專題練習 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

考點30空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.(2015·浙江高考理科·T2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8cm3 B.12cm3 C. D.【解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構(gòu)成,再求解.【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐的組合,所以體積V=23+×22×2=(cm3).2.(2015·浙江高考文科·T2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8cm3 B.12cm3 C.cm3 D.cm3【解題指南】由幾何體的三視圖判斷原幾何體的構(gòu)成,再求解.【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐的組合,所以體積(cm3).3.（2015·安徽高考文科·T9）一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()（B）（C）（D）【解題指南】根據(jù)三視圖做出幾何體的直觀圖進行計算?！窘馕觥窟xC。由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示：其中側(cè)面PAC底面ABC，且，由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知PA=PC=AB=BC=，取AC中點O連接PO,BO，則在中，PO=BO=1，可得PB=，所以，故選C。4.（2015·安徽高考理科·T7）一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A、B、C、D、【解題指南】根據(jù)三視圖做出幾何體的直觀圖進行計算。【解析】選B。由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示：其中側(cè)面PAC底面ABC，且，由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知PA=PC=AB=BC=，取AC中點O連接PO,BO，則在中，PO=BO=1，可得PB=，所以，故選B.5.(2015·北京高考理科·T5)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是()22111正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖A.

B.C. D.5【解題指南】還原幾何體,分別計算各面的面積,然后求和.AABCDE【解析】選C.還原幾何體如圖所示,S△BCD=QUOTEBC·DE=QUOTE×2×2=2,S△ACD=S△ABD=QUOTE××1S△ABC=QUOTEBC·AE=QUOTE×2×=,所以表面積為2+2QUOTE.6.(2015·北京高考文科·T7)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長棱棱長為()1111正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖A.1 B. C. D.2【解題指南】作出直觀圖,計算出各棱長比較大小.AABCDE【解析】選C.由三視圖可知AD=BC=CD=DE=EB=1,AE=AC=,AB=.所以最長棱棱長為.7.(2015·天津高考理科·T10)(2015·天津高考文科·T10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.【解析】由三視圖可知,該幾何體是中間為一個底面半徑為1,高為2的圓柱,兩端是底面半徑為1,高為1的圓錐,所以該幾何體的體積答案:π8.(2015·新課標全國卷Ⅰ理科·T6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛D.66斛【解題指南】利用錐體底面的弧長,確定圓錐底面半徑,求出米堆的體積,然后合成斛.【解析】選B.設(shè)圓錐底面半徑為r,則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈229.(2015·新課標全國卷Ⅰ理科·T11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.10.(2015·新課標全國卷Ⅰ文科·T6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解題指南】利用錐體底面的弧長,確定圓錐底面半徑,求出米堆的體積,然后合成斛.【解析】選B.設(shè)圓錐底面半徑為r,則×2×3r=8,所以r=,所以米堆的體積為QUOTE=,故堆放的米約為÷1.62≈22.11.(2015·新課標全國卷Ⅰ文科·T11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.12.(2015·新課標全國卷Ⅱ理科·T6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.【解析】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截去四面體A-A1B1D1,如圖所示,設(shè)正方體棱長為a,則QUOTE,故剩余幾何體體積為a3-a3=a3,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為.13.(2015·新課標全國卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36π B.64π C.144π D.256π【解題指南】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出關(guān)于半徑R的方程,求出球的半徑,然后求出球的表面積.【解析】選C.如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4πR2=144π.14.(2015·新課標全國卷Ⅱ文科·T6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.【解析】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截去四面體A-A1B1D1,如圖所示,設(shè)正方體棱長為a,則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為15.(2015·新課標全國卷Ⅱ文科·T10)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36π B.64π C.144π D.256π【解題指南】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出關(guān)于半徑R的方程,求出球的半徑,然后求出球的表面積.【解析】選C.如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4πR2=144π.16.(2015·山東高考理科·T7)在梯形ABCD中,∠ABC=QUOTE,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D.【解題指南】因為直角梯形ABCD的兩底邊分別為1,2,高AB=1,則以AD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱挖去同底的圓錐(高是一半).【解析】選C.如圖,所得幾何體為一個圓柱挖去一個小圓錐,其體積17.(2015·山東高考文科·T9)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B. C. D.【解題指南】所求幾何體是同底等高的兩個圓錐.【解析】選B.旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐,其底面半徑為直角三角形斜邊的高QUOTE,高半徑QUOTE,故所得幾何體的體積18.（2015·重慶高考理科·Ｔ5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是利用三視圖還原幾何體，然后再進行計算，該幾何體為三棱錐和半個圓柱構(gòu)成的組合體.【解析】選A.由三視圖可知，該幾何體為三棱錐和半個圓柱構(gòu)成的組合體.由圖中數(shù)據(jù)可知，三棱錐的體積為，半個圓柱的體積為，所以幾何體的體積為.19.（2015·重慶高考文科·Ｔ5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【解題指南】解答本題的關(guān)鍵是利用三視圖還原幾何體，然后再進行計算，該幾何體為半個圓錐和一個圓柱構(gòu)成的組合體.【解析】選B.由三視圖可知，該幾何體為半個圓錐和一個圓柱構(gòu)成的組合體..由圖中數(shù)據(jù)可知，半個圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以幾何體的體積為.20.(2015·福建高考文科·T9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A.8+2 B.11+2C.14+2 D.15【解題指南】根據(jù)三視圖確定每個面的面積.【解析】選B.由三視圖可知,該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.21.(2015·陜西高考理科·T5)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3π B.4πC.2π+4 D.3π+4【解題指南】將三視圖復(fù)原,此幾何體為半個圓柱體,根據(jù)三視圖所給的數(shù)據(jù),求出表面積.【解析】選D.該幾何體為圓柱體的一半,可得上下兩個半圓的表面積S1=πr2=π,側(cè)面積S2=2×2+·2πr·2=2π+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.22.(2015·陜西高考文科·T5)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4【解題指南】將三視圖復(fù)原,此幾何體為半個圓柱體,根據(jù)三視圖所給的數(shù)據(jù),求出表面積.【解析】選D.該幾何體為圓柱體的一半,可得上下兩個半圓的表面積S1=πr2=π,側(cè)面積S2=2×2+·2πr·2=2π+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.二、填空題23.（2015·四川高考文科·T14)在三棱柱中，，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點M,N,P分別是,,的中點，則三棱錐的體積是_______【解題指南】利用三視圖與直觀圖量度關(guān)系求解。【解析】的體積是答案：24.(2015·江蘇高考·T9)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半