分)曲線y=2x–1ex的斜漸近線方程 3(05,4分)曲線y
1+x2的斜漸近線方程為 (06,4分)曲線
=x+4sinx的水平漸近線方程為 5x-2cosxx(07,4分)曲線y=1+ln1+ex漸近線的條數(shù)為 xA. B.
C. D.的漸近線方程 (10,4分)曲線(12,4分)曲線
x2+xx2 漸近線的條數(shù)為 x=x2-C. D.A. B.小求鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸近線是基本要求,應(yīng)熟練掌握.這里應(yīng)注意三點(diǎn)1.若limfx≠!則應(yīng)進(jìn)一步考慮limfx、limfx是否為∞ x→2.當(dāng)存在(或某側(cè)存在)水平漸近線時(shí),不需要(或此側(cè)不需要)再求斜漸近線3.若當(dāng)x!時(shí),極限a=limfx不存在,則應(yīng)進(jìn)一步討論x+!或x-!的情形,即在右 或左側(cè)是否存在斜漸近線.4.若limfx不存在,則應(yīng)進(jìn)一步考慮limfx、limfx → →2. 利用導(dǎo)數(shù)綜合研究函數(shù)的性(99,8分)已知函數(shù)y=x-12求(1)函數(shù)的增減區(qū)間及極值(2)函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)(3)函數(shù)圖形的漸近線(09,4分)若f″x不變號(hào),且曲線y=fx在點(diǎn)區(qū)間1,2內(nèi)(
1,1處的曲率圓為x2+y2=2,則函數(shù)fxA.有極值點(diǎn),無(wú)零 B.無(wú)極值點(diǎn),有零C.有極值點(diǎn),有零 D.無(wú)極值點(diǎn),無(wú)零點(diǎn)小利用導(dǎo)數(shù)綜合研究函數(shù)的性態(tài),有固定的解題步驟:先求y′,y″,找出y′=0,y″=0以及y′,y″不存在的點(diǎn),它們將y的定義區(qū)間分割為若干個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上分別討論y′,y″的符號(hào),即可確定增減區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn),為了分析方便起見(jiàn),一般通過(guò)列表進(jìn)行討論.2. 確定函數(shù)方 fx=0的(97,8分)就k的不同取值情況,確定方程x-πsinx=k2
0,π開(kāi)區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù),并證明2的結(jié)論2(03,12分)討論曲線y=4lnx+k與y=4x+lnx的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)小關(guān)于方程fx=0的根的存在性一般用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,而唯一性往往通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)用單調(diào)性判定,或通過(guò)簡(jiǎn)單作圖分析,或用反證法引出.2. 確定導(dǎo)函數(shù)方 f′ =0的(96,6分)設(shè)y=fx是區(qū)間0,上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)(1)試證存在x0∈0,1,使得在區(qū)=fx為曲邊的梯形面積
0,x0以上fx0為高的矩形面積,等于 x0,1上以(2)又設(shè)
在區(qū) 0,1內(nèi)可導(dǎo),且f′x>-2fx,證明(1)中的x0xx0
是唯一的.(2)(05,分)已知函數(shù)fx在0,1上連續(xù),在0,1內(nèi)可導(dǎo),且f0=0,f1=1.證明(1)存在ξ∈0,1使得fξ=1-ξ(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ηζ∈0,1使得f′ηf′ζ=1(07,11分)設(shè)函數(shù)fx,gx在 a,b上連續(xù),在a,b內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,fa=ga,fb=gb,證明:存在ξ∈a,b,使得f″ξ=g″ξ.(08,4分)設(shè)函數(shù)fx=x2x-1x-2,則f′x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( A.0 B.1 C.2 D.3(11,4分)函數(shù)fx=ln|x-1x-2x-3|的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為( A.0 B.1 C.2 D.3.?。保嘘P(guān)中值定理的證明問(wèn)題是出題頻率較高的部分之一,而將中值定理與介值定理或積分中值定理結(jié)合起來(lái)命題又是最常見(jiàn)題形式.2.在用羅爾定理時(shí),關(guān)鍵是找出輔助函數(shù),一般用原函數(shù)法,即根據(jù)要證明的結(jié)論:Gξ,fξ,fξ=0先將ξ換為x,然后作恒等變形,目的是便于積分,最后再積分并分離常數(shù):Fx,fx=C,則Fx,fx即為待求的輔助函數(shù)3.如果題設(shè)要證明的結(jié)論中含有一般的a,b,fa,fb時(shí),經(jīng)??煽紤]直接用拉格朗日中值定理進(jìn)行證明.4.要證明的結(jié)論表面上含有導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,一般先考慮用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,但當(dāng)介值定理無(wú)法直接證明所需結(jié)論時(shí),也可考慮結(jié)論是否為某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的結(jié)果,再通過(guò)積分找到輔助函數(shù),然后用羅爾定理.5.對(duì)于含有兩個(gè)介值得情形,一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理),再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理).6.如果題設(shè)條件涉及二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)應(yīng)注意考慮用泰勒公式進(jìn)行分析討論2. 有關(guān)高階導(dǎo)數(shù)中值(99,8分)設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間-1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f-1=0,f1=1,f00,證明:在開(kāi)區(qū) -1,1內(nèi)至少存在一 ξ, fξ=3.(01,8分) fx在區(qū)-a,aa>0上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f0=(1)寫(xiě)出fx的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式(2)證明
-a,a上至少存在一點(diǎn)η,使af″η=
∫fxdx∫—(03,4分)y=2x的麥克勞林公式中xn項(xiàng)的系數(shù) 小般的,若題設(shè)條件具有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù),應(yīng)首先想到利用泰勒公式(在x=0處展開(kāi)即麥克勞林公式)進(jìn)行分析,若進(jìn)一步題設(shè)在閉區(qū)間上具有二階或二階以上的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則除了用泰勒公式展開(kāi)外,還往往要對(duì)最高階連續(xù)導(dǎo)數(shù)利用介值定理.2. 微分中值定理的綜合應(yīng)(02,3分)設(shè)函數(shù)y=fx在0,+!內(nèi)有界且可導(dǎo),則( A.當(dāng)limfx=0時(shí),必有limf′x=0.→ →B.當(dāng)limfx存在時(shí),必有limfx=0→ →C.當(dāng)limfx=0時(shí),必有limfx=0x xD.當(dāng)limfx存在時(shí)有limfx=0x x(08,11分)(1)證明積分中值定理:若函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則至少存在一點(diǎn)ηa,b,使
∫fxdx=fηb-a∫a∫3∫(2)若函數(shù)φx具有二階導(dǎo)數(shù),且滿(mǎn)足φ2>φ1,φ21,3,使得φξ<0
φxdx,則至少存在一點(diǎn)ξ2(09,11分)(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)fx∈a,b,使得fb-fa=fξb-
a,b上連續(xù),在a,b內(nèi)可導(dǎo),則存在(2)證明:若函數(shù)fx在x=0處連續(xù), 0,δδ>0內(nèi)可導(dǎo),limf′x=A,則f′0存在,且 0=A x(10,10分)設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū) 0,1上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo),且f0=0,f1=3,證明:存在ξ∈0,1,η∈1,1,使得fξ+fη=ξ2+η2 小般來(lái)說(shuō),涉及函數(shù)fx與其導(dǎo)函數(shù)fx的關(guān)系時(shí),可聯(lián)想到用拉格朗日中值定理fxfa=f′ξx-a或微積分基本公式fx-fa=2.15 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(98,8分)設(shè)x∈0,1,證明1+xln21+x<x21-1< -1<1. ln1+x
∫f′tdt進(jìn)行分析討論∫a(01,3分)已知函數(shù)fx在區(qū)間f′1=1,則(
1-δ1+δ內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),f′x嚴(yán)格單調(diào)減少,且f1B.
1-δ11-δ1
1,1+δ內(nèi)均有fx<x1,1+δ內(nèi)均有fx>xD.
1-δ1內(nèi)fx<x,1-δ1內(nèi)fx>x,
1,1+δ內(nèi)fx>x1,1+δ內(nèi)fx<x(02,8分)設(shè)0<a<b,證明不等 a2+
<lnb-b-
.(04,12分)設(shè)e<a<b<e2槡ab,證明lnb-lna
(b-a)(06,10分)證明:當(dāng)0<a<b<π時(shí),bsinb+2cosb+π>asina+2cosa+π(12,10分)證明:xln1+x+cosx11-
2-1<x<1小不等式的證明方法有很多,在高等數(shù)學(xué)中要求熟練掌握方法的有:1.利用單調(diào)性證明不等式;2.利用極值與最值證明不等式;3.利用凹凸性證明不等式;4.利用拉格朗日中值定理證明不等式;5.利用泰勒公式展開(kāi)證明不等式.相對(duì)來(lái)說(shuō),用單調(diào)性證明不等式有比較固定的步驟:要么直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù),要么先將要證不等式作適當(dāng)變形后再構(gòu)造輔助函數(shù).應(yīng)用拉格朗日中值定理的難點(diǎn)在于找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使其在某兩點(diǎn)的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來(lái)如果輔助函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不能確定符號(hào),需要二階甚至二階以上的導(dǎo)數(shù)信息才能證明不等式,此時(shí)也可考慮直接用泰勒公式進(jìn)行證明.另外,在不等式證明中注意將常數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式2.16 曲率與弧長(zhǎng)的計(jì)算(01,7分)設(shè)ρ=ρx是拋物線y=槡x上任一點(diǎn)Mx,y 1處的曲率半徑,s=sx是2 d 拋物線上介于點(diǎn)A1,1與M之間的弧長(zhǎng),計(jì)算3ρds2|y″
dρ2的值(在直角坐標(biāo)系下曲率公式為K=′23)1+yx(11,4分)曲線y=∫tantdt0""π的弧長(zhǎng)s x (12,4分)曲線y=x2+xx<0上曲率為槡2的點(diǎn)的坐標(biāo) 2小綜合考查大綱要求的兩個(gè)重要幾何應(yīng)用:求曲率半徑和弧長(zhǎng),以及參數(shù)方程的求導(dǎo)問(wèn)題,每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是很難,但要求概念清晰,公式熟悉,且有較強(qiáng)的運(yùn)算能力才能完整作答,這種考研命題的思路值得注意.本章小這部分內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中占有最重要的基礎(chǔ)地位.本章命題的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,包括函數(shù)的單調(diào)性與極值、函數(shù)方程根的討論、有關(guān)中值定理的證明以及不等式證明,因此在復(fù)習(xí)過(guò)程中這些方面的內(nèi)容值得特別注意.第三 一元函數(shù)積分考試內(nèi)原函數(shù)和不定積分的概念,不定積分的基本性質(zhì),基本積分公式,定積分的概念和基本性質(zhì),定積分中值定理,積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù),牛頓一萊布尼茲(Newton-Leibniz)公式,不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法,有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,反常(廣義)積分,定積分的應(yīng)用.考試要1.理解原函數(shù)的概念,理解不定積分和定積分的概念2.掌握不定積分的基本公式,掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理,掌握換元積分法與分部積分法.3.會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分4.理解積分上限的函數(shù),會(huì)求它的導(dǎo)數(shù),掌握牛頓一萊布尼茲公式.5.了解反常積分的概念,會(huì)計(jì)算反常積分.6.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值.3. 原函數(shù)與不定積分的概(00,5分)設(shè)flnx=ln1+x,計(jì)x
∫fxdx小如果在區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)是fx,即對(duì) x∈I,有F′x=fx,則稱(chēng)F(x)為fx的原函數(shù).顯然,此時(shí)Fx+CC∈R也為fx的原函數(shù),因此一個(gè)函數(shù)若有原函數(shù),則一定有無(wú)窮多個(gè).原函數(shù)的全體又稱(chēng)為不定積分,記為∫fxdx;原函數(shù)與不定積分有密切的關(guān)系,但又是兩個(gè)不同的概念,后者本質(zhì)上為一個(gè)集合.另外,注意下面結(jié)論∫fxdx=Fx+C,d∫Fxdx=Fxdx2.設(shè)fx為-!+!上的連續(xù)函數(shù),(1)fx是奇函 fx的任意原函數(shù)Fx為偶函數(shù)(2)fx是偶函 fx的原函數(shù)中只有一個(gè)為奇函數(shù),(3)fx的任意原函數(shù)為周期函 fx為周期函數(shù)∫T∫
∫ft∫0fx為以T為周期的周期函數(shù),
fxdx=0fx的任意原函數(shù)是以T為周期的周期函0(4)函數(shù)的單調(diào)性與其原函數(shù)的單調(diào)性之間沒(méi)有邏輯上的因果關(guān)系3.設(shè)連續(xù)的抽象函數(shù)fx,考查fx其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性等問(wèn)題時(shí),常將原函數(shù)(x)表示為積分上限函數(shù)Fx
∫ftdt+C以方便討論∫03. 定積分的基本概念與性 (11,4分)設(shè)I=∫4lnsinxdx,J=∫4lncotxdx,K=∫4lncosxdx則I,J,K的大小關(guān)系 A.I<J< B.I<K< C.J<I< D.K<J<I∫∫(12,4分)設(shè)Ik esinxdxk=1,2,3,則有 0A.I1<I2< B.I3<I2<I1C.I2<I3< D.I2<I1<I3(12,4分)limn +… 1+ 22+ n2+小定積
∫fxdx不同于不定積∫a
∫fxdx,不定積
∫fxdx表示的是一簇原函數(shù),而定積∫b∫fxdx表示一個(gè)數(shù),而且這個(gè)數(shù)只依賴(lài)于上、下限a,b和被積函數(shù)fx,與積分變量用什么符號(hào)a示無(wú)關(guān),即 fxdx fudu ft 定積分的幾何意義以及中值定理、保序性、對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分等性質(zhì)是考查的重點(diǎn).3.3 不定積分的計(jì)算(98,3分
lnsinxdx
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