2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿之第10講 幾何法秒解離心率問題（解析版）

第10講幾何法秒解離心率問題參考答案與試題解析一．選擇題（共19小題）1．過雙曲線的右焦點，作圓的切線，切點為，延長交雙曲線左支于點，且是的中點，則雙曲線離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，記右焦點為，則為的中點，為的中點，為△的中位線，，為切點，，，點在雙曲線上，，，在中，有：，，即，離心率，故選：．2．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．圓與雙曲線的右支交于點，且，則雙曲線離心率為A． B． C． D．【解答】解：可設(shè)為第一象限的點，且，，由題意可得，①由雙曲線的定義可得，②由勾股定理可得，③聯(lián)立①②③消去，，可得：，即，則，故選：．3．如圖，已知橢圓，過原點的直線與橢圓交于、兩點，點為橢圓的右焦點，且滿足，設(shè)，且，，則橢圓離心率的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點為，連接，，則四邊形為矩形．因此，，，，，，又，，，，，，，，，，故選：．4．已知，是橢圓的左、右焦點，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，且，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，則，，而由橢圓的定義可知，所以，所以，則，在中，，所以在△中，，即，整理可得：，所以，故選：．5．設(shè)橢圓的兩個焦點是，，過點的直線與橢圓交于點，，若，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，因為，且，所以，可得，，故．過作，在直角三角形中，，，由，可得．即可得，．故選：．6．如圖，、是橢圓與雙曲線的公共焦點，、分別是、在第二、四象限的公共點，若，且，則與的離心率之和為A． B．4 C． D．【解答】解：、是橢圓與雙曲線的公共焦點，、分別是、在第二、四象限的公共點，若，且，可得：，，，，代入橢圓方程可得：，可得，可得，解得．代入雙曲線方程可得：，可得：，可得：，解得，則與的離心率之和為：．故選：．7．設(shè)是雙曲線的右焦點，為坐標(biāo)原點，過的直線交雙曲線的右支于點，，直線交雙曲線于另一點，若，且，則雙曲線的離心率為A．3 B．2 C． D．【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點為，由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形．，．設(shè)，則，，即，．，，又，在△中，由余弦定理可得：，即，，雙曲線的離心率．故選：．8．設(shè)橢圓的左、右兩個焦點分別為、，右頂點為，為橢圓上一點，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的左、右兩個焦點分別為、，右頂點為，為橢圓上一點，且，，可知：，，設(shè)，可得，，，解得，可得．故選：．9．已知雙曲線過的右焦點作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于、兩點，、兩點分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．【解答】解：由題意知：雙曲線的右焦點，漸近線方程為，即，如下圖所示：由點到直線距離公式可知：，又，，，，設(shè)，由雙曲線對稱性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化簡可得：，即，由雙曲線離心率公式可知：．故選：．10．設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若點滿足，則該雙曲線的離心率是A． B． C． D．【解答】解：由雙曲線的方程可知，漸近線為，分別與聯(lián)立，解得，，，，中點坐標(biāo)為，，點滿足，，，，．故選：．11．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為．已知，，點是雙曲線右支上的動點，且恒成立，則雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：令代入雙曲線的方程可得，由，可得，即為，即有①，因為恒成立，由雙曲線的定義，可得恒成立，由，，共線時，取得最小值，可得，即有②，由，結(jié)合①②可得，的范圍是．故選：．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，．若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：在△中，由正弦定理知，，，即，①又在橢圓上，，②聯(lián)立①②得，即，同除以得，，得．橢圓的離心率的取值范圍為．故選：．13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線支上，滿足，，又直線與雙曲線的左、右兩支各交于一點，則雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：以，為邊，作平行四邊形，如圖所示：則，，又，所以，因為對角線相等的平行線四邊形是矩形，所以，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，可知，因為，所以，即，，在△中，有，又，所以，所以，因為，，即，所以，解得，又因為雙曲線的離心率，所以，由題意知，雙曲線的漸近線方程為，又直線與雙曲線的左右兩支各交于一點，所以直線的斜率大于雙曲線的漸近線的斜率，所以，即，所以，解得（或舍去），綜上所述，．故選：．14．已知為坐標(biāo)原點，是橢圓的左焦點，，分別為的左，右頂點．為上一點，且軸．過點的直線與線段交于點，與軸交于點．若直線經(jīng)過的三等分點（靠近點），則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：如圖，由，，，所以，得．所以．故選：．15．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，，是右支上一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點為，在上的切點為，則，，，由雙曲線的對稱性可得，由雙曲線的定義可得，解得，又，即有，離心率．故選：．16．已知雙曲線的左頂點為，過雙曲線的右焦點作軸的垂線交于點，點位于第一象限，若△為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為A． B．2 C． D．【解答】解：把代入雙曲線，解得，，△為等腰直角三角形，，，，即，，即，解得或（舍．故選：．17．已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若，則的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：，即，由題意可得，所以到漸近線的距離，圓的半徑為，因為，所以可得，所以，所以可得離心率，故選：．18．已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2【解答】解：雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑做圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點．若，可得到漸近線的距離為：，可得：，即，可得離心率為：．故選：．19．過橢圓的左頂點作圓是橢圓的焦距）兩條切線，切點分別為，，若，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：左頂點，因為，由橢圓的對稱性可得，所以，即，所以離心率，故選：．二．填空題（共11小題）20．已知是雙曲線的一個焦點，是上的點，線段交以的實軸為直徑的圓于，兩點，且，是線段的三等分點，則的離心率為．【解答】解：如圖：，，，是的中點，也是的中點，設(shè)，，，，可得：，，消去可得：，即，即，，，解得，所以．故答案為：．21．設(shè)橢圓的兩個焦點是、，過的直線與橢圓交于、，若，且，則橢圓的離心率為．【解答】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由，設(shè)，，，過做，則，由橢圓的定義可得：，，，即，①，，由，即，整理得：解得，即，則故答案為：．22．如圖，，是橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別是，在第二、四象限的公共點．若四邊形為矩形，則的離心率是．【解答】解：設(shè)，，點為橢圓，，，；，即；①又四邊形為矩形，，②由①②解得，，設(shè)雙曲線的實軸長為，焦距為，則，，的離心率是．故答案為：．23．已知雙曲線，若矩形的四個頂點在上，，的中點為的兩個焦點，且，則的離心率是2．【解答】解：令，代入雙曲線的方程可得，由題意可設(shè)，，，，由，可得，即為，由，，可得，解得（負(fù)的舍去）．故答案為：2．24．已知直線與雙曲線相交于不同的兩點，，為雙曲線的左焦點，且滿足，為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為．【解答】解：設(shè)，則，取雙曲線的右焦點，連接，，可得四邊形為平行四邊形，可得，設(shè)在第一象限，可得，即，由平行四邊形的對角線的平方和等于四條邊的平方和，可得，化為，則．故答案為：．25．雙曲線的左、右焦點分別是、，直線與曲線交于，兩點，，且，則雙曲線的離心率是．【解答】解：設(shè)，因為，則，，所以，，，在三角形中，由余弦定理可得：，整理可得：，所以離心率，故答案為：．26．已知雙曲線的右焦點為，，是雙曲線的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點，且線段的中點落在另一條漸近線上，則雙曲線的離心率為2．【解答】解：如圖，由題知，則，點是線段的中點，則，故，則，所以．故答案為：2．27．設(shè)雙曲線的中心為點，若有且只有一對相交于點、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．【解答】解：不妨設(shè)雙曲線的方程是，由及雙曲線的對稱性知，，，關(guān)于軸對稱，如圖，又滿足條件的直線只有一對，當(dāng)直線與軸夾角為時，雙曲線的漸近線與軸夾角大于，雙曲線與直線才能有交點，，，，若雙曲線的漸近線與軸夾角等于，則無交點，且不可能存在，當(dāng)直線與軸夾角為時，雙曲線漸近線與軸夾角小于，雙曲線與直線有一對交點，，，，若雙曲線的漸近線與軸夾角等于，也滿足題中有一對直線，但是如果大于，則有兩對直線．不符合題意，，則，，，解得．故答案為．28．已知點是橢圓的右焦點，點是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為．【解答】解：如圖，，作軸于點，則由，得：，所以，，即，由橢圓的第二定義得，又由，得，，解得，故答案為：．29．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為．若，則的離心率是．【解答】解：設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點為，