2023年人教版高考數(shù)學總復習第一部分考點指導第八章立體幾何第六節(jié)第2課時用空間向量研究距離問題

第2課時用空間向量研究距離問題【考試要求】了解利用空間向量求空間距離的方法，會求空間距離.【高考考情】考點考法：高考命題常以空間幾何體為載體考查空間距離，難度中檔，特別是點到面的距離是考查熱點.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學直觀O- =—知識梳理二思碓激話- -O歸納?知識必備空間中的距離”名稱概念求法兩點距空間中兩個點連線的線段長求向量的模設直線/的單位方向向量為u,AG1,點線距過空間一點作一條直線的垂線段的長代I,設9=a,則點P到直線/的距離d=J|a|2—(a*u)2已知平面a的法向量為n,a，氏a,點面距過平面外一點作平面的一條垂線段的長向占。到平面。的用重力"I"'"則點〃至UT[ffl。日勺此1禺為d—n線面距當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點面距面面距當平面與平面平行時，一個平面上的任意一點到另一個平面的距離注解1兩點距、點線距都可用空間向量的模來求解，而線面距和面面距可以轉(zhuǎn)化為點面距,利用平面的法向量來求解.智學?變式探源1.選擇性必修一P34例62.選擇性必修一P38練習T3L（改變條件）在棱長為1的正方體力比348G〃中，￡為4〃的中點，則點C到直線方的距離為（）【解析】選c.建立空間直角坐標系，如圖,則C(l,1,0),G(l,1,1),40,g，1)，所以=(-19—萬，1)，CC]=(0,0,1),所以點G到直線用的距離d=|cq]所以點G到直線用的距離d=|cq]2-(cq.CE,2~^~r42.（改變圖形）如圖,在棱長為2.（改變圖形）如圖,在棱長為1的正方體ABC》A\B、C\D、中,平面44。與平面的距離d是（）C."ODYC."ODY【解析】選B.如圖,以〃為坐標原點，分別以加，【解析】選B.如圖,以〃為坐標原點，分別以加，DC,〃〃所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，連接BD,BD交AC于點、E,則6(1,1,0),〃(0,0,0),〃(0,0,1),因為如_L47,ACLBD,BDCDD產(chǎn)D,所以4C_L平面D、DB,所以BD\LAC.同理可證BD\LAB\.因為力6口仍=4所以8〃，平面45C,即BD；是平面45。的一個法向量.因為平面45?！ㄆ矫?所以點〃到平面45。的距離即為兩平面之間的距離.i-i-(1 1因為龐=b，9,I乙乙0,BD,=（-1,所以d_\麗?西|2X（-1）+2X（-1）+0X1所以|BE\| W+l+1慧考?四基自測3.基礎知識4.基本方法5.基本應用6.基本能力3.(求點面距)在空間直角坐標系中，。為坐標原點，平面以6的一個法向量為a=(2,-2,1),已知點夕(一1,3,2),則點夕到平面的6的距離d等于( )A.4B.2C.3D.10P?n I—2—6+2I【解析】選B.點尸到平面的8的距離為=1 ] =2..(求兩點距)已知灑=(2,1,1),龐=(1,3,1),則點43之間的距離為.【解析】因為宓=0B-0A=(—1，2,0),所以46=AB(-1)2+22+02=乖.答案：乖.(由點面距求參數(shù))已知平面。的法向量為〃=(一2,-2,1),點加X,3,0)在平面。內(nèi),若點夕(一2,1,4)到平面。的距離d為與，則*=.【解析】已知d="丁=與，因為赤=(-2—x,-2,4),n3cr. |—2(—2—x)+4+41 10 ?所以d= /…一, =-7，解得*=—1或一1L44+4+1 3答案：一1或一11

.(求線面距)如圖，在棱長為1的正方體力比243K〃中，機加分別是線段8旦，的中點，則直線助V到平面力切的距離為.【解析】如圖，以。為坐標原點，DA,DC,所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則平面4M的一個法向量為(1，1，1)，由題意，知1, ,月(1,0,0),所以沏=(0,1,1?(1,1,1)所以點〃到平面力切的距離為d=~易知MN〃A%,又因為JW平面力幼，力〃u平面/制,所以MN//平面ACD、,所以"V到平面ACD,的距離為好乙?、考點、摞寬?悟法培優(yōu),自主練透“考點一兩點距自主練透.若。為坐標原點，OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段48的中點尸到點。的距離為().B.2^/14 C.-\[53 D.

【解析】選D.因為辦(0A+08)=義(4,3,6)=(2, 30C=(0,1,0),所以瓦"應1一澇7=(-2,-1,一3),所以|死'|=^4+；+9=亨..如圖所示，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體力比B'CD',A'。的中點后與的中點/的距離為.【解析】易知4(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a),答案.譙i—i? 2教師專用?教師專用?【規(guī)律方法】計算兩點間的距離的基本方法(1)把線段用向量表示，然后利用|a『=a?a,通過向量運算求|a.(2)求解的圖形適合建立空間直角坐標系時，可用坐標法求向量的長度(或兩點間距離).【加練備選】如圖，空間四邊形/靦的每條棱和對角線的長都等于1,點〃，N分別是46,切的中點，則

妙的長為由題意”—IQ=|r|=1,且pq,r三向量兩兩夾角均為60°.【解析】設拔=p，【解析】設拔=p，AC=q,AD=cW='AN—AM=：(AC+~AD)—：AB=：(q+2p).乙 乙 乙所以|說「=阪?麻=；(q+r—p)?(q+r—p)=；[4+P+/+2(q?r-q?0—r?夕)]=[X2=,1.所以肺1=乎，即腑的長為平.答案.亞I—I? 27考點二點線距 |講練互動[典例1](1)直角AABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC_L平面ABC,PC=2,則點P到直線AB的距離是.(2)直角4ABC的兩條直角邊(2)直角4ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC_L平面ABC,是 .【解析】以C為坐標原點，CA,CB,CP所在直線分別為x間直角坐標系.以則A(4,0,0),B(0,3,0),P(0,0,2),所以靠=(-4,3,0),AP=(-4,0,2),PB=(0,3,r 宓<43 、(1)取a—月尸一(一4,0,2),u— ——(->口，0,\AB\155)則點夕到直線49的距離為d—4a? (a?u)'—^20一'(2)取力一力-(4, 3,0),r= -fo,一立里，2-BPI 13PC=2,則點A到直線PB的距離軸、y軸、z軸建立如圖所示的空—2).562洞25—5 .13),則點A到直線陽的距離則點A到直線陽的距離dK"(b?「)13答案：⑴雪⑵等5 13，規(guī)律方法計算點到直線距離的基本方法(1)先求出直線的方向向量，再計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的模，最后利用勾股定理求點到直線的距離.(2)在直線上設出垂線段的垂足的坐標，利用共線和垂直求出垂足坐標，再求向量的模.，對點訓練如圖，在長方體力比D45G〃中，AA{=AB=2,AD=1,F,G分別是46,少的中點，則點〃到直線0的距離為.【解析】如圖，以〃為坐標原點，DA,DC,〃〃所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則〃(0,0,2),尸(1,1,0),6(0,2,1),所以港=(1,-b-1),期=(0,-2,1),所以望=亍邛,畫卜m'所以點〃到直線GF的距離為=華.答案:華y考點三點面距、線面距與面面距 I講練互動［典例2］如圖，已知正方形4靦的邊長為1,如，平面4靦，且勿=1,E,6分別為16,BC的中點.p(1)求點〃到平面必尸的距離；(2)求直線力。到平面陽'的距離.【解析】(1)建立以〃為坐標原點，DA,DC,而分別為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標系，如圖所示.則尸(0,0,1),4(1,0,0),。(0,1,0),彳1, 0),年，1,，〃(0'0'0)'所以所=2,'~PE=(1, ,面=(-L—2(0)'設平面陽'的一個法向量a=(x,y,z),f1,1\n-EF=0,TL則〈 即〈.—?5?陽=0, x+-y_Z=Q、乙取x=2,則夕=2,z=3,所以a=(2,2,3),所以點〃到平面陽'的距離=^====噂，n^4+4+9 17因此點〃到平面陽'的距離為.⑵因為反夕分別為44,寬的中點，所以用〃又因為471平面陽；班z平面陽；所以47〃平面兩因為商=(o,—o),所以點力到平面際的距離d=窄?=蘇=平所以直線4C到平面陽'的距離為華.?規(guī)律方法1.求點到平面的距離的步驟(1)求線面距離可以轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可；(2)求兩個平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可.?對點訓練.若三棱錐月力a'的三條側棱兩兩垂直，且滿足陽=%=夕。=1,則點夕到平面46。的距離是()【解析】選D.以夕為坐標原點，分別以為，PB,A7所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),夕(0,0,0).6c可以求得平面46c的一個法向量為a=（1,1,1）,則4I』；川=坐..（多選題）正方體4兆745G〃的棱長為2,E,F,G分別為a；CC、,仍的中點.則（）A.直線緒與直線45'垂直B.直線4G與平面力"'平行9C.平面力跖截正方體所得的截面面積為2D.點4和點〃到平面力砥的距離相等【解析】選仇力.以D為坐標原點，DA,DC,函分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，則A(2,0,0),E(l,2,0),F(0,2,1),D(0,0,0),D,(0,0,2),G(2,2,1),A,(2,0,2),所以前=(-b0,1),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),AG=(0,2,1),AD—(—2,0,0),A,G=(0,2,—1).

對于4：因為邪?AE=1+0+0=1#0,所以直線EF與直線AE不垂直.所以力錯誤；對于6：設平面AEF的法向量a=(x,y,z),\n,~AE=—x+2y=Q / 、則J ,取y=l,得a=(2,1,2).[n?赤=-2x+2y+z=0因為AU?“=0+2—2=0且4H平面4M所以直線4G與平面力跖平行.所以B正確；對于C：連接力〃，切，因為￡,6分別是6GCG的中點，所以平面力斷截正方體所得的截面為梯形AEFh所以平面力旗截正方體所得的截面面積為AR+EFS=--AR+EFS=---X/?=、4+4+1\/4+4所以C正確;對于D：由前面可知平面1廝的法向量〃=(2,1,2),AA'=(0,0,2),DA=(2,0,0DA=(2,0,0),所以點4到平面45F的距離力=AA1?n0+0+2X2#4+1+4點。到平面力/的距離d=~DA?n|2X2+0+0|_4W+l+4 3所以點4和點〃到平面的距離相等，所以D正確..正方體9〃的棱長為4,〃，N,E,夕分別為48,CD,8G的中點，求平面力*與平面廳以〃間的距離.【解析】如圖所示，以〃為坐標原點，DA,DC,〃〃所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則力(4,0,0),M2,0,4),〃(0,0,0),6(4,4,0),￡(0,2,4),6(2,4,4),M4,2,4).從而詼=(2,2,0),痂=(2,2,0),奇=(一2,0,4),BF=(-2,0,4),所以詼=MN,AM=BF,所以EF〃MN,AM//BF,EFCBF=F,所以平面4W平面EFBD.設a=(x,y,z)是平面力*的一個法向量，A?痂=2x+2y=0, 1x=2z,則 解得.?正一2x+4z=0,取z=l,得a=(2,—2,1),由于法=(0,4,0),所以兩平行平面間的距離d="*2=?.\n\ 3電1【加練備選】在直三棱柱中，A4=AB=BC=3,AC=2,〃是47的中點.(1)求證：6c〃平面4切；(2)求直線5C到平面上切的距離.【解析】⑴連接加交43于