幾何與代數(shù)：3-3 空間向量的向量積與混合積

§3.3空間向量的向量積與混合積

一.空間向量的向量積1.向量積定義向量積也被稱為叉積或外積，

向量與的向量積是一個(gè)向量，記為：大小：||||=||||||||sin方向：與及均垂直，且，與構(gòu)成右手系。

說明(1).與共線=0

說明(2).

=0αβαββα2.向量積性質(zhì)

(1)

=-(反交換律)(2)(k)=k(

)=(k)（結(jié)合律）

(3)(+

)=

+

（分配律）

說明(3).||||等于以，為鄰邊的平行四邊形面積。

例1.證明：()2

+

()2=

2

2

注意：（1）等式左邊2個(gè)平方的區(qū)別；

注意：（2）等式兩邊乘號(hào)“”的區(qū)別3.向量積的坐標(biāo)形式

例2.

已知||||=3,||||=11,且·

=30.求||||。

(1).坐標(biāo)向量間的向量積

i

j=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j,i

i=jj=kk=0ijk=(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k)

(2).

設(shè)

=(a1,a2,a3),=(b1

,

b2

,

b3),則

=(a2b3a3b2)i+(a3b1a1b3)j+(a1b2a2b1)k

=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)向量形式行列式形式

說明(4).

設(shè)向量=(a1,

a2,a3)與=(b1,b2,b3)，則與共線

=0(1)求平行四邊形面積(2)求夾角(3)求平行四邊形的高h(yuǎn)(4)判斷向量平行

4.向量積的幾何應(yīng)用h//

=0S=||||

例3.Δ頂點(diǎn)A(1,-1,2)，B(5,-6,2)，C(1,3,-1)，求SΔABC和邊AC上的高h(yuǎn)。hBCA

解：AB=(4,-5,0)，AC=(0,4,-3)

例4.

已知向量⊥

=(1,2,1),⊥=(1,1,1),且·=

8,其中=

(1,2,1),求向量。

解：（方法一）設(shè)

=(x,y,

z)，則

⊥·=

x+2y+z=0

⊥·=

-x+y+z=0

·=

x-2y+z=8

解得：=(x,y,z)=(1,-2,3)。

（方法二）由⊥和

⊥知，

//()

，且

所以可設(shè)

=(k,-2k,3k)，由

·=

k+4k+3k=8k=1

練習(xí)：設(shè)單位向量OA與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角相等，B是點(diǎn)M(1,-3,2)關(guān)于N(-1,2,1)的對(duì)稱點(diǎn)。

求：OAOB

二.空間向量的混合積

已知三個(gè)向量,,，數(shù)量()

稱為這三個(gè)向量的混合積，記為(,,)

。1.混合積定義2.混合積幾何意義

向量a與b的夾角為，則它們的數(shù)量積為:

ab=||a||||b||cos=||a||ba

()=||||

構(gòu)造一個(gè)以,,為相鄰邊的平行六面體，其底面是由,構(gòu)成的平行四邊形。

平行六面體體積=底面積高

=||||||=||||||

|||cos|為與的夾角當(dāng),,為右手系時(shí)，(,,)=V平行六面體當(dāng),,為左手系時(shí)，(,,)=-V平行六面體

說明(1).

如果(,,)=0，即

()=||||=0則或者||||=0，向量,

共線；或者

=0，向量。這兩種情況均導(dǎo)致三向量共面，故

向量,,共面(,,)=03.混合積性質(zhì)(1)(輪換對(duì)稱性)(,,)=(,,)=(,,)(2)(交錯(cuò)性)(,,)=-(,,)

特別地，(,,)=0(3)(線性)(1+2

,,)=(1,,)+(2

,,)

k(,,)=(k,,)=(,k,)=(,,k)

說明(2).

利用上面3條性質(zhì)，可以得到更多混合積的相關(guān)公式。

例5.

設(shè)++=0，證明,,共面。

證：等式兩邊同時(shí)與進(jìn)行內(nèi)積，得(++)=()=0=0即(,,)=0

,,共面

例6.

設(shè)向量,,不共面，求任意向量關(guān)于,,分解式。

解：設(shè)在,,下的坐標(biāo)為(x,y,

z)，則

=

x

+y

+z

等式兩邊先與做向量積，再與做內(nèi)積，得

(,,)

=

x(,

,)

于是，同理與Cramer法則關(guān)系4.坐標(biāo)形式混合積

設(shè)向量

=(a1,a2,a3)，

=(b1,b2,b3)，

=(c1,c2,c3)

則

=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)()·=(a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3

說明(3).向量,,共面

例7.

證明四點(diǎn)A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),C(c1,c2,c3),D(d1,d2,d3)共面的充要條件是：

證：A,B,C,D四點(diǎn)共面DA,DB,DC共面

(DA,DB,DC)=0

例8.（教材P104