第四屆全國(guó)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽非類試題及答案

1(1)求極限lim(n!)n22xy3z2 求通L 5x5y4z3

的兩個(gè)相互垂直的平面1和2，使其中一個(gè)平面過(guò)已知函數(shù)zu(x,y)eaxby 02zzz 0

確定常數(shù)ab，使函數(shù)zz(x,y)滿足方程 設(shè)函數(shù)uu(x連續(xù)可微求u(x)

u(2)1,且(x2y)udxxu3udyL求極限lim3x

sin dtttcos 1（1）因?yàn)?n!)n2 （1分 1ln(n!)1ln1ln2 lnn

limlnn （3分 n1 2 n 且n 所 lim1ln1ln2 lnn0n

1 2 n lim1ln(n!)0

lim(n!)n2 （2分n過(guò)直線L

(2xy3z2)(5x5y4z3)即(25)x(5)y(34)z(23)0 （2分若平面1過(guò)點(diǎn)(4,3,1)，代入得0，從而13x4yz1若平面束中的平面2與1垂直

（2分3(25)4(5)1(34)解得3，從而平面2的方程為x2y5z30 （2分 axby axby x y ybu(xy) （2分 2zaxby bxayabu(x, （2分 2 z eaxby(b1) 1)u(aba b1)u(x,y) 2zzz 0,(b1)u(a1)u(abab1)u(x,y)=0，即ab （2分 由u[xu3](x2y)u得x4u3u'u,即dx1x4u （2分 xelnu4u2elnuduCu4uduCu2u2Cux1/

（3分由u(2)1得C0,

（1分2sin3sin

tdt3x tx

（3分x3x x23x x1 0(xx3x xtcos所以lim3x sin dt=0tcos n n

|sinx|ne2x|sinx|

ke2x|sinx|

k k12 (k1) k

sin （3分(k

(1)k1e2xsinxdx=1e2k(1e25

（2分n2 e250 |sinx|dx 5

k

(1e)

1

（2分當(dāng)nxn1) ne2x|sinx|dxxe2x|sinx|dx(n1)e2x|sinx| 2 x2 1e20 |sinx|dx=lim0

|sinx|dx5e2 （3分注：如果最后不

|sinx|dx

1e2e2x|sinx|dx 0e2x|sinx|dx收斂0

n

5e2（10分）x2sin12x501的近似解.x解 公式sinttsin(t)t2x sinx令t 得

(0 （2分 x1sin2x 即x5011sin （4分 x

x由此知x5000x

1 x5011sin1

x

2 （4分四、（本題12分）yf(x)的二階可導(dǎo)，且f''(x)0,f(0)0,f'(0)0

x3ff(x)sin3

uyf(xp(x,f(xx軸上的截距yf(xp(x,f(xYf(x)f'(x)(Xx)令Y0Xx

ff

，由此ux

ff

（3分 f(x)limf(x)f

f(0)limulimx

（2分 x0 f'(x) x0f(x)fx

f由f(x)在x0處的二階公f(xf(0f'(0)xf(0)x2(x2)f(0)x2(x2……（2分 得lim

f(0)x2(x21limf(x)1 x0 x0xf xf111limf(0)(1)12x0f'(x)fxx3f(0)u2(u2)

1f(0) （3分2f x3f x03lim x03x0f(x)sin

（2分x2(x2) x0 1五、（本題12分）C，使得滿足|f(x|dx1的連續(xù)的函數(shù)f(x)都有01f(x)dx0 解由 0|f(x)|dx0|f(t)|2tdt20|f(t)|dt （4分另一方面,取f(x)(n1)xn, |f(x)|dx f(x)dx （3分11 0 011x)dx 2n121 12n （3分而1f 0 20tfn n

n 因此最小的實(shí)數(shù)C （2分六、（本題12分）f(x為連續(xù)函數(shù),t0。區(qū)域zx2y2x2y2z2t2(t0)所圍起來(lái)的部分.F(tf(x2y2z2dv14t2解法 記gg(t) ,則在xy面上的投影為x214t22 x2y2

….（2分Sx2y2z2t2上任取一點(diǎn)(xyz,z為arccos

g.取t0,則 .對(duì)于固定的t0,考慮積分arccos tarccosF(ttF(t,這是一個(gè)在厚度為t的球殼上的積分.z軸夾角在tt和t之間.我們使用球坐標(biāo)變換來(lái)做這個(gè)積分,由積分的連續(xù)性可知,(t,ttt, t F(ttF(t d （ tF(ttF(t21cosf(r2r2dr.而當(dāng)t0ttcoscost

t

21g(tt2f(t2 2t114t tf(t2 （4分 當(dāng)t0,F(tF(tt可以得到同樣的左導(dǎo)數(shù).F'(t2t 14t2tf(t2 （2分2..令

rcosrsinz14t22 014t22則:

0r

aat,

………(2分t2rt2tattatr F(tdrdrf(r2z2)dz2r f(r2z2)dzdr…….（2 rtata

r

f2z2)dz

rf(r2t2r2) dr….（4分0 0 a

t2r t2a a2,第一個(gè)積分t2a

r2

tf(t 0 t2r0

2 t 所以F'(t)2tf(t2)ta2tf(t2)2t 14t2 （4分. （14分）設(shè)an與bn 1 ，則an收斂n bn1 1 （2） ，且bn發(fā)散，則an發(fā)散n bn1 120,則存在N,對(duì)于任意的nN n bn1n 1, anan1 1(anan1n n1 1

1

（4分1nn

(b