幾何與代數：7- 矩陣分塊

第二章矩陣§2.3分塊矩陣一.分塊矩陣的運算1.

分塊加法

A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,其中Aij與Bij是同型的“小”矩陣.§2.3分塊矩陣則A+B可看成是分塊矩陣的和設矩陣A與B是同型的,采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下:A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=設矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,為常數.A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.則A=2.分塊數乘第二章矩陣§2.3分塊矩陣3.分塊乘法

設A為ml矩陣,B為l

n矩陣,將它們分塊如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列數分別與B1j,B2j,…,Btj的行數相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,則AB=k=1t第二章矩陣§2.3分塊矩陣4.分塊矩陣的轉置

設A為ml矩陣,將它們分塊如下:A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,第二章矩陣§2.3分塊矩陣則A的轉置為：AT=A11T

A21T

…As1T

A12T

A22T…As2T

……A1tT

A2tT…AstT

10

1012011041112

0B=,求AB.10

00010012101101

例1.設A=,

例2.設A,B為n階可逆矩陣,求證：OABC-1可逆.第二章矩陣§2.3分塊矩陣二.兩種特殊的分塊法設A為m×n矩陣,記Aj為A的第j列,i為A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),則有如下兩種重要的分塊方法A=[A1,A2,…,An],12…mA=第二章矩陣§2.3分塊矩陣設A為n階矩陣,若A的分塊矩陣只有主對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且非零子塊都是方陣,即A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,其中A1,A2,…,As都是方陣,則稱A為分塊對角矩陣(或準對角矩陣).三.分塊對角矩陣1.定義第二章矩陣§2.3分塊矩陣則|A|=|A1||A2|…|As|.2.分塊對角矩陣的行列式設分塊對角矩陣A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,第二章矩陣§2.3分塊矩陣A1=A11

O…O

O

A21…O

…………

O

O…As1.則A可逆

A1,A2,…,As都可逆.且此時3.分塊對角矩陣的逆矩陣設分塊對角矩陣A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,第二章矩陣§2.3分塊矩陣問：當取何值時，矩陣方程AX=B有解？當AX=B有解時，求其解.10122B=,122335

例3.設A=,第二章矩陣§2.3分塊矩陣

例4.設A=(aij)4×5,B=a21

a23

a24a41

a43

a44.求矩陣C,D,使得B=CAD.§2.4矩陣的秩

第二章矩陣一.秩的概念這樣的子式共有

個.k階子式mnk行k列1.矩陣A的子式

§2.4矩陣的秩

第二章矩陣2041

01324082的3階子式有14個:204

013408201

012402241

032482041132082====0.

§2.4矩陣的秩

第二章矩陣例如:A=2041

013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.的1階子式有34個:A的2階子式有36個:0413,0112,4132,20

01,24

03,21

02,0408,0102,4182,20

40,24

48,21

42,0140,

3282.0348,0242,1308,1202,

§2.4矩陣的秩

第二章矩陣例1. 求A=1210310-124

-11231

132

58的秩