名師系列雙絕對值問題的新認(rèn)識(shí)

名師系列雙絕對值問題的新認(rèn)識(shí)男，中學(xué)一級教師，研究方向：初等數(shù)學(xué)，紹興魯迅中學(xué)任教，柯橋區(qū)百名優(yōu)秀青年教師，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》《數(shù)學(xué)通訊》等期刊發(fā)表多篇論文。一、文章摘要浙江高考、學(xué)考對絕對值函數(shù)的考查素來情有獨(dú)鐘，熱度可謂持續(xù)不減。絕對值的應(yīng)用本身就是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，眾多文獻(xiàn)資料對絕對值問題的處理方法列舉頗多，層出不窮，本文從另外的視角，

對雙絕對值問題帶來新的認(rèn)識(shí)。二、試題呈現(xiàn)2018年8月浙江20校聯(lián)考填空題壓軸題（第17題）筆者在閱卷的過程中，發(fā)現(xiàn)得分率幾乎為零。在與學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)，此題對學(xué)生而言，有一種最熟悉的陌生人的感覺。熟悉的是題目條件又是絕對值形式，問題也是熟悉的最值嵌套問題，陌生的則是此題該如何下手，如何成功地破解題中的雙絕對值。三、常規(guī)解法這道題主要考查的是雙絕對值函數(shù)最值的求解，考驗(yàn)學(xué)生的閱讀理解能力，轉(zhuǎn)化能力，對絕對值不等式的理解與應(yīng)用的能力。下面筆者先談?wù)勥@個(gè)試題的常規(guī)解法：如何處理這兩個(gè)絕對值呢，有以下的三種視角：視角一：利用絕對值三角不等式解法1：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,|6-I-a+*j同理卜工-志十口-=max故二max所以如』｛+應(yīng)+4-|6所以如』｛+應(yīng)+4-|6+fl+Z?|+孑+0+16+。+』+］：卜&—8—（6+a—占）二馬視角二：以形助數(shù)，利用圖像處理絕對值函數(shù)值域

下面把a(bǔ)+b與口看成整體，作為變量，分別畫出函數(shù)圖像，如下圖j./士切ii_25解法2:同前『山（口,&）=max】6十度+牛^a-b4視角三：利用絕對值的幾何意義TOC\o"1-5"\h\z|o+>o解法3：㈤二二J1件+日口+叩"+"3+6）芝o玷（令，二矽+3!，6）⑴；二{「1牛（子+時(shí)（心酊<0陽*療—乩（饑攻zl6）（2）.L4--1、6這一區(qū)間上一動(dòng)點(diǎn)/與定點(diǎn)（。+用兩點(diǎn)間距離的最大值6--的矗小值r顯然為一-2對于（2）式：數(shù)軸上這一區(qū)間上一動(dòng)點(diǎn)1與定點(diǎn)（。-下面把a(bǔ)+b與口看成整體，作為變量，分別畫出函數(shù)圖像，如下圖j./士切ii_25解法2:同前『山（口,&）=max】6十度+牛^a-b4視角三：利用絕對值的幾何意義-1對于（2）式：數(shù)軸上■“點(diǎn)評：以'上三種方法應(yīng)該說是解決絕對值函數(shù)問題最基本的手段,三種方法核心之處在于都用了一個(gè)重要恒等式|a|+|b|二max{|a+b|,|a-b|},其本質(zhì)是把兩個(gè)絕對值問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)絕對值問題進(jìn)行研究，自然可以從絕對值函數(shù)圖象與值域，絕對值三角不等式，以及絕對值的幾何意義等方面思考，水到聚成。

四、新的解法如前解法，我們習(xí)慣于利用降維的思想，將兩個(gè)絕對值減為一個(gè)絕對值，其實(shí)兩個(gè)絕對值之和結(jié)構(gòu)本身也具有良好的幾何意義。筆者仍從三個(gè)不同的幾何視角給出新的認(rèn)識(shí)。視角四：我們知道在線性規(guī)劃里|x|+|y|=1是一個(gè)對角線長度為2的正方形，那么|x|+|y|=k呢？顯然可以當(dāng)成對角線長度為2k的，并隨著k的變化可以縮放的正方形。解法4:/(x)=x2-+=|y-(-i7)|+|x(記v=x2.tg[-2t2])則點(diǎn)(W)的軌跡可以視為以(-)為對稱中心,對稱軸垂直于坐標(biāo)軸的正方形內(nèi)部[含邊界)*隨著財(cái)?shù)淖兓?正方形的大小變化曜故題意即為畫一個(gè)正方形r要求拋物線v=x\xe[-Z2]完全包裹在正方形內(nèi).如圖是臨界狀態(tài)「易知尸9)=》十6tPS:v=一力'十6,OR.v-x--』SR:v=-x~-—4，4il-kDrl-「、斗Ici口門JL_n同樣的方法我們可以巧妙而快速地解決2017年浙江金華十校模擬卷中的填空壓軸題，如下：ikkD；+—J已知/=由如9+阮0御+|膈曲一白。0如一1|的最大值為ikkD；+—J已知/=由如9+阮0御+|膈曲一白。0如一1|的最大值為11,求cr+b~的值解;令折==5in9+Acos8,th=Z?sni8-acosO]w|+|v-l|=Z,隨著Z的變大,正方形逐斯變大當(dāng)正方形邊界與圓相切時(shí)「取得乙娜=11已知&檔是實(shí)數(shù)，對任意的最大值為所以ksm.r已知&檔是實(shí)數(shù)，對任意的最大值為所以ksm.r+5|=如下圖所示，作出可行域?yàn)榱庑蜛8CD,解:令口士38=令/二|治|+同「其表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的正方形EFGH,故可知當(dāng)正方形經(jīng)過視角五：兩個(gè)絕對值之和除了幾何意義可以表示為四邊形外，還有什么其他意義呢？其實(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中也有它的背景-----曼哈頓距離i

曼哈頓距離（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和”曼哈頓的街道縱橫交錯(cuò)（如圖）-若要從」地經(jīng)過C1地到達(dá)方地，行走的最短距離顯然是pCj+pCj.在Rt^ACB中，我們用|』Cj+|BC|來表示且5間的折線距離，這種表示法就是著名的曼哈頓距離，又稱為出租車兒何。如圈』我們也可以發(fā)現(xiàn)三種線型的不同路徑（L2.3）都對應(yīng).按的曼哈頓距離.數(shù)學(xué)表示如下：點(diǎn)J（xL,1；）與點(diǎn)BG%當(dāng)）之間的曼哈頓距離為:刁（刁伊）二|叫一沔+卜一巧|解法5:/（3，）=卜」_（一席）|+卜一（一方）=X2+這個(gè)目標(biāo)函數(shù)式可以理解為點(diǎn)P（Z）與點(diǎn)Mg）之間的惺哈頓距離"/膈=|」w|+gv|I如圖』顯然由對禰性「當(dāng)Mg在融上F即迅（0,町時(shí).廿心取得最大值的最小值，即久瘁二|捉_"十》注意到點(diǎn)覘（膈）伽#。）與點(diǎn)刊以好）（0*矣）都可以運(yùn)動(dòng)」那么我們不妨先讓點(diǎn)（I）若0<f即。服W時(shí)rdg=yfir（即點(diǎn)P自<9（00）運(yùn)動(dòng)到*（而刃點(diǎn)時(shí)心蜘最大）（ii）若,即時(shí)，戒竦="：（即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到則'!：）點(diǎn)時(shí)心噸最大）所以結(jié)合（一）可得結(jié)論畔點(diǎn)崎（軟）在皿Q）與（0」之間時(shí)），（小/=—s=6—遂點(diǎn)評：本解法將目標(biāo)式子視為〃曼哈頓距離〃的視角非常精巧,后面兩動(dòng)問題的處理也順理成章，但分類討論的能力要求較高。如果只是填空題，不少學(xué)生和老師會(huì)直接取臨界狀態(tài)，雖然少了解法中的嚴(yán)格說明過程，但也不失為一種巧解。其實(shí)“曼哈頓距離”在高考中出現(xiàn)很多次，甚至可以有更多的形態(tài)，包含了很多變形與創(chuàng)造，形如2014江西高考理科第11題。對任意弟jy7?」尤-1|+閔+偵-1|+|#+1|的最小值為（）A.lB?2C.3D.4解：此題即求平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x.y）到兩個(gè)定點(diǎn).4（0,-1）,^（J.J）間垂直于坐標(biāo)軸的方向的

而2014年的浙江高考理科第10題，〃曼哈頓距離”若隱若現(xiàn)。設(shè)函數(shù)fi（x）=x2,f1（x）=2（x-x2）r￡（對二?|血2淮|『緯二法J=0.1,2.…99.記4=|&（務(wù)）一￡皿）1+1兀（％）—兀（妃I…尤（皈）1"二】-村，則（）A匕<孔<■心B*72<ZL<孔C.</2D.月<,/2<看解：不妨取一個(gè)區(qū)間王E[0.1],顯然|碼—％+的-丹…+|&-點(diǎn)蠲|=1目桁。進(jìn)行變形,即4W/iSJ-方（為）+i/iw）-肩m…+成0網(wǎng)）-兒（唱）1=I/（%）_/（%）+一4（口￡）-.從舟）""+.4（。國）二4（%8）1+I。】一％I+屈一角I…+1"網(wǎng)一改T問題的實(shí)質(zhì)表不質(zhì)點(diǎn)從原也出發(fā).沿函數(shù)圖像（閣二）到認(rèn)點(diǎn)00）,相鄰兩個(gè)點(diǎn)％與舟_1之間的“景哈頓距商"之和,由于水平方向所走的路程均為L故只需比較豎直方向上所走路程之和大小的問題，如圖得：rIrrI1r-，Innii官…ci4■視角六：分拆函數(shù)，V型函數(shù)開路的圖象恒在為=就-IE（國-頊）的下方的大致圈象ry2=M-1*的圖象恒在為=就-IE（國-頊）的下方的大致圈象ry2=M-1*+科是如圖1,隨便畫一個(gè)M一個(gè)開口向下的V字圖，其中尖角的點(diǎn)在」（-瓦以殍E牛m應(yīng)"EL_n從瓦7洎即|疔+寸WMW+耳在應(yīng)司一2一?]上恒成立/+4+k+&杉H在應(yīng)司一2疽]上恒成立（由圖可以解釋，如圖當(dāng)點(diǎn)在如圖點(diǎn)且處，V字圖可以先向左平移f再向下平移』尖甬到達(dá)點(diǎn)g處時(shí)，紅色的v字匿|到達(dá)臨界狀態(tài)）故題目簡化為|/-卜|在xe[-2,2]上恒成立,求H的31小值接著讓日變化，顯然當(dāng)點(diǎn)。越來越高，點(diǎn)DE越來越低時(shí)，紅色的V字圖還可以繼續(xù)下移『函IJ如圖2的臨界狀態(tài)此時(shí)y^a-x-=>i'=-2x=1^xf=--r故0I-.iX.__又D(-LE)所以小'…點(diǎn)評：本解法是用動(dòng)靜分離的手段，將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的位置問題。尤其是兩動(dòng)問題，〃一定一動(dòng)，先定后動(dòng)，逐步調(diào)整'’的原則更是重要。五、解后反思新的視角呈現(xiàn)的三種解法，也是對兩個(gè)絕對值處理的一種新的理解。從此題的探究過程中，我們有這樣的認(rèn)識(shí)，雙絕對值直接理解就是兩個(gè)點(diǎn)之間的曼哈頓距離，若是換一個(gè)視角那么雙絕對值的幾何意義可以認(rèn)同為正方形的對角線長度。我們在解題中若是從不同視角多樣化處理，那么我們的問題會(huì)變得層次分明，更有意思，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會(huì)被更好地激發(fā)。浙江高考《考試說明》明確指出高考試題對學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)提出了要求。何謂個(gè)性品質(zhì)？個(gè)性品質(zhì)是指學(xué)生個(gè)體的情感，態(tài)度和價(jià)值觀，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)