2023年高考一輪復(fù)習(xí)精練必備第11講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（解析）

2023年高考一輪復(fù)習(xí)精講精練必備第11講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值一、知識梳理.函數(shù)的極值一般地，設(shè)函數(shù)次幻在xo處可導(dǎo)，且/(xo)=O.(1)如果對于xo左側(cè)附近的任意x,都有尸(x)>0；對于xo右側(cè)附近的任意x,都有外x)<0,那么此時x()是/U)的極大值點.(2)如果對于xo左側(cè)附近的任意x,都有片x)<0；對于xo右側(cè)附近的任意x,都有尸(x)>0,那么此時刈是/U)的極小值點.(3)如果/(x)在xo的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(或均為負(fù)號)，則xo一定不是y=/(x)的極值點.(4)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極小值和極大值統(tǒng)稱為板值..函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)7U)在口，句上的最值如果函數(shù)y=/U)的定義域為［。，切且存在最值，函數(shù)y=/(x)在(a,份內(nèi)可導(dǎo)，那么函數(shù)的最值點要么是區(qū)間端點a或。，要么是極值點.(2)求y=/(x)在區(qū)間［a,加上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y=/U)在區(qū)間(a,。上的極值;②將函數(shù)y=?x)的各極值與端點處的函數(shù)值血),?比較,其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.|常用結(jié)論.求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值..函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.二、考點和典型例題1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值【典例1-1】(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(4。)，導(dǎo)函數(shù)尸(x)在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)“X)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點( )A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【詳解】由導(dǎo)函數(shù)尸（x）在區(qū)間（a,。）內(nèi)的圖象可知，函數(shù)/'（X）在（。力）內(nèi)的圖象與x軸有四個公共點，在從左到右第一個點處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，在從左到右第二個點處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，在從左到右第三個點處導(dǎo)數(shù)左正右正，在從左到右第四個點處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)/（x）在開區(qū)間（a力）內(nèi)的極小值點有1個，故選：A.【典例1-2】（2022?陜西商洛?一模（文））已知函數(shù)〃力=比一8^+6111K模則/（x）的極大值為（）A.10 B.-6 C.-7 D.0【答案】B【詳解】函數(shù)“X）的定義域為（0,+8）,廣（加2>8+12（1）（>3）,X X令r(x)=0,解得x=l或x=3,故X(0,1)1（L3）3(3,+=o)>0=0<0=0>0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以/（X）的極大值為/（1）=-6,故選：B.【典例1-3】（2022?新疆?三模（文））若函數(shù)/（力=/一0%2-反+/在》=1處有極值io,貝|］。一人=

A.6-15-6A.6-15-6或156或-15【答案】B【詳解】?/f^x)=^-cue-bx+cr, f'(x)=3x2-2ax-b又x=l時f(x)有極值10[3—2a—b=0 1a=—4fa=3[\-a-b+a=0 [Z>=11[Z>=-3當(dāng)a=3,0=-3時，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-l)2>0此時f(x)在x=l處無極值，不符合題意經(jīng)檢驗，a=Y,b=U時滿足題意:.a-b=-15故選：B【訓(xùn)練1-1】(2022?河南新鄉(xiāng)?二模(文))已知a>0,函數(shù)的極小值為貝|j“=<)TOC\o"1-5"\h\zA./ B.1 C.m D.72【答案】C【詳解】/'(x)=-x2+cr=-(x-a)(x+6f),則/(x)在(y,-。)和(。,+00)上單調(diào)遞減，在(一上單調(diào)遞增，所, ,1, 2, 4以/(x)極小值=/(-0)=-/+『=-鏟”=-§，則“3=2,則。=次。故選：C【訓(xùn)練1-2】(2022?安徽?蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知加為常數(shù)，函數(shù)f(x)=xlnx-2/nr2有兩個極值點，其中一個極值點可滿足%>1,則/(x0)的取值范圍是( )【答案】D【詳解】/,(x)=lnx-4/nr+l,由函數(shù)f(x)=xlnx-Z/nr?有兩個極值點，則等價r/'(x)=O仃兩個解，即y=lnx與y=4"tr-l有兩個交點，所以Inx(,+1=4mxn.直線y=4，nr-l過點(0,-1)由y=lnx在點尸(1,0)處的切線為y=x-l,顯然直線y=x-l過點(0,-1)f(xo)=f(x2)=x2(lnx2-2叫)=x?(inX2 + ，令g(x)=""；二'(x>l),貝lJg，(x)=T>O(x>l),所以g(x)=W=(x>l)單調(diào)遞增，g(x)>g⑴=-g,即/&)>-；,故選：D.【訓(xùn)練1-3】(2021?四川省敘永第一中學(xué)校高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(xXd+a^+bx+c在x=l2與x=-(時，都取得極值.(1)求。，6的值：(2)若f(-1)=§,求f(x)的單調(diào)增區(qū)間和極值.【答案】(l)a=-g，b=-2(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是'仁-|)和(1,物)，單調(diào)遞減區(qū)間是11,1),函數(shù)的極大值是稱函數(shù)的極小值是-g.【解析】⑴f'(x)=3x2+2ax+b,由條件可知/'⑴=0和尸3+2a+b=0即<44a,八，解得：=--?b=-2, +力=0 2133所以/(x)=a?--^x2-2x+cf檢驗：r(x)=3x2-x-2=(x-l)(3x+2)X卜雙T_2~331(l,+oo)制x)+0—04-

，(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增2 1經(jīng)檢驗x=l與x=-'時，都取得極值，滿足條件，所以a=-；,b=2(2)/(-I)=-l-g+2+c=］，解得：c=l.所以/(工)=/-#-2》+1/,(^)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2)X「%-；-23(-T1)1(l,+oo)f\x)+0一0+f(x)單調(diào)遞增49極大值萬單調(diào)遞減1極小值一5單調(diào)遞增有表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(70,-g)和(1,+co),單調(diào)遞減區(qū)間是(-|」)，函數(shù)的極大值是函數(shù)的極小值是2【訓(xùn)練1-4】(2021?福建?莆田第二十五中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=d+ar2+bx+c在x=-§與x=l處都取得極值.(1)求。，8的值；(2)若對任意xe[-l,2],不等式/(x)<c2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.【答案】(1)?=-ph=-2：(2)(―,-1)U(2,e).【解析】(1)由題設(shè)，f'(x)=3x2+2ax+b,又/'(-||=g-ga+b=0,/,(l)=3+2a+/?=0,解得a=——,6=-2.2(2)由⑴，^af(x)=x3--x2-2x+c,BP/,(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-l),當(dāng)xe[—l,2]時，f\x),/(x)隨x的變化情況如下表：X_2~31。，2]

+0-0+/(x)遞增極大值遞減極小值遞增“（X）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在（L2］上單調(diào)遞增,值,2?+0-0+/(x)遞增極大值遞減極小值遞增“（X）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在（L2］上單調(diào)遞增,值,2?,?當(dāng)”=一§時，f22藥+C為極大值，又〃2）=2+c,則〃2）=2+c為"6在上的最大要使對任意xw［-l,2］恒成立，則只需c2>/（2）=2+c,解得c<—1或c>2,.??實數(shù)C的取值范圍為（r,-l）U（2,y）.2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【典例2-1】（2022?河南?模擬預(yù)測（文））當(dāng)工=川時，函數(shù)〃》）=/一/+3萬-21設(shè)取得最小值，則機=B.1D.2【答案】A【詳解】解：/'(x)=x(3x-2)+ =(3x-2)X(x>0),當(dāng)Xe(|，+8時，r（x）>o：當(dāng)xeo,|卜寸，r（x）<o.所以函數(shù)“X）在（og）上單冏遞減，在住,+8）上單調(diào)速出,7所以當(dāng)x=（時，/（X）取得最小值.故選：A.qv 3**<〃【典例2-2】（2022?北京通州?高二期中）設(shè)函數(shù)={一’【典例2-2】（2022?北京通州?高二期中）設(shè)函數(shù)={2x,x>a的取值范圍是（ ）B.A.(一一1)B.D.(1收)【答案】A【詳解】由y=3x-x3得=3-3/,令y'>o,得,令y'<0,得x<-i或x>l,所以y=3x-r在上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞增，在(1,田)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=—l時，y=3x-V取得極小值，為一2,f3r—r3x<a (—2>2a因為〃x)=- '無最小值，所以，,c,解得a<-l.[2x,x>a [3a-a>2a故選：A【典例2-3】(2022?上海交大附中高二期中)函數(shù)y=f(x)的定義域為(-2,2),解析式f(x)=x，-4x,+1.則下列結(jié)論中正確的是( )A.函數(shù)y=/(x)既有最小值也有最大值 B.函數(shù)y=/(x)有最小值但沒有最大值C.函數(shù)y=f(x)恰有一個極小值點 D.函數(shù)y=/(x)恰有兩個極大值點【答案】A【詳解】'''f(x)=xA-4x2+\,xe(-2,2),f\x)=4x3-8x=4x(x2-2)；令r(x)=。，則、=0或、=土應(yīng)；???當(dāng)-2<x<-&時，raxo,此時函數(shù)”x)單調(diào)遞減；當(dāng)-夜<x<0時，/'(X)>0,此時函數(shù)fM單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<&時，:")<。，此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<2時，f'M>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，???/(X)在》=±0時取得極小值，在x=0時取得極大值，故C,D錯誤；/(-2)=/(2)=24-4x22+1=1；/(0)=1,/(->/2)=/(^)=(72)4-4x(>/2)2+1=-3；函數(shù)f(x)既有最小值也有最大值；故答案為：ATOC\o"1-5"\h\z【訓(xùn)練2-1】(2022?浙江省杭州第二中學(xué)高二期中)已知awR,函數(shù)〃x)=e2，+(x-2?戶+"的最小值為g(a)，則g(a)的最小值為( )A.— B.—e C.—r D.0e e-【答案】A【詳解】方法一：由題意得：r(x)=2e2、(x-2a+l)e'=e'(2e'+x-2a+l)；令〃(x)=2e*+x—2a+I,則〃(x)=2e*+l>0, 在R匕單調(diào)遞增，Xh(2a)=2e2a+1>0,當(dāng)時，〃(x)T-oo,.?.3x0e(-oo,2a),使得/i(%)=0,則當(dāng)xg(-oo,%)時,Zi(x)<0,即/'(x)<0；當(dāng)xw(%+oo)時,〃(x)>0,即/'(x)>0；???/(力在(-8田)上單調(diào)遞減,在(%,+℃)上單調(diào)遞增，???/(力.=/(3)=?"+(3—2a)ea+a2；由人(為)=。得：4=2小廣+1,即g(a)=e""一(2泊+l)e-+(竺受i1)=4x°e”+：+2x0+1,設(shè)p(x)=4jcev+x2+2x+l,則p，(x)=(4x+4)e，+2x+2=(2x+2)(2e，+l),當(dāng)xw(—,-1)時，p(x)<0；當(dāng)xe(T,+<?)時，p(x)>0；.?.〃(力在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(T”)上單調(diào)遞增，"(x)mh>=P(-l)=一：+1-2+1=-j,/,g(a)1nM= =~|-方法二：令Ma)=(a-e、y+xe",貝1]當(dāng)。=6、時，=xe.x,令/n(x)=xe*,則加(x)=(x+l)e”,.?.當(dāng)x?-oo,T)時,m(x)<0；當(dāng)xw(-l,+oo)時,m(x)>0；則m(x)在(-oo,-l)匕單調(diào)遞減，在(-1,田)上單調(diào)遞增，川(力1nhi=M-l)=T，即g(a)1111n=T故選：A.【訓(xùn)練2-2】(2022?四川?模擬預(yù)測(理))對任意awR,存在6?0,內(nèi))，使得e"-lnb=l,則b—a的最TOC\o"1-5"\h\z小值為( )A.g B.逅 C.1 D.e2 2【答案】C【詳解】由題e"=ln6+l，令e"=lnb+l=[f>0),則a=ln/,6=e-所以b-a=e'T—ku,令/(r)=e'T-lnf(r>0),則/⑺=夕=：，令“(x)=/'(f)=e"-,則“'(x)=e'T+：>0,則“(x)即/'(f)在(0,+e)時單調(diào)遞增，又r⑴=。，則。<，<1時r(，)<o/>i時r(，)>。，所以，=1時/⑺取得極小值也即為最小值，最小值/⑴=1,即b-a的最小值為1.故選：C.【訓(xùn)練2-3】(2022?北京市第三十五中學(xué)高二期中)已知函數(shù)f(x)=；f-4x+4.⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵求/⑶在區(qū)間［-3,4］上的最大值和最小值；(3)|@1出/(-*')的草圖(要求盡量精確).【答案】(1)增區(qū)間為(-8,-2),(2,內(nèi))，減區(qū)間為(-2,2)；4 28⑵最小值為最大值為手；【解析】(1)由題設(shè)尸。)=/-4,所以(-8,-2)、(2,+oo)±r(x)>0,(-2,2)上/(x)<0,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(3,-2)、(2,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-2,2).由(1)可得如下列表：X-3(-3,-2)-2(-2⑵2(2,4)4f'M—0+0—fM7遞增28T遞減4~3遞增28T當(dāng)x=2時，f(x)在［-3,4］的最小值為當(dāng)x=-2或x=4時，f(x)在［-3,4］的最大值為y.X-3-2024fW728T44-328T結(jié)合(1)的結(jié)論，函數(shù)圖象如下:【訓(xùn)練2-4】(2022?黑龍江?齊齊哈爾市第八中學(xué)校高二期中)已知函數(shù)f(x)=(x2-2x-3)e、.⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求Ax)在區(qū)間［-2,4］上的最大值和最小值.【答案】⑴單調(diào)遞減區(qū)間為卜石,石)，單調(diào)遞增區(qū)間為(一0-6)和(石，+句；(2)最大值為5e"，最小值為(2-2石卜壽.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,f'M=e\x2-5),由/'(x)=e*，-5)=0,可得x=土石，當(dāng)x>>5或時，f'(x)>0,當(dāng)-石<x<石時,f'M<0,的單調(diào)遞減區(qū)間為(-石,石)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-4-石)和(石,+8).⑵由⑴知"X)在［-2,右］上單調(diào)遞減，在［6可上單調(diào)遞增.又/(-2)=4,/(4)=5e4,f訴=(2-2』把有,???/(X)的最大值為5e"，最小值為(2-26卜’.3、綜合應(yīng)用【典例3-1】(2021?陜西咸陽?高三開學(xué)考試(文))已知函數(shù)/(x)=；x3-；ar2-2x(aeR)在x=2處取得極值.⑴求/(x)在［-2,1］上的最小值；(2)若函數(shù)83)=/(》)+僅6€11)有且只有一個零點，求6的取值范圍.【答案】(l)-?(2)［-00，-，U(F，+00］【解析】⑴解：因為/(X)= —3奴2—2x(。WR),所以/'(X)=f-42X—2,在x=2處取得極值,f(2)=0,即2?—2a—2=0解得。=1,/U)= --