機(jī)械結(jié)構(gòu)模態(tài)

第四章模態(tài)分析振動(dòng)與噪聲控制研究所第四章模態(tài)分析4.1引言4.2實(shí)模態(tài)分析4.3復(fù)模態(tài)分析4.4試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析緒論機(jī)械振動(dòng)的研究對(duì)象、意義數(shù)學(xué)準(zhǔn)備和運(yùn)動(dòng)學(xué)緒論機(jī)械振動(dòng)的研究對(duì)象、意義振動(dòng)，是指物理量在它的平均值附近不斷地經(jīng)過極大值和極小值而往復(fù)變化的過程。機(jī)械振動(dòng)指機(jī)械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運(yùn)動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)研究的對(duì)象是機(jī)械或結(jié)構(gòu)，即具備質(zhì)量和彈性的物體。在理論分析時(shí)，需要把機(jī)械或結(jié)構(gòu)按照力學(xué)原理，通過數(shù)學(xué)建模，抽象為力學(xué)系統(tǒng)（又稱為數(shù)學(xué)模型）?？梢援a(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)稱為振動(dòng)系統(tǒng)。振動(dòng)系統(tǒng)三要素及其關(guān)系振動(dòng)系統(tǒng)的三要素：激勵(lì)、系統(tǒng)和響應(yīng)外界對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)或作用，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)或輸入。系統(tǒng)對(duì)外界影響的反映，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出。二者由系統(tǒng)的振動(dòng)特性相聯(lián)系。三種基本振動(dòng)問題響應(yīng)分析：在擾動(dòng)條件和系統(tǒng)特性已知的情形下，求系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)識(shí)別：分析已知的激勵(lì)與響應(yīng)，確定振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)環(huán)境預(yù)測(cè)：已知振動(dòng)系統(tǒng)和在未知激勵(lì)下的響應(yīng)，研究該未知激勵(lì)的性質(zhì)響應(yīng)分析車輛在給定的路面上行走，求車身的加速度響應(yīng)工程提法：系統(tǒng)設(shè)計(jì)在一定的激勵(lì)條件下，如何來設(shè)計(jì)系統(tǒng)的特性，使得系統(tǒng)的響應(yīng)滿足指定的條件。系統(tǒng)識(shí)別方法：以某種已知的激振力作用在被測(cè)振動(dòng)系統(tǒng)上，使其產(chǎn)生響應(yīng)，根據(jù)已知的激勵(lì)和測(cè)量得到的響應(yīng)量值，進(jìn)而根據(jù)一定的分析方法（模態(tài)分析），確定系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)，如：質(zhì)量矩陣，剛度和阻尼矩陣以及系統(tǒng)的振型和固有頻率向量。模態(tài)試驗(yàn)環(huán)境預(yù)測(cè)例：振源判斷、載荷識(shí)別、基于振動(dòng)信號(hào)的工況監(jiān)視與故障診斷。例：用五輪儀來測(cè)量路面的不平度對(duì)于五輪儀，其系統(tǒng)特性已知，通過測(cè)量五輪儀的輸出，可以反推出路面的不平度特性。機(jī)械振振動(dòng)的的作用用消極方方面：：影響響儀器器設(shè)備備功能能，降降低機(jī)機(jī)械設(shè)設(shè)備的的工作作精度度，加加劇構(gòu)構(gòu)件磨磨損，，甚至至引起起結(jié)構(gòu)構(gòu)疲勞勞破壞壞。積極方方面：：利用用振動(dòng)動(dòng)性能能的設(shè)設(shè)備機(jī)械振振動(dòng)的的破壞壞作用用顫振：：大氣氣紊流流和其其他振振源都都會(huì)使使飛機(jī)機(jī)等飛飛行器器產(chǎn)生生振動(dòng)動(dòng)（舒舒適性性，機(jī)機(jī)載儀儀表））自激振振動(dòng)：：輸電電線的的舞動(dòng)動(dòng)1940年美國國塔可可馬(TacomaNarrows)吊橋在在中速速風(fēng)載載作用用下，，因橋橋身發(fā)發(fā)生扭扭轉(zhuǎn)振振動(dòng)和和上下下振動(dòng)動(dòng)造成成坍塌塌事故故1972年日本本海南南的一一臺(tái)66××104kW汽輪發(fā)發(fā)電機(jī)機(jī)組，，在試試車過過程中中發(fā)生生異常常振動(dòng)動(dòng)而全全機(jī)毀毀壞；；步兵在在操練練時(shí)，，不能能正步步通過過橋梁梁，以以防發(fā)發(fā)生共共振現(xiàn)現(xiàn)象造造成橋橋梁坍坍塌機(jī)械振振動(dòng)的的積極極作用用共振放放大利用顆顆粒的的振動(dòng)動(dòng)進(jìn)行行清洗洗，拋拋光，，零件件去毛毛刺；；利用振振動(dòng)減減小零零部件件之間間的摩摩擦阻阻力和和間隙隙學(xué)習(xí)機(jī)機(jī)械振振動(dòng)的的意義義進(jìn)行結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)動(dòng)強(qiáng)度度設(shè)計(jì)計(jì)的需需要消除有有害的的振動(dòng)動(dòng)利用振振動(dòng)有有利的的一面面是學(xué)好好相關(guān)關(guān)知識(shí)識(shí)的基基礎(chǔ)離散系系統(tǒng)的的基本本元件件機(jī)械振振動(dòng)系系統(tǒng)：：慣性元元件，，彈性性元件件，阻阻尼元元件，，外界界激勵(lì)勵(lì)。通常用用物理理量：：質(zhì)量M，剛度度K，阻尼尼C，和外外界激激勵(lì)F表示。。振動(dòng)分分類按系統(tǒng)統(tǒng)分：：線性系系統(tǒng)和和非線線性系系統(tǒng)離散系系統(tǒng)和和連續(xù)續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)確定性性系統(tǒng)統(tǒng)和隨隨機(jī)系系統(tǒng)按激勵(lì)勵(lì)分：：自由振振動(dòng)受迫振振動(dòng)自激振振動(dòng)參數(shù)共共振振動(dòng)分分類按響應(yīng)應(yīng)分：：簡(jiǎn)諧振振動(dòng)周期振振動(dòng)非周期期振動(dòng)動(dòng)隨機(jī)振振動(dòng)按自由由度分分：?jiǎn)巫杂捎啥日裾駝?dòng)多自由由度振振動(dòng)連續(xù)體體振動(dòng)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)一、簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)按時(shí)間間的正正弦函函數(shù)(或余弦弦函數(shù)數(shù))所作的的振動(dòng)動(dòng)振幅相位初相位位圓頻率率運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)簡(jiǎn)諧振振動(dòng)的的速度度和加加速度度位移速度加速度度大小和和位移移成正正比方向和和位移移相反反，始始終指指向平平衡位位置運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)拍不同頻頻率振振動(dòng)的的疊加加頻率接接近于于相等等時(shí)拍的頻頻率：：每秒秒中振振幅從從最小小值經(jīng)經(jīng)過最最大值值到最最小值值的次次數(shù)拍的圓圓頻率率：w1-w2運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)簡(jiǎn)諧振振動(dòng)的的復(fù)數(shù)數(shù)表示示復(fù)平面面上的的一點(diǎn)點(diǎn)z代表一一個(gè)矢矢量使該矢矢量以以等角角速度度w在復(fù)平平面內(nèi)內(nèi)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)（復(fù)復(fù)數(shù)旋旋轉(zhuǎn)矢矢量））wtPA實(shí)軸虛軸運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)速度、、加速速度的的復(fù)數(shù)數(shù)表示示位移速度加速度度對(duì)復(fù)數(shù)數(shù)Aeiwt每求導(dǎo)導(dǎo)一次次，相相當(dāng)于于在它它的前前面乘乘上一一個(gè)iw，而每每乘上上一個(gè)個(gè)i，相當(dāng)當(dāng)于把把這個(gè)個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢量量逆時(shí)時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)p/2運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)諧波分分析把一個(gè)個(gè)周期期函數(shù)數(shù)展開開成傅傅立葉葉級(jí)數(shù)數(shù)，亦亦即展展開成成一系系列簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧函函數(shù)之之和一般的的周期期振動(dòng)動(dòng)可以以通過過諧波波分析析分解解成簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧振振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)諧波分分析傅立葉葉級(jí)數(shù)數(shù)w1:基頻諧波分分析兩個(gè)頻頻率相相同的的簡(jiǎn)諧諧振動(dòng)動(dòng)可以以合成成一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)諧諧振動(dòng)動(dòng)把諧波波分析析的的結(jié)果果形象象化：：An，jn和w之間的的關(guān)關(guān)系用用圖形形來表表示，，稱為為頻譜譜單自由由度系系統(tǒng)自由振振動(dòng)簡(jiǎn)諧振振動(dòng)非周期期強(qiáng)迫迫振動(dòng)動(dòng)自由振振動(dòng)振動(dòng)系系統(tǒng)在在初始始激勵(lì)勵(lì)下或或外加加激勵(lì)勵(lì)消失失后的的運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀態(tài)態(tài)。自由振振動(dòng)時(shí)時(shí)系統(tǒng)統(tǒng)不受受外界界激勵(lì)勵(lì)的影影響，，其運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)的能能量來來自于于初始始時(shí)刻刻彈性性元件件和慣慣性元元件中中存儲(chǔ)儲(chǔ)的能能量。。振動(dòng)規(guī)規(guī)律完完全取取決于于初始始時(shí)刻刻存儲(chǔ)儲(chǔ)的能能量和和系統(tǒng)統(tǒng)本身身的性性質(zhì)。。運(yùn)動(dòng)微微分方方程振動(dòng)系系統(tǒng)在在初始始激勵(lì)勵(lì)下或或外加加激勵(lì)勵(lì)消失失后的的運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀態(tài)態(tài)。自由振振動(dòng)時(shí)時(shí)系統(tǒng)統(tǒng)不受受外界界激勵(lì)勵(lì)的影影響，，其運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)的能能量來來自于于初始始時(shí)刻刻彈性性元件件和慣慣性元元件中中存儲(chǔ)儲(chǔ)的能能量。。振動(dòng)規(guī)規(guī)律完完全取取決于于初始始時(shí)刻刻存儲(chǔ)儲(chǔ)的能能量和和系統(tǒng)統(tǒng)本身身的性性質(zhì)。。運(yùn)動(dòng)微微分方方程運(yùn)動(dòng)微微分方方程運(yùn)動(dòng)微微分方方程解運(yùn)動(dòng)微分分方程單自由度度系統(tǒng)無無阻尼自自由振動(dòng)動(dòng)是簡(jiǎn)諧諧振動(dòng)能量關(guān)系系意義：慣慣性力的的功率Fm與彈性力力的功率率Fs之和為零零能量關(guān)系系能量關(guān)系系Rayleigh商動(dòng)能系數(shù)數(shù)阻尼自由由振動(dòng)方程阻尼自由由振動(dòng)解特征方程程臨界阻尼尼阻尼自由由振動(dòng)特征方程程解阻尼自由由振動(dòng)方程的通通解三種情況況>1，相異實(shí)實(shí)根。阻阻尼大于于臨界阻阻尼。強(qiáng)強(qiáng)阻尼=1，重根。。阻尼等等于臨界界阻尼<1，共軛復(fù)復(fù)根。阻阻尼小于于臨界阻阻尼，弱弱阻尼，，阻尼自由由振動(dòng)>1=1阻尼自由由振動(dòng)<1阻尼固有有頻率阻尼自由由振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減減率簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫迫振動(dòng)方程解簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫迫振動(dòng)系數(shù)簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫迫振動(dòng)放大系數(shù)數(shù)01234X/A0.51/n10.70.40.30.2012310.70.50.20.1簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)相頻頻特特性性簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)全解解簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)全解解振動(dòng)動(dòng)計(jì)計(jì)01234675012ABCy0/a0w/wn位移移測(cè)測(cè)量量計(jì)計(jì)擾動(dòng)動(dòng)頻頻率率大大于于儀儀器器的的固固有有頻頻率率（（B點(diǎn)）），，記記錄錄的的振振幅幅逐逐漸漸接接近近于于擾擾動(dòng)動(dòng)頻頻率率的的振振幅幅儀器器的的固固有有頻頻率率應(yīng)應(yīng)該該比比要要記記錄錄測(cè)測(cè)量量的的頻頻率率低低2倍當(dāng)振振動(dòng)動(dòng)包包含含高高階階頻頻率率時(shí)時(shí)，，不不影影響響位位移移振振動(dòng)動(dòng)計(jì)計(jì)的的測(cè)測(cè)量量簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)振動(dòng)動(dòng)加加速速度度計(jì)計(jì)01234675012ABCy0/a0w/wn振動(dòng)動(dòng)加加速速度度計(jì)計(jì)的的固固有有頻頻率率應(yīng)應(yīng)該該是是所所記記錄錄測(cè)測(cè)量量的的最最高高頻頻率率的的2倍以以上上簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)振動(dòng)動(dòng)加加速速度度計(jì)計(jì)－－振振幅幅r0/aw/wn00.250.500.751.001.251.501.752.0000.51.01.52.0c/cc=0拋物物線線c/cc=0.5c/cc=0.7為了了避避免免高高階階諧諧振振共共振振影影響響振振動(dòng)動(dòng)加加速速度度計(jì)計(jì)工工作作，，必必須須在在振振動(dòng)動(dòng)加加速速度度計(jì)計(jì)中中加加入入阻阻尼尼0.5和0.7臨界界阻阻尼尼比比無無阻阻尼尼曲曲線線更更接接近近理理想想加加速速度度計(jì)計(jì)曲曲線線簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)振動(dòng)動(dòng)加加速速度度計(jì)計(jì)-相位位12300306090180jw/wnc/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120150當(dāng)阻阻尼尼在在0.5-0.7臨界界阻阻尼尼之之間間時(shí)時(shí)，，相相位位差差特特性性曲曲線線很很接接近近低低于于共共振振區(qū)區(qū)域域的的對(duì)對(duì)角角線線：：相相位位差差近近似似正正比比于于頻頻率率，，記記錄錄的的波波的的合合成成與與實(shí)實(shí)際際波波相相同同。。簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)振動(dòng)動(dòng)的的隔隔離離原原理理k通過過彈彈簧簧傳傳給給下下層層結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的力力？？012345-1－2-3-41x0/xstABCw/wn可傳傳性性簡(jiǎn)諧諧強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)振動(dòng)動(dòng)的的隔隔離離原原理理:阻尼尼w/wn隔振振系系數(shù)數(shù)10201230.250.50.5c/cc=0w/wn<1.41區(qū)域域中中，，阻阻尼尼使使隔隔振振系系數(shù)數(shù)減減小小(但仍仍然然比比1大)阻尼尼的的存存在在使使隔隔振振系系數(shù)數(shù)更更壞壞？？阻尼尼的的存存在在可可以以有有效效防防止止共共振振阻尼尼的的不不利利效效應(yīng)應(yīng)可可以以很很容容易易通通過過使使彈彈簧簧變變得得更更軟軟來來彌彌補(bǔ)補(bǔ)非周周期期強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)脈沖沖力力t=時(shí)的的單單位位脈脈沖沖力力重要要性性質(zhì)質(zhì)：：F(t)在t=連續(xù)續(xù)，，則則有有非周周期期強(qiáng)強(qiáng)迫迫振振動(dòng)動(dòng)系統(tǒng)統(tǒng)的的單單位位脈脈沖沖響響應(yīng)應(yīng)條件件：：t=0以前系統(tǒng)統(tǒng)靜止，，t=0時(shí)刻受到到一個(gè)單單位脈沖沖力作用用解為單位位脈沖響響應(yīng)h(t)=0t<0非周期強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)卷積極分分把任意激激勵(lì)F(t)看成一系系列脈沖沖函數(shù)的的疊加定解問題題解多自由度度系統(tǒng)多自由度度系統(tǒng)振振動(dòng)方程程固有振動(dòng)動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)應(yīng)分析多自由度度系統(tǒng)振振動(dòng)方程程例多自由度度系統(tǒng)振振動(dòng)方程程x={x1，x2}Tf(t)={f1(t)，f2(t)}T多自由度度系統(tǒng)振振動(dòng)方程程質(zhì)量矩陣陣，阻尼尼矩陣，，剛度矩矩陣的性性質(zhì)對(duì)稱性正定性耦合慣性耦合合阻尼耦合合彈性耦合合耦合的消消除固有振動(dòng)動(dòng)2反向運(yùn)動(dòng)動(dòng)例：對(duì)稱稱系統(tǒng)，，特殊初始始條件下下的振動(dòng)動(dòng)1同向運(yùn)動(dòng)動(dòng)x1(0)=x2(0)=x0，x1(0)=x2(0)=x0固有振動(dòng)動(dòng)固有振動(dòng)動(dòng)3任意初始始條件分解為兩兩個(gè)初始始條件固有振動(dòng)動(dòng)數(shù)學(xué)提法法方程特征值問問題頻率方程程K=ω2Mu|kijω2mij|=0解為固有頻率率ω1≤ω2≤，…，≤ωn振型1，2，…，n固有頻率率矩陣=diag(ω1，ω2，…，ωn)振型矩陣陣={1，2，…，n}K={K1，K2，…，Kn}={ω121，ω222，…，ωn2n}固有振動(dòng)動(dòng)振型的正正交性當(dāng)r≠s時(shí)，如果果ωr≠ωs，則有可證：振振型之間間線性無無關(guān)可定義以以剛度矩矩陣和質(zhì)質(zhì)量矩陣陣為權(quán)的的內(nèi)積即：振型型之間彼彼此以剛剛度矩陣陣和質(zhì)量量矩陣為為權(quán)正交交<x,y>K=xTKy,<x,y>M=xTMy當(dāng)y=x時(shí)<x,x>K=xTKx,<x,x>M=xTMx固有振動(dòng)動(dòng)振型正交交性的物物理意義義如果x=arr+ass則?xTKx=?ar2rTKr+?as2sTKs固有振動(dòng)動(dòng)振型歸一一化1令2令r的某一分分量為1。比如取取r的分量中中絕對(duì)值值最大的的分量為為1，固有振動(dòng)動(dòng)振型坐標(biāo)標(biāo)的解耦耦性阻尼矩陣陣的處理理Rayleigh阻尼C=αM+βKFawzy證明C可對(duì)角化化應(yīng)滿足足下述條條件之一一固有振動(dòng)動(dòng)方程特征方程程令q=etn對(duì)共軛復(fù)復(fù)根動(dòng)力響應(yīng)應(yīng)分析物理坐坐標(biāo)下下的方方程x=y，且兩兩邊左左乘T，得到到振型型坐標(biāo)標(biāo)下的的方程程寫出分分量形形式動(dòng)力響響應(yīng)分分析初始條條件的的處理理兩邊左左乘TM同樣動(dòng)力響響應(yīng)分分析展開定定理彈性力力位移復(fù)模態(tài)態(tài)分析析方程引入輔輔助方方程令狀態(tài)空空間方方程復(fù)模態(tài)態(tài)分析析令q=et特征方方程n對(duì)共軛軛復(fù)根根復(fù)模態(tài)態(tài)分析析由得到n對(duì)2n維共軛軛向量量(特征向向量)并有稱r為第r階模態(tài)態(tài)向量量復(fù)模態(tài)態(tài)分析析令則這里稱：為復(fù)模模態(tài)矩矩陣為特征征向量量矩陣陣為頻率率矩陣陣復(fù)模態(tài)態(tài)分析析復(fù)特征征向量量的正正交性性r，s=1，2，…,n復(fù)模態(tài)分析析上面公式展展開得r，s=1，2，…,n復(fù)模態(tài)分析析分塊有復(fù)模態(tài)分析析分塊有復(fù)模態(tài)分析析復(fù)模態(tài)質(zhì)量量復(fù)模態(tài)參數(shù)數(shù)復(fù)模態(tài)剛度度r=1，2，…,n復(fù)模態(tài)阻尼尼并有r=1，2，…,n復(fù)模態(tài)分析析復(fù)模態(tài)阻尼尼衰減系數(shù)數(shù)復(fù)模態(tài)固有有頻率r=1，2，…,n復(fù)模態(tài)阻尼尼比并有復(fù)模態(tài)阻尼尼固有頻率率復(fù)模態(tài)分析析物理坐標(biāo)下下的方程q=y，且兩邊左左乘T，得到復(fù)特特征向量坐坐標(biāo)下的方方程初始條件復(fù)模態(tài)分析析物理坐標(biāo)下下的自由振振動(dòng)解特征向量坐坐標(biāo)下的解解為由q=y中取出前n項(xiàng)，得復(fù)模態(tài)分析析如果系統(tǒng)以以某階阻尼尼固有頻率率振動(dòng)時(shí)，，有其中第s個(gè)坐標(biāo)的運(yùn)運(yùn)動(dòng)為設(shè)則復(fù)模態(tài)分析析一般粘性阻阻尼系統(tǒng)以以r階主振動(dòng)做做自由振動(dòng)動(dòng)時(shí)，每個(gè)個(gè)物理坐標(biāo)標(biāo)的初相位位(sr＋r)不僅與該階階主振動(dòng)有有關(guān)，還與與物理坐標(biāo)標(biāo)s有關(guān)，即各各物理坐標(biāo)標(biāo)初相位不不同。因而而，每個(gè)物物理坐標(biāo)振振動(dòng)時(shí)并不不同時(shí)達(dá)到到平衡位置置和最大位位置，即主主振型節(jié)點(diǎn)點(diǎn)（線）是是變化的，，即不具備備模態(tài)保持持性，主振振型不再是是駐波形式式，而是行行波形式。。這是復(fù)模模態(tài)系統(tǒng)的的特點(diǎn)復(fù)模態(tài)分析析簡(jiǎn)支梁二階階振型半個(gè)個(gè)周期內(nèi)的的變化（a）實(shí)模態(tài)系系統(tǒng)；（b）復(fù)模態(tài)系系統(tǒng)連續(xù)體振動(dòng)動(dòng)桿的縱向振振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振振動(dòng)梁的彎曲振振動(dòng)桿的縱向振振動(dòng)假定：細(xì)長等截面面桿,振動(dòng)時(shí)橫截截面仍保持持為平面，，橫截面上上的質(zhì)點(diǎn)只只作沿桿件件縱向的振振動(dòng)，橫向向變形忽略略不計(jì)。則則同一橫截截面上各點(diǎn)點(diǎn)在x方向作相等等的位移。。參數(shù)：桿長長l，截面積S，材料密度度，彈性模量量E桿的縱向振振動(dòng)桿的縱向振振動(dòng)微元分析：：桿的縱向振振動(dòng)桿的縱向向振動(dòng)桿的縱向向振動(dòng)解：設(shè)u(x,t)=X(x)·T(x)即桿的縱向向振動(dòng)解為時(shí)間域，，初值問問題空間域，，邊值問問題固支邊條條件x=0時(shí)，u(0,t)=X(0)·T(x)=0，即X(0)=0x=l時(shí)，u(l,t)=X(0)·T(l)=0，即X(l)=0自由邊條條件x=0時(shí),，即x=l時(shí),，即桿的縱向向振動(dòng)例：如果兩端端固支，，有——兩端固支支桿縱向向振動(dòng)特特征方程程（頻率率方程））這就是兩兩端固支支桿縱向向振動(dòng)的的各階頻頻率，相相應(yīng)的各各階固有有振型是是：（n=1,2,………∞）（n=1,2,………∞）C2=0顯然，C1≠0，故有：：軸的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)振動(dòng)方程彈性軸軸軸向坐標(biāo)標(biāo)x，扭轉(zhuǎn)變變形θ(x,t)，單位長長度對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣量I(x)，截面抗抗扭剛度度為GJ(x)。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣慣量I(x)，截面抗抗扭剛度度GJ(x)與x無關(guān)時(shí)梁的彎曲曲振動(dòng)方程用分離變變量法求求解，令令令，則上式為：

梁的彎曲曲振動(dòng)方程邊界條件件簡(jiǎn)支梁的彎曲曲振動(dòng)固支自由梁的彎曲曲振動(dòng)固支自由隨機(jī)振動(dòng)動(dòng)隨機(jī)過程程相關(guān)函數(shù)數(shù)功率譜函函數(shù)激勵(lì)響應(yīng)應(yīng)關(guān)系隨機(jī)過程程樣本函數(shù)數(shù)xr(t)t(∞∞，∞)隨機(jī)函數(shù)數(shù)狀態(tài)數(shù)字特征征均值x=E[X(t)]均方值x=E[X2(t)]方差E[(X(t)x)2]相關(guān)函數(shù)數(shù)相關(guān)函數(shù)數(shù)自相關(guān)函函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程統(tǒng)計(jì)性質(zhì)質(zhì)、趨勢(shì)勢(shì)與時(shí)間間無關(guān)互相關(guān)函函數(shù)均值、均均方值和和方差為為常數(shù)相關(guān)函數(shù)數(shù)是時(shí)差差的函數(shù)數(shù)各態(tài)遍歷歷過程相關(guān)函數(shù)數(shù)自相關(guān)函函數(shù)性質(zhì)質(zhì)1偶函數(shù)2周期隨機(jī)機(jī)過程的的自相關(guān)關(guān)函數(shù)仍仍是周期期函數(shù)345如果不是是周期隨隨機(jī)過程程相關(guān)函數(shù)數(shù)互相關(guān)函函數(shù)性質(zhì)質(zhì)1234X(t)、Y(t)相互獨(dú)立立功率譜函函數(shù)自譜性質(zhì)1自