高中數(shù)學(xué)圓與直線知識點(diǎn)與各類提高習(xí)題(附答案)

圓與直線圓心〔-2,-2丨半徑2E圓心〔-2,-2丨半徑2E24F點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法：根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離d與r在大小關(guān)系判斷知識點(diǎn)圓的方程：〔1〕標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)(yb) r〔圓心為A(a,b),半徑為r〕〔2〕圓的一般方程:x2y2DxEyF0〔D2E2〔2〕圓的一般方程:直線與圓的位置關(guān)系判斷方法〔1〕幾何法：由圓心到直線的距離和圓的半徑的大小關(guān)系來判斷。 d=r為相切，d>r為相交，d<r為相離。適用于直線和圓的方程判斷二者關(guān)系，也適用于其中有參數(shù)，對參數(shù)談?wù)摰膯栴}。禾U用這種方法，可以簡單的算出直線與圓相交時(shí)的相交弦的長，以及當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)、最近距離等?！?〕代數(shù)法：由直線與圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于 x或y的一元二次方程，然后由判別式△來判斷。△=0為相切，△>0為相交，△<0為相離。利用這種方法，可以很簡單的求出直線與圓有交點(diǎn)時(shí)的交點(diǎn)坐標(biāo)。4?圓與圓的位置關(guān)系判斷方法〔1〕幾何法：兩圓的連心線長為I，那么判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn):1〕當(dāng)1r1「2時(shí)，圓C1與圓C2相離；2〕當(dāng)1r1「2時(shí)，圓C1與圓C2外切；3〕當(dāng)|r1r211r1r2時(shí)，圓C1與圓C2相交；4〕當(dāng)1|r1r21時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)切；5〕當(dāng)11r1r21時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含；〔2〕代數(shù)法：由兩圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于 x或y的一元二次方程，然后由判別式△來判斷?！?0為外切或內(nèi)切，△>0為相交，△<0為相離或內(nèi)含。假設(shè)兩圓相交，兩圓方程相減得公共弦所在直線方程。直線與圓的方程的應(yīng)用：利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系選擇題1.圓(x1)2(y 3)21的切線方程中有'個(gè)是〔〕A.x—y=0B.x+y=0C.x=0D.y=02.假設(shè)直線ax2y10與直線xy20互相垂直，那么a的值等于〔〕12A.1B. -C.D. 2333.設(shè)直線過點(diǎn)(0,a),其斜率為1，且與圓x22y2相切，貝Ua的值為〔〕A. 4B.22C2D.2平面的斜線AB交于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動直線1與AB垂直，且交于點(diǎn)C，那么動點(diǎn)C的軌跡是〔〕A.一條直線B.一個(gè)圓C.一個(gè)橢圓D.雙曲線的一支參數(shù)方程x2〔為參數(shù)〕所表示的曲線是〔〕ytancotA.圓B.直線C.兩條射線D.線段如果直線l1,l2的斜率分別為二次方程x24x1 0的兩個(gè)根，那么l1與l2的夾角為〔 〕A.-B.—C.D.3468M{(x,y)|y9x2,y0},N{(x,y)|yxb}，假設(shè)M門N ，那么b4.5.6.7.〔〕3.2,^.2)[33.2,^.2)8.9.C.(3,3、一2]一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C.假設(shè)直線ax2by2O(a,b8.9.C.(3,3、一2]一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C.假設(shè)直線ax2by2O(a,b33,2]C:(x3,220)始終平分圓x2)2(y4x3)2 1上的最短路徑是2,62y8 0的周長，那么的最小值為10.平面區(qū)域D由以A1,3、B5,2、C3,1為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成?假設(shè)在區(qū)域D上有12、10.平面區(qū)域D由以A1,3、B5,2、C3,1為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成?假設(shè)在區(qū)域D上有12、my取得最小值，那么mA.2B. 1C.1設(shè)M1020001N1020011,P1020001020011,N1020021102001系為A.MN,PQB.MN,PC.MN,PQD.MN,P無窮多個(gè)點(diǎn)x,y可使目標(biāo)函數(shù)兩圓相交于點(diǎn)11、9100,Q102001 9102002 100，那么與N、P與Q的大小關(guān)A(1,3和口點(diǎn)B(m,1),兩圓圓心都在直線l:xy0上，那么mc的值等于.-1B.213、三邊均為整數(shù)且最大邊的長為 11的三角形的個(gè)數(shù)為填空題1、直線2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,2、設(shè)不等式2x1m(x2 1)填空題1、直線2x-y-4=0上有一點(diǎn)P,2、設(shè)不等式2x1m(x2 1)對一切滿足m2的值均成立，貝Ux的范圍為3、直線l:xy4 0與圓C:2y1 2，那么C上各點(diǎn)到I的距離的最大值與最小值之差為x4、直線22(t為參數(shù))被圓124截得的弦長為5、圓M:(xcos)2(ysin)2直線l:y kx，以下命題成立的有對任意實(shí)數(shù)對任意實(shí)數(shù)對任意實(shí)數(shù)對任意實(shí)數(shù)k與k與，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線I和圓k，必存在實(shí)數(shù) ，使得直線I和圓，直線I和圓M相切；，直線I和圓M有公共點(diǎn);M相切M相切A.15B.30C.36D.以上都不對14、設(shè)m0,那么直線,2(xy)m10與圓x22ym的位置關(guān)系為 〔〕A.相切B.相交C.相切或相離D.相交或相切15、向量m(2cos,2sin),n(3cos,3sin)，假設(shè)m與n的夾角為60,那么直線I:xcosysin120與圓C:(x、2cos)(ysin21)2 的位置關(guān)系是〔2〕A.相交但不過圓心B .相交過圓心C.相切D .相離16、圓0:(x3)2(y5)236和點(diǎn)A(2,2),B(1,2),假設(shè)點(diǎn)C在圓上且ABC的面積為那么2滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是 〔 〕A.1 B.2 C.3 D.4217、假設(shè)圓C1:(xa)(yb)2b21始終平分圓C2:(x221)(y1)4的周長，那么實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的關(guān)系是()A.a22a2b3 0B.a22a2b50C.a22b22a2b10D.3a22b22a2b1 018、在平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)距離為1,與點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線共有 ()A.1條B.2 條C.3條D.4條它與兩定點(diǎn)A(4，-1),B(3,4)的距離之差最大，貝U P點(diǎn)坐標(biāo)是0相切,0相切,0對稱,226、點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線I射到x軸上被x軸反射，反射光線與圓C:xy4x4y7那么光線I所在直線方程為_rm 2 27、直線yx與圓xymxny4 0交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線xy2那么弦MN的長為&過圓x2y2 4內(nèi)一點(diǎn)A(1,1)作一弦交圓于B、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B、C分別作圓的切線PB、

解答題1、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snnan(n1)b,(n1,2,…),a、b是常數(shù)且b0?！?〕證明：an是等差數(shù)列；S〔2〕證明：以an，亠1為坐標(biāo)的點(diǎn)巳，(n1,2,?」)落在同一直線上，并求直線方程。n1〔3〕設(shè)a1,b-，C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r0)，求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C2外時(shí)，r的取值范圍。2、求與圓x2寸5外切于點(diǎn)P(1,2)，且半徑為25的圓的方程3、如圖，圓心坐標(biāo)為M(.、3,1)的圓M與X軸及直線y 3x均相切，切點(diǎn)分別為A、B，另一圓N與圓MX軸及直線y3x均相切，切點(diǎn)分別為C、D?！?〕求圓M和圓N的方程；〔2〕過B點(diǎn)作MN的平行線I，求直線I被圓N24、如果實(shí)數(shù)X、24、如果實(shí)數(shù)X、y滿足(X2)y3，求—的最大值、x2yx的最小值。225、圓C:(x1)(y2) 25，直線l:(2m1)x(m1)y7m4 0，(mR)?！?〕證明：不管m取什么實(shí)數(shù)，直線I與圓恒交于兩點(diǎn)；〔2〕求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程.7、如下列圖，過圓0:7、如下列圖，過圓0:x24與y軸正半軸的交點(diǎn)A作圓的切線I,M為|上任意一點(diǎn)，再過M作圓的6、0為原點(diǎn)，定點(diǎn)Q(4,0)，點(diǎn)P是圓x2寸4上一動點(diǎn)?！?〕求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；〔2〕設(shè)POQ的平分線交PQ于R，求R點(diǎn)的軌跡方程。QA,QBQA,QB分0 Qx另一切線，切點(diǎn)為Q當(dāng)點(diǎn)M在直線I上移動時(shí)，求三角形MAQ勺垂心的軌跡方程。22&圓M:x(y2) 1,Q是x軸上的動點(diǎn),別切圓M于A,B兩點(diǎn)，求動弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程。1.C.圓心為〔1, 73〕，半徑為1，故此圓必與y軸〔x=0丨相切，選C.D.由A1A2B1B2 0可解得.C.直線和圓相切的條件應(yīng)用， xya0,込宣，a2,選C;'J2'A.過點(diǎn)A且垂直于直線AB的平面與平面 的交線就是點(diǎn)C的軌跡，故是一條直線x2|y|26.A?由夾角公式和韋達(dá)定理求得.c.數(shù)形結(jié)合法，注意 y9 x2,y 0等價(jià)于 x2 y2 9〔y 0〕.A?先作出圓C關(guān)于x軸對稱的圓C'，問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A到圓C'上的點(diǎn)的最短路徑，即|AC'|1 4.D.直線過圓的圓心〔 2,1〕，即卩ab1.1所以丄aa2-)(b1所以丄aa2-)(b羽一b

b-a10.C.由A1,3、B5,2、C3,1的坐標(biāo)位置知，ABC所在的區(qū)域在第-象限，故x0,y0.由zxmy得yz匕表示斜率為1mmm〔1〕假設(shè)m0,那么要使zxmy取得最小值，必須使蘭最小，此時(shí)需丄kAC13，即m1；mm31〔2〕假設(shè)m0，那么要使zxmy取得最小值，必須使-最小，此時(shí)需1kBC1 2，即m2，mm35與m0矛盾.綜上可知,m1.11解：設(shè)點(diǎn)A(1,1)、點(diǎn)B(102OO1,102000)、點(diǎn)C(102002,102001)，那么M、N分別表示直線AB、AC1的斜率，BC的方程為yx，點(diǎn)A在直線的下方，???KabKac，即M>N;10同理，得PQ。答案選B。 仔細(xì)體會題中4個(gè)代數(shù)式的特點(diǎn)和“數(shù)形結(jié)合〞的好處12解：由題設(shè)得：點(diǎn)A,B關(guān)于直線xy12解：由題設(shè)得：點(diǎn)A,B關(guān)于直線xy線段AB的中點(diǎn)〔3,1〕在直線xycc0對稱,kAB0上，c21ki3，答案選Co0x110y11；注意“號，等于0x110y11；注意“號，等于11的邊可以多于一條。xy1113解：設(shè)三角形的另外兩邊長為 x,y,那么點(diǎn)〔x,y〕應(yīng)在如右圖所示區(qū)域內(nèi)：|m||n|6(coscossinsin)23cos(1)cos6002，當(dāng)x=1時(shí),y=11;當(dāng)x=2時(shí),y=10,11;當(dāng)x=3時(shí),y=9,10,11;當(dāng)x=4時(shí)，y=8,9,10,11;當(dāng)x=5時(shí)，y=7,8,9,10,11。以上共有15個(gè)，x,y對調(diào)又有15個(gè)。再加〔6,6〕，〔7,7〕，〔8,8〕，〔9,9〕，〔10,10〕、〔11, 11〕，共36個(gè)，答案選Co14解：圓心〔0,0〕到直線的距離為d ，圓半徑r.mo2???dr1m.m1〔.m1〕2 0,22圓心C〔cos,sin〕到直線l的距離圓心C〔cos,sin〕到直線l的距離d|cos〔2|1直線與圓相離，答案選 Do復(fù)習(xí)向量點(diǎn)乘積和夾角余弦的計(jì)算及三角函數(shù)公式16解：由題設(shè)得：5AB5，叮Sabc-,點(diǎn)C到直線AB的距離d1,2直線AB的方程為4x3y20,與直線AB平行且距離為1的直線為ll：4x3y3°l2:4x3y7 0得：圓心0(3,5)到直線li的的距離di6r,到直線l2的距離為d2 4r,圓0與直線h相切；與直線I?相交， 滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是3,答案選C17解：公共弦所在的直線l方程為：2(x1)(y1)2-4222-(xa)(yb)七-1=0,即:2(1a)x2(12b)ya10,圓G始終平分圓C2的周長，圓C2的圓心1,1在直線l上，2(1a)2(1b)a210,即a22a2b50，答案選Bo18解：直線l與點(diǎn)A(1,2)距離為1，所以直線l是以A為圓心1為半徑的圓的切線,同理直線l也是以B為圓心2為半徑的圓的切線，即兩圓的公切線,TAB<5 3，兩圓相交，公切線有2條，答案選Bo2解：原不等式變換為(x21)m(12x)0,設(shè)：f(m)(x21)m(12x),(2m2)，按題意得旳 2x22解：原不等式變換為(x21)m(12x)0,設(shè)：f(m)(x21)m(12x),(2m2)，按題意得旳 2x22x即:30J71x31 Po2x22x1022想一下，如果兩圓相切或相離，各有幾條公切線？填空題1解：A關(guān)于I的對稱點(diǎn)A',A'B與直線l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)。得P(5,6〕想一想，為什么，AB與直線l的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)?如果A、B兩點(diǎn)在直線的同一邊，情況又如何？3解：圓心CAA)°,f(2) °oB1141,1到直線的距離='nVllC上各點(diǎn)到l的距離的最大值與最小值之差 =2r=22o22r2,直線與圓相離,4解：直線方程消去參數(shù) t得：xy10,圓心到直線的距離d 上2，弦長的一半為22\22(2)5解：圓心坐標(biāo)為M^2'2 ，得弦長為14o2cos,sinJ什k2|sin(+)|—kcos—sinJ1+k2仔細(xì)體會命題③④的區(qū)別。6解：光線I所在的直線與圓C關(guān)于x軸對稱的圓直線過點(diǎn)A(—3,3)，設(shè)I的方程為：y32k23k3

xk2 1圓心C到直線l的距離dsin() 1r，所以命題②④成立。C相切。圓心C坐標(biāo)為k(x3)，即：kxy2,2，半徑r1,3k3 0212k 25K 124 3解得：k4或k ；，得直線l的方程:7解：由直線y7解：由直線yx與直線xy0垂直m2，由圓心在直線xy0上n2,2 2 1 1 0L圓萬程為〔X1〕〔y1〕6，圓心為1,1，圓心到直線的距離d—-^-342,弦MN的長=2.r2d22、廠248解：設(shè)P〔xo,y?！?，根據(jù)題設(shè)條件，線段BC為點(diǎn)P對應(yīng)圓上的切點(diǎn)弦，直線BC的方程為XoXy°y4,tA點(diǎn)在BC上， x°y°4,即P的軌跡方程為：xy4。 注意掌握切點(diǎn)弦的證明方法。1、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snnan〔n1〕b，〔n1,2，…〕，a、b是常數(shù)且b0?！?〕證明：an是等差數(shù)列；S〔2〕證明：以an,亠1為坐標(biāo)的點(diǎn)巳，〔n1,2,?」〕落在同一直線上，并求直線方程。n

10〕，求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C〔3〕設(shè)0〕，求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C2外時(shí)，r的取值范圍。1解：〔1〕證明：由題設(shè)得a1S1a；當(dāng)n?2時(shí),an SnSn1an SnSn1nan(n1)bananan1a2(n1)ba2(n2)b2b。所以a所以an是以a為首項(xiàng),2b為公差的等差數(shù)列。證畢;〔2〕證明：???b0,對于n?2,an a1nan(n1)b〔2〕證明：???b0,對于n?2,an a1nan(n1)baaa2(n1)ba(n1)b 12(n1)b 2S???以an,亠1為坐標(biāo)的點(diǎn)R,〔nn11,2，…〕落在過點(diǎn)R〔a,a1〕，斜率為一的同一直線上,2此直線方程為:y(a1)a〕，即x2y解:1,b1,0、P2、P33,1，都落在圓C外的條件是(r1)22r2r(r1)20(r1)2(r1、22)r2r5r17024(r3)2(r2 21)r2r8r100由不等式①，得r工1由不等式②，得rv5—.2或r>2_2由不等式③，得rv4—.6或r>4+.6再注意到r>0, 1v5—.2v4—.6=5+.2v4+622使P1、P2、P3都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍是(0,1)U(1,-—、?2)U(4+.、6,+r)。222

(a2解一：設(shè)所求圓的圓心為C(a,b)，貝Ub1)2 (b2)2 (2、、.5)2—(1)a所求圓的方程為(X3)2(y6)2120。解二：設(shè)所求圓的圓心為C(a,b)，由條件知OP注：因?yàn)閮蓤A心及切點(diǎn)共線得〔1 1-OC(1,2) -(a,b)(a2解一：設(shè)所求圓的圓心為C(a,b)，貝Ub1)2 (b2)2 (2、、.5)2—(1)a所求圓的方程為(X3)2(y6)2120。解二：設(shè)所求圓的圓心為C(a,b)，由條件知OP注：因?yàn)閮蓤A心及切點(diǎn)共線得〔1 1-OC(1,2) -(a,b)3 31〕式a3 2，所求圓的方程為(x3)2b6仔細(xì)體會解法2，利用向量表示兩個(gè)圓心的位置關(guān)系，值得借鑒。3、如圖，圓心坐標(biāo)為M(.、3,1)的圓M與x軸及直線N與圓M、(y6)2 20。y同時(shí)表達(dá)了共線關(guān)系和長度關(guān)系y.3x均相切，切點(diǎn)分別為A、B，另一圓x軸及直線y3x均相切，切點(diǎn)分別為C、〔1〕求圓M和圓N的方程；〔2〕過B點(diǎn)作MN的平行線I，求直線I被圓截得的弦的長度；，顯得更簡潔明快,DNBOA的角平分線上,即O、M、N三點(diǎn)共線，且M的坐標(biāo)為MC、3,1),:L2圓M的方程為(x3)N也在OMN為BOA的角平分線，M到x軸的距離為1,即：圓M的半徑為1,2(y1) 1；MN的平行線被圓N截得的弦長,設(shè)圓N的半徑為r，由RtOAM~RtOCN，得：OM:ONMA:NC,即一^1N也在OMN為BOA的角平分線，M到x軸的距離為1,即：圓M的半徑為1,2(y1) 1；MN的平行線被圓N截得的弦長,〔2〕由對稱性可知，所求弦長等于過 A點(diǎn)的此弦所在直線方程為y3(x,3)此弦所在直線方程為y3圓心N到該直線的距離—,那么弦長=2汀2d2 332注：也可求得B點(diǎn)坐標(biāo)—-2'2；'3直線I的距離等于—，求得答案2，得過B點(diǎn)MN的平行線l的方程x.3y..3 0，再根據(jù)圓心N到-33；還可以直接求A點(diǎn)或B點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得弦長4、如果實(shí)數(shù)x、y滿足(x2)2求—的最大值、2yx的最小值。x4解：〔1〕問題可轉(zhuǎn)化為求圓(X設(shè)過原點(diǎn)的直線方程為2k0l3上點(diǎn)到原點(diǎn)的連線的斜率k1的最大值。xkx，由圖形性質(zhì)知當(dāng)直線斜率取最值時(shí)，直線與圓相切。2)2〔2〕；x,y滿足(x2)22xy42.3cos3sinymax2 .3cos■■-3sin4 115sin()2x注意學(xué)習(xí)掌握解〔求解的技巧。5、圓C:(X〔1〕證明：不管〔2〕求直線被圓￥min4 15。2〕中利用圓的參數(shù)方程將關(guān)于 x,y的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角 的一元函數(shù)，從而方便5解：〔1〕解法1:221)(y2) 25，直線I:(2m1)x(m1)y7m4 0,(mm取什么實(shí)數(shù)，直線I與圓恒交于兩點(diǎn)；C截得的弦長最小時(shí)I的方程?I的方程(xy4)2xy70,0,R)。xy4圓心坐標(biāo)為???點(diǎn)A在圓m(2xx3,y1,y7) 0,(mR)即I恒過定點(diǎn)A(3,1)C(1,2)，半徑rC內(nèi)，從而直線5,|AC|y/5l恒與圓C相交于兩點(diǎn)。|3m1|(4m 3)25m26m—,d2 52C相交于兩點(diǎn)。I的距離d-2、：5m2 6m5r，所以直線I恒與圓12 1〔2〕弦長最小時(shí)，IAC,kAC ? 丄31 2代入(2m1)x(m1)y7m4 0,得I的方程為2xy注意掌握以下幾點(diǎn)：〔1〕動直線斜率不定，可能經(jīng)過某定點(diǎn)； 〔2〕直線與圓恒有