小學數(shù)學思想方法(課件)

此課件下載后可自行編輯修改關注我每天分享干貨小學數(shù)學思想方法1此課件下載后可自行編輯修改小學數(shù)學思想方法1真正的教育是將在學校所學的知識全忘掉,所剩下的。

——陶行知2真正的教育是將在學校所學的知識全忘掉,所剩下的。2

在學生的腦力勞動中，擺在第一位的并不是背書，而是讓學生本人進行思考。背書會使人變傻。

——蘇霍姆林斯基3在學生的腦力勞動中，擺在第一位的并不是背書，而

數(shù)學思想是數(shù)學學科發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學所依賴的基礎，也是數(shù)學課程教學的精髓，內涵十分豐富。4數(shù)學思想是數(shù)學學科發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究

數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中。

高考考試大綱的說明5數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它不懂得數(shù)學思想方法的數(shù)學教師不是一個稱職的教師。

——徐利治6不懂得數(shù)學思想方法的數(shù)學教師不是一個稱職的教師。6

數(shù)學思想和數(shù)學方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學方法的實踐性更強一些。人們實現(xiàn)數(shù)學思想往往要靠一定的數(shù)學方法；而人們選擇數(shù)學方法，又要以一定的數(shù)學思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，那么，要想學好數(shù)學、用好數(shù)學，就要深入到數(shù)學的“靈魂深處”。

7數(shù)學思想和數(shù)學方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學思想一、符號化思想二、化歸思想三、模型思想四、數(shù)形結合思想五、推理思想六、方程和函數(shù)思想七、幾何變換思想八、分類討論思想九、統(tǒng)計思想

十、分析法和綜合法十一、概率思想十二、反證法十三、集合思想十四、極限思想十五、假設法十六、運籌思想

8一、符號化思想九、統(tǒng)計思想8一、符號化思想1、符號化思想的應用。第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號表示。如：a+b=b+a

第二，理解符號所代表的數(shù)量關系和變化規(guī)律。第三，會進行符號間的轉換。第四，能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。9一、符號化思想9用符號表示變化規(guī)律。數(shù)列的變化規(guī)律:1,2,3,5,8,…圖形的變化規(guī)律。一、符號化思想1、符號化思想的應用。10用符號表示變化規(guī)律。一、符號化思想102、符號化思想的教學。①②③④⑤⑥“垂直與平行”

112、符號化思想的教學。①②③a∥b或者b∥a12a∥b或者b∥a12①②③④⑤⑥a⊥b或者b⊥a13①②③④

二、化歸思想化歸（轉化）思想從小學到中學，數(shù)學知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學習數(shù)學、理解和掌握數(shù)學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種復雜的數(shù)學問題?；瘹w思想也是攻克各種復雜問題的法寶之一。1、化歸思想的具體應用。14二、化歸思想1、化歸思想的具體應用。14

二、化歸思想2、教學中的化歸策略。15二、化歸思想15

1616

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（1）下圖是平行四邊形停車位，它的面積是（)。Ａ．7.5×4Ｂ．7.5×6Ｃ．6×4

18（1）下圖是平行四邊形停車位，它的面積是（

王老師在教學時，用木條制成一個長方形框教具，木條長18厘米，寬15厘米。它的周長和面積各是多少？如果把它拉成平行四邊形，周長和面積會怎樣？

19王老師在教學時，用木條制成一個長方形框教具，木高底下底上底高平行四邊形的面積＝底×高高底三角形的面積＝底×高÷２高上底梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷２12320高底下底上底高平行四邊形的面積＝底×高高底三角形的面積

圖1圖221圖1圖221案例1：＋＋＋……＝

解決問題中的化歸策略。（1）化抽象問題為直觀問題。122案例1：＋＋＋……＝解決

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。四年級（下冊）第117---118頁例1《植樹問題》。例1：同學們要在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵樹（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？23解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。四年級

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間隔長度研究方法（線段圖）間隔段數(shù)棵數(shù)5米5米1210米5米2315米5米34……發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)=間隔數(shù)+1間隔數(shù)=棵數(shù)－1

24解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間隔長度研究方法（線段圖）間隔段數(shù)棵數(shù)5米5米1210米5米2315米5米34……發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)=間隔數(shù)+1間隔數(shù)=棵數(shù)－1

25解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。把186拆分成93和93,93和93的乘積最大，乘積為8649。

案例2：把186拆分成兩個自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個自然數(shù)的乘積最大？187呢？26解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。把18

（2）化繁為簡的策略。案例3：你能快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝嗎？個位數(shù)是5的相等的兩個數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25（5乘5的積）。所以85×85＝7225，95×95＝9025，105×105＝1102527（2）化繁為簡的策略。個位數(shù)是5的相等的兩個數(shù)的乘

解決問題中的化歸策略。（3）化實際問題為特殊的數(shù)學問題。假設都是上山，那么總路程是18（6×3）千米，比實際路程少算了2千米，所以，上山時間是4小時。上山和下山的路程分別是12千米和8千米。案例1：某旅行團隊翻越一座山。上午9時上山，每小時行3千米，到達山頂時休息1小時。下山時，每小時行4千米，下午4時到達山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？28解決問題中的化歸策略。假設都是上山，

案例2：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢?解決問題中的化歸策略。（3）化實際問題為特殊的數(shù)學問題。直接分析：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11得2，所以香蕉的單價是每千克2元。再通過計算得蘋果的單價是每千克2.5元。29案例2：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了1

變式：

1、水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍少30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？

2、水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？

3、水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是香蕉的3倍。這三種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？

4、水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是蘋果的2倍。這三種水果一共銷售了210千克。銷售香蕉多少千克？（4）化未知問題為已知問題。案例1：水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？30變式：（4）化未知問題為已知問題。案例1：水果期末測試體現(xiàn)轉化數(shù)學思想的題目：1、如下圖，在推倒平行四邊形面積公式的過程中，這一過程體現(xiàn)了（）數(shù)學思想。這一思想為后面學習三角形面積、梯形面積奠定基礎。31期末測試體現(xiàn)轉化數(shù)學思想的題目：312、“轉化”是一種常見的解決問題的方法。如下圖，把一個半圓分成若干份，剪開后拼成一個近似的長方形，這兩個圖形（）。

A、面積相等，周長也相等

B、面積相等，周長不相等

C、面積不相等，周長也不相等322、“轉化”是一種常見的解決問題的方法。如下圖，把一個半圓分3、在小數(shù)除法中，如：要把這兩個小數(shù)變成整數(shù)才能進行計算，把小數(shù)變成整數(shù)這一過程運用了（）的思想方法。333、在小數(shù)除法中，如：要把這兩個小數(shù)變成整數(shù)三、模型思想1、模型思想的具體應用。2、模型思想的教學。34三、模型思想2、模型思想的教學。34

235235第一，學習的過程可以經歷類似于數(shù)學家建模的再創(chuàng)造過程?！堕L方體的認識》①量一量；②比一比；③找一找；④折一折。36第一，學習的過程可以經歷類似于數(shù)學家建模的再創(chuàng)造過程?！堕L小棒根數(shù)擺幾個□剩幾根小棒列式

8□□8÷4＝2

9□□9÷4＝2……1

10□□10÷4＝2……2

11□□11÷4＝2……3

12□□□12÷4＝3

13□□□13÷4＝3……1……二年級下冊《余數(shù)與除數(shù)的關系》結論：余數(shù)都比除數(shù)小。

37小棒根數(shù)擺幾個□剩幾根小棒列式8□□8÷4＝2

第三，應用已有的數(shù)學知識分析數(shù)量關系和空間形式，經過抽象建立模型，進而解決各種問題。第二，對于大多數(shù)人來說，在現(xiàn)實生活和工作中利用數(shù)學解決各種問題，基本上都是根據(jù)對現(xiàn)實情境的分析，利用已有的數(shù)學知識構建模型。38第三，應用已有的數(shù)學知識分析數(shù)量關系和空間形式

案例1：小明的家距離學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早晨出門2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶文具盒，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，他從回家再到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）5米跳繩的根數(shù)12342米跳繩的根數(shù)7520剩余米數(shù)1010案例2：有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩余，并且每種規(guī)格的跳繩至少要有一根。）39案例1：小明的家距離學校600米，每

案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？

設小林喝的水為v毫升，列式為：v：500＝4：(16+4)v＝100。40案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了四、數(shù)形結合思想

“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微?！?/p>

——華羅庚

數(shù)形結合思想的核心應是代數(shù)與幾何的對立統(tǒng)一和完美結合，就是要善于把握什么時候運用代數(shù)方法解決幾何問題是最佳的、什么時候運用幾何方法解決代數(shù)問題是最佳的。

41四、數(shù)形結合思想41四、數(shù)形結合思想1、數(shù)形結合思想的具體應用。數(shù)形結合思想主要體現(xiàn)：一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學生理解和掌握知識、解決問題。二是數(shù)軸及平面直角坐標系在小學的滲透。三是統(tǒng)計圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)。四是用代數(shù)(算術)方法解決幾何問題。

42四、數(shù)形結合思想42四、數(shù)形結合思想1、數(shù)形結合思想的具體應用。

（1）數(shù)的表示和運算。數(shù)和運算的實物化、圖形化和操作化，便于人們直觀理解數(shù)和計算。擺小棒、畫圖形等。43四、數(shù)形結合思想（1）數(shù)的表示和運算。43

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（２）解決問題中的形。①畫線段圖表示數(shù)量關系。

案例：五上列方程解決問題上海浦東中銀大廈的總高度為258米，比上海國際飯店的3倍還高24米，上海國際飯店高多少米？設上海國際飯店的高度為x米，易于找等量關系和理解逆向思考的數(shù)量關系。上海國際飯店浦東中銀大廈45（２）解決問題中的形。設上海國際飯店的高度為x米，易于找

利用畫圖來直觀呈現(xiàn)各種信息，有利于學生分析數(shù)量關系。46利用畫圖來直觀呈現(xiàn)各種信息，46

利用畫圖來直觀呈現(xiàn)各種信息，有利于學生理解算式。47利用畫圖來直觀呈現(xiàn)各種信息，有利于學生理解算式。47

②解決問題的直觀策略。48②解決問題的直觀策略。48

4949

③利用坐標系中的圖像直觀理解正比例關系。50③利用坐標系中的圖像50

（3）統(tǒng)計中的圖形。①各種統(tǒng)計圖表。51（3）統(tǒng)計中的圖形。51

（4）空間與圖形中的數(shù)。①圖形的周長、面積和體積公式。52（4）空間與圖形中的數(shù)。52

②圖形中邊之間的關系。53②圖形中邊之間的關系。53

③圖形變換中的數(shù)。坐標與變換

54③圖形變換中的數(shù)。54（一）創(chuàng)設情境，提出問題買回200本書。有2個書架,方法一：先算：平均每個書架放多少本？200÷2=100（本）再算：平均每層放多少本？100÷5=20（本）200本2、數(shù)形結合思想的教學。55（一）創(chuàng)設情境，提出問題買回200本書。有2個書架,方法一：方法二：先算：兩個書架一共用幾層？5×2=10（層）再算：平均每層放多少本？200÷10=20（本）200本方法三：先算：兩個書架1層放多少本書?200÷5=40（本）再算：平均每層放幾本書？40÷2=20（本）200本56方法二：200本方法三：200本565757方法二：180÷（3×2）＝30（人）方法一：180÷2÷3＝30（人）58方法二：180÷（3×2）＝30（人）方法一：180÷2÷3四、數(shù)形結合思想2、數(shù)形結合思想的教學。第一，如何正確理解數(shù)形結合思想。

59四、數(shù)形結合思想59案例1：＋＋＋＋…＝

160案例1：＋＋＋＋…＝160

第二，適當拓展數(shù)形結合思想的應用。案例2：把兩個形狀和大小相同的長方體月餅盒包裝成一包，怎樣包裝最省包裝紙？

假設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，并且a>b>c(只要給出三個數(shù)的大小順序便可，誰大誰小并不影響用代數(shù)方法計算的過程和結論)。根據(jù)已知條件可知，ab>ac>bc，所以把最大的兩個側面貼在一起包裝最省包裝紙。列成公式為：Ｓ＝4(ab+bc+ac)－2ab。

61第二，適當拓展數(shù)形結合思想的應用。假設長方體的長、寬、

五、推理思想對稱性關系推理反對稱性關系推理類比推理演繹推理合情推理三段論選言推理關系推理如：一切奇數(shù)都不能被2整除，(23＋１)是奇數(shù)，(23＋１)不能被2整除。一個三角形不是銳角三角形和直角三角形，它是鈍角三角形。傳遞性關系推理1米＝100厘米，所以100厘米＝1米a大于b，所以b不大于a。a>b，b>c，所以a>c。歸納推理推理62五、推理思想對稱性關系推理反對稱性關系推理類比1、推理思想的具體應用。631、推理思想的具體應用。63銳角比直角小，鈍角比直角大，也就是直角比鈍角??；可進一步引導學生思考，銳角和鈍角比，哪個大？學生在一年級已經知道了29＞26，26＞23，所以29＞23的推理方法，自然地可以把這種推理方法遷移至此。64銳角比直角小，鈍角比直角大，也就是直角比鈍角??；可進一步引導二年級上冊第80頁例4中的9的乘法口訣，這是歸納推理。

65二年級上冊第80頁例4中的9的乘法口訣，這是歸納推理。66666有一箱蘋果，3個3個地數(shù)多1個，4個4個地數(shù)多1個，5個5個地數(shù)多1個。問這箱蘋果至少有多少個？有一箱蘋果,3個3個地數(shù)少1個，4個4個地數(shù)少2個，5個5個地數(shù)少3個。問這箱蘋果至少有多少個？67有一箱蘋果，3個3個地數(shù)多1個，4個4個地數(shù)多1個，5個5個2、推理思想的教學。推理思想在小學數(shù)學教學中要注意把握以下幾點：第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學教學的始終。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內容領域的教學要有機地結合。第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。

682、推理思想的教學。推理思想在小學數(shù)學教學中要注意把握以下幾

學習“8的乘法口訣”時，便可聯(lián)系“6、7的乘法口訣”提出問題：8的乘法口訣有幾句？怎樣推導出8的乘法口訣？前后各句口訣之間有什么規(guī)律？（1）類比思想。

在初中代數(shù)中，與整數(shù)的運算順序和運算定律相類比，可以導出有理數(shù)和整式的運算順序和運算定律；與分數(shù)的基本性質相類比，可以導出分式也具有類似的性質，并且可以推出它和分數(shù)一樣能夠進行化簡和運算。

69學習“8的乘法口訣”時，便可聯(lián)系“6、7的乘法口訣期末測試中體現(xiàn)數(shù)學活動經驗（類比思想）的題目：學生在計算16＋8＝24時，總結出了加法計算法則，它在學習（）時又一次使用了，這種方法能保證學生計算準確。這種數(shù)學活動經驗要注意積累呦！

（1）類比思想。

70期末測試中體現(xiàn)數(shù)學活動經驗（類比思想）的題目：（1）類比思想2、如下圖，在探究圓的周長時，小朋友們用到了“化曲為直”的直觀學習方法，這種學習方法在學習（）時又一次使用了。這種數(shù)學活動經驗要注意積累呦！

712、如下圖，在探究圓的周長時，小朋友們用到了“化曲為直”的直案例1：計算并觀察下面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1＝121＋3＝4＝22（1＋3＋5）＝9＝32（1＋3＋5＋7）＝……1＋3＋5＋7＋…＋99＝

前n個奇數(shù)相加的和等于n的平方。72案例1：計算并觀察下面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？前n個奇數(shù)相

案例2：觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？14+41=55,34+43=77,27+72=99,46+64=110,38+83=121設任意一個兩位數(shù)是ab(a和b是1～9的自然數(shù))，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)（2）歸納思想。

73案例2：觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？設任案例3：如下圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明∠2=∠4嗎？(3)三段論。

74案例3：如下圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明∠2=∠4嗎

六、方程和函數(shù)思想1、方程和函數(shù)思想的具體應用。2、方程和函數(shù)思想的教學。75六、方程和函數(shù)思想75

練習：9＋1＝9＋2＝9＋3＝9＋4＝9＋5＝9＋6＝9＋7＝9＋8＝9＋9＝76練習：76

六、方程和函數(shù)思想案例1：媽媽買了3千克香蕉和2千克蘋果，一共花了16元。蘋果的價格是香蕉的2倍多1元，蘋果和香蕉的單價各是多少？列方程：3χ＋2(2χ＋1)＝16解方程，χ＝2所以，蘋果的單價是5元，香蕉的單價是2元77六、方程和函數(shù)思想案例1：媽媽買了3千克香蕉和2千

案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。請寫出銷售桃的總價(總收入)y元與數(shù)量(千克數(shù))χ之間的關系式。如果某天的銷量是50千克，這天的總收入是多少？如果上個月的總收入是12000元，上個月的銷量是多少？列關系式：y＝10χ。某天的銷量是50千克，總收入是500元。上個月的總收入是12000元，銷量是1200千克。78案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。請

案例3：有一批捐贈的圖書分給一個班的學生，如果每人分3本，則還缺15本；如果每人分2本，則剩余25本。這個班有多少學生？設：這個班有學生χ人列方程：3χ－15＝2χ＋25χ＝4079案例3：有一批捐贈的圖書分給一個班的學生，如果每人

七、幾何變換思想幾何變換合同變換相似變換平移變換軸對稱變換旋轉變換按一定比例放大或縮小80七、幾何變換思想幾何變換合同變換相似變換平移變換軸2、幾何變換思想的教學。(1)平移變換。平移的方向，不一定是水平的。小學階段：直觀認識平移現(xiàn)象。物體在直線方向上移動，本身沒有發(fā)生方向上的改變。812、幾何變換思想的教學。平移的方向，不一定是水平的。小學階段

(2)旋轉變換。設計圖案82(2)旋轉變換。設計圖案82

(3)對稱變換。如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形。把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱。83(3)對稱變換。如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部(4)相似變換。84(4)相似變換。84

形狀不變，大小改變（圖形的放大、縮?。?5形狀不變，大小改變（圖形的放大、縮?。?5

1、小學數(shù)學中幾何變換思想的應用如下表。思想方法知識點應用舉例軸對稱畫簡單的軸對稱圖形認識軸對稱圖形，畫出一個簡單圖形的軸對稱圖形平移變換認識平移，把簡單圖形平移判斷生活中物體的運動哪些是平移現(xiàn)象畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形旋轉變換感知旋轉現(xiàn)象判斷生活中物體的運動哪些是旋轉現(xiàn)象把簡單圖形旋轉90°畫出一個簡單圖形順時針或逆時針旋轉90°后的圖形合同變換圖形的性質、面積的計算平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式的推導等都滲透了幾何變換思想圖案的欣賞和設計判斷一些圖案是由一些基本圖形經過什么變換得到的；利用平移、旋轉和軸對稱等變換，設計美麗的圖案相似變換把簡單圖形放大或縮小畫出長方形、正方形、三角形等簡單的圖形按照一定的比例放大或縮小后的圖形861、小學數(shù)學中幾何變換思想的應用如下表。思想方法知2、幾何變換思想的教學。第一，對一些概念的準確把握。案例2：一架直升飛機在按一定速度飛行時螺旋槳的轉動是旋轉嗎？它停在陸地上時螺旋槳的轉動是旋轉嗎？案例1：一輛汽車在筆直平坦的道路上行駛，這輛汽車的運動是平移嗎？如果這輛汽車急剎車，輪胎抱死在道路上滑行是平移嗎？872、幾何變換思想的教學。案例2：一架直升飛機在按一定速度飛行案例3：下面的圖形是軸對稱圖形嗎？圖(1)圖(2)88案例3：下面的圖形是軸對稱圖形嗎？圖(1)圖(2)88案例4:人教版教材,求三角形和梯形的面積。把兩個完全相同的三角形和梯形拼成平行四邊形，利用變換原理為：先把一個圖形旋轉180度，再平移。第二，注意圖形變換與其它幾何知識的聯(lián)系。89案例4:人教版教材,求三角形和梯形的面積。第二，注意圖形案例5：小明家的院子里有一塊長30米、寬20米的長方形菜地，地里有兩條相互垂直而且寬都是1米的小路。這塊地實際種菜的面積是多少？種菜的面積就轉化為求長29米、寬19米的長方形的面積，用長乘寬就可求出面積。第二，注意圖形變換與其它幾何知識的聯(lián)系。90案例5：小明家的院子里有一塊長30米、寬20米的長方形菜地，案例6：如圖所示，三個同心圓的最大的圓的兩條直徑相互垂直，最大的圓的半徑是2cm，求陰影部分的面積。陰影的面積為：×π×22=π(cm2)。

91案例6：如圖所示，三個同心圓的最大的圓的兩條直徑相互垂直，最

第三，對教學要求和解題方法的準確把握。1、直觀判斷題如：在方格紙上原圖形中的點Ａ(2，3)，經過平移后它的對應點為A′(8，10）。那么原圖形可以通過先向右平移6格，再向上平移7格；或者先向上平移7格，再向右平移6格，得到平移后的圖形。2、作圖題

92第三，對教學要求和解題方法的準確把握。如：在方格紙上原圖

八、分類討論思想1、分類討論思想的具體應用。思想方法知識點應用舉例分類討論思想分類一年級上冊物體的分類，滲透分類思想、集合思想數(shù)的認識數(shù)可以分為正數(shù)、０、負數(shù)有理數(shù)可以分為整數(shù)和分數(shù)（小數(shù)是特殊的分數(shù)）整數(shù)的性質整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)正整數(shù)可以分為1、素數(shù)和合數(shù)圖形的認識平面圖形中的多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形、六邊形…三角形按角可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊可以分為；不等邊三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形四邊形按對邊是否平行可以分為：平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行的四邊形統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分類整理和描述排列組合分類討論是小學生了解排列組合思想的基礎概率排列組合是概率計算的基礎植樹問題先確定是幾排樹，再確定每排樹的情況兩端都不栽、一端栽一端不栽、兩端都栽抽屜原理構建抽屜實際上是應用分類標準，把所有元素進行分類93八、分類討論思想思想方法知識點應用舉例分類討論分

2的倍數(shù)的特征：（1）從生活情境“雙號”引入。（2）觀察2的倍數(shù)的個位數(shù)，總結出2的倍數(shù)的特征。（3）介紹奇數(shù)和偶數(shù)的概念。（4）可讓學生隨意找一些數(shù)進行驗證，但不要求嚴格的證明。942的倍數(shù)的特征：94

質數(shù)和合數(shù)的概念：（1）根據(jù)20以內各數(shù)的因數(shù)個數(shù)把數(shù)分成三類：1、質數(shù)、合數(shù)。（2）可任出一個數(shù)，讓學生根據(jù)概念判斷其為質數(shù)還是合數(shù)。95質數(shù)和合數(shù)的概念：95

三角形按角分類任意找一些三角形引導學生自己分類啟發(fā)學生想怎樣用集合圈表示幾種三角形之間的關系96三角形按角分類96

三角形按邊分類思路同前也可以同時進行分類更加開放等腰三角形的特征97三角形按邊分類97分為三類：十位是1的有12、13，十位是2的有21、23，十位是3的有31、32。98分為三類：十位是1的有12、13，十位是2的有21、23，十只有1枚硬幣的：1角、5角、1元只有2枚硬幣的：6角、1元1角、1元5角、只有3枚硬幣的：1元6角99只有1枚硬幣的：1角、5角、1元992、分類討論思想的教學。第一，在分類單元的教學中，注意滲透分類思想和集合思想。第二，在三大領域知識的教學中注意經常性地滲透分類思想和集合思想。第三，注意從數(shù)學思維和解決問題的方法上滲透分類思想。第四，在統(tǒng)計與概率知識的教學中，滲透分類的思想。第五，注意讓學生體會分類的目的和作用，不要為了分類而分類。第六，注意有關數(shù)學規(guī)律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用性。1002、分類討論思想的教學。1002、分類討論思想的教學。

案例1：下圖中共有多少個長方形？

單一的長方形：3×3＝9；由兩個單一長方形組成的長方形：橫數(shù)2×3＝6，豎數(shù)2×3＝6，6+6=12；由三個單一長方形組成的長方形：橫數(shù)1×3＝3，豎數(shù)1×3＝3，3+3=6；由四個單一長方形組成的長方形：4；由六個單一長方形組成的長方形：4；由九個單一長方形組成的長方形：1。共計9+12+6+4+4+1=36（個）。1012、分類討論思想的教學。案例1：下圖中共有多少個長方形

案例2:下面四張卡片上分別寫有數(shù)字0、1、2、3，可以利用它們組成多少不同的四位數(shù)？分析：把所有能組成的四位數(shù)分成三類，再依此按從小到大的順序排列如下。（1）102310321203123013021320（2）201320312103213023012310（3）301230213102312032013210102案例2:下面四張卡片上分別寫有數(shù)字0、1、2、3，可以利

方法是：可以按只有一種、二種、三種硬幣的方法進行分類組合。只有一種硬幣：10個1分，5個2分,2個5分,3種換法;只有兩種硬幣:8個1分和1個2分,6個1分和2個2分,4個1分和3個2分,2個1分和4個2分,5個1分和1個5分,5種換法;只有三種硬幣:1個1分、2個2分和1個5分，

3個1分、1個2分和1個5分，2種換法。共計10種換法。案例3:把1張一角的人民幣換成零錢，現(xiàn)有足夠的1、2、5分幣。有多少種換法？103方法是：可以按只有一種、二種、三種硬幣的方法進行分類組合

還可以按照幣種的范圍分類討論。104還可以按照幣種的范圍分類討論。104

期末測試體現(xiàn)分類數(shù)學思想的題目：如下圖，有一些扣子要分，笑笑、亮亮分別是這樣分的，這一過程體現(xiàn)了（）數(shù)學思想。這一思想為繼續(xù)學習數(shù)學奠定基礎。笑笑亮亮105

九、統(tǒng)計思想1、統(tǒng)計思想的具體應用。小學數(shù)學中統(tǒng)計的知識點主要有：象形統(tǒng)計圖、單式統(tǒng)計表、復式統(tǒng)計表、單式條形統(tǒng)計圖、復式條形統(tǒng)計圖、單式折線統(tǒng)計圖、復式折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，以及不恰當?shù)臄?shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表可能產生誤導。

106九、統(tǒng)計思想1062、統(tǒng)計思想的教學。第一，注重過程性目標的教學。第二，認識統(tǒng)計對決策的作用，能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)有關的問題。第三，能對給定數(shù)據(jù)的來源、收集和描述的方法，以及分析的結論進行合理的質疑。第四，對有關概念應正確理解，應注重知識的應用，避免單純的數(shù)據(jù)計算和概念判斷。如：讓學生找出下面一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)：758484898992929698。

1072、統(tǒng)計思想的教學。107平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的數(shù)量，代表一般水平。平均數(shù)能反映全體數(shù)據(jù)的信息，任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，比較敏感，因而應用比較普遍；缺點是易受極端值的影響。中位數(shù)處于中間水平，不受極端值的影響，運算簡單，在一組數(shù)據(jù)中起分水嶺的作用；缺點是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，運算簡單，當要找出適應多數(shù)需要的數(shù)值時，常用眾數(shù)；缺點是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)可能不唯一，甚至有時沒有。108平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的數(shù)量，代表一般2、統(tǒng)計思想的教學。案例1：一家公司2008年和2009年職工年工資情況如下表。職務總經理副總經理部門經理部門副經理普通員工人數(shù)12810792008年工資／萬元875422009年工資／萬元108.564.82.3（1）這家公司2008年和2009年職工平均工資各是多少？（2）這家公司對外宣稱，2009年職工平均工資比2008年增長17%以上，這種說法有不妥之處嗎？(1)2008和2009年職工平均工資分別為：(8+2×7+8×5＋10×4＋79×2)÷100=2.6(萬元)(10＋2×8.5＋8×6＋10×4.8＋79×2.3)=3.047(萬元)(2)(3.047-2.6)÷2.6≈17.2%,(2.3-2)÷2=15%。

1092、統(tǒng)計思想的教學。職務總經理副總經理部門經理部門副經理普通案例2：有關部門對一個社區(qū)的100個居民月度人均用水量進行了調查統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表：用水量／噸23456人數(shù)／人82440226(1)計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。(2)什么數(shù)可以代表居民人均用水量的一般水平？(3)如果采取階梯水價，標準用水量以上加價收費，希望至少70％的居民不受影響，你認為人均標準用水量定為多少比較合適？（1）平均數(shù)：(2×8＋3×24＋4×40＋5×22＋×6)÷100=3.94(噸)，中位數(shù)和眾數(shù)都是4噸。(2)中位數(shù)和眾數(shù)相等，平均數(shù)也約等于中位數(shù)和眾數(shù)，這三個量差別很小，都可以作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表。(3)100×70%=70，用水量在4噸及以下的人數(shù)為72人，所以人均標準用水量定為4噸比較合適。110案例2：有關部門對一個社區(qū)的100個居民月度人均用水量進行了十、分析法和綜合法1、分析法和綜合法的具體應用。2、分析法和綜合法的教學。第一，在學習一般的數(shù)學概念和性質時注重分析能力和綜合能力的培養(yǎng)。第二，在解決問題時注重分析法和綜合法的結合運用。111十、分析法和綜合法2、分析法和綜合法的教學。111案例1：一件襯衫的標價是150元，現(xiàn)在因換季按標價打八折的優(yōu)惠價出售，還能夠在進價的基礎上獲利20%。這款襯衫的進價是多少錢？

根據(jù)分析法找出的數(shù)量關系和解題思路，用綜合法列式如下。進價加獲利20％一共的錢數(shù)：150×80%＝120(元)這款襯衫的進價是：120÷（1+20%）＝100（元）列成綜合算式是：150×80%÷（1+20%）＝100元）112案例1：一件襯衫的標價是150元，現(xiàn)在因換季按標價打八折的優(yōu)案例2：食品店把120千克巧克力分裝在兩種大小不同的盒子里，先裝0.25千克一盒的裝了200盒，剩下的每盒裝0.5千克。這些巧克力一共裝了多少盒？小盒共裝的千克數(shù)：0.25×200=50(千克)大盒共裝的千克數(shù):120－50=70(千克)大盒裝的盒數(shù):70÷0.5=140(盒)一共裝的盒數(shù):200＋140=340(盒)綜合算式為:200+(120-0.25×200)÷0.5=340(盒)案例3：明明家有一些蘋果和梨，蘋果的個數(shù)如果再減少5個，就恰好是梨的個數(shù)的3倍。如果每天吃4個蘋果和2個梨，當梨吃完時蘋果還剩15個。那么原來梨和蘋果各有多少個？蘋果和梨相比較，蘋果減少15個是梨的2倍，減少5個是梨的3倍；所以，從15個中減去5個，剩下的10個就是梨的個數(shù)。113案例2：食品店把120千克巧克力分裝在兩種大小不同的盒子里，十一、概率思想１、概率思想。生活中有很多現(xiàn)象是必然的，如也有很多是偶數(shù)的。偶然現(xiàn)象，也叫隨機現(xiàn)象，表面上看可能無規(guī)律，但大量地收集數(shù)據(jù)或重復實驗可能具有某種規(guī)律性，概率統(tǒng)計主要是用數(shù)學方法揭示這種統(tǒng)計規(guī)律性。（1）事件的分類。必然事件確定事件事件不可能事件隨機事件（2）概率的類型。古典概型概率幾何概型114十一、概率思想１、概率思想。114

古典概率模型：基本事件的個數(shù)有限每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等幾何概率模型：每個基本事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積、體積）成比例115古典概率模型：幾何概率模型：115

1、概率思想的具體應用。

(1)根據(jù)等可能性事件設計公平的游戲規(guī)則;(2)統(tǒng)計推斷中很多情況是根據(jù)對隨機事件的相關數(shù)據(jù)進行分析后，再對隨機事件發(fā)生的可能性大小進行預測和決策。如：2010年南非世界杯決賽西班牙對荷蘭，有人預測西班牙奪冠，理由是西班牙是近年歐洲冠軍、實力雄厚；還有人預測荷蘭衛(wèi)冕，理由是荷蘭是無冕之王、兩次獲得世界杯亞軍。西班牙和荷蘭兩隊歷史上一共交手9次，其中荷蘭4勝1平4負，實力不分上下。所以兩隊奪冠的可能性各占一半。1161、概率思想的具體應用。(1)根據(jù)等可能性事件設計公平的2、概率思想的教學。第一，隨機事件的發(fā)生是有條件的，是在一定條件下，事件發(fā)生的可能性有大??；條件變了，事件發(fā)生的可能性大小也可能會變化。第二，避免把頻率與概率混淆。第三，創(chuàng)設聯(lián)系學生生活的情境，要注意每個基本事件是否具有等可能性。第四，概率是理論上的精確值，但是隨機事件在具體一次試驗中可能出現(xiàn)意外，即頻率與概率有一定偏差。1172、概率思想的教學。117案例1：連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上嗎？案例2：天氣預報預測明天降水概率是90%，明天一定下雨嗎？118案例1：連續(xù)兩次拋擲一枚硬幣，如果第一次正面朝上，那么第二次案例3：六(2)班同學血型情況如右圖。(1)從圖中你能得到哪些信息？(2)該班有50人，各種血型各有多少人？(1)從圖中得到如下信息：在六(2)班的同學中有四種血型，這四種血型Ｏ型的人最多，占40%，Ａ型和Ｂ型的人數(shù)分別排第二、第三，ＡＢ型的人最少，只占8％。(2)50人中Ｏ型、Ａ型、Ｂ型和ＡＢ型的人數(shù)分別有：20、14、12、4人。(3)六年級有200人，你能估計各種血型的人數(shù)嗎？119案例3：六(2)班同學血型情況如右圖。(1)從圖中得到如下信2、反證法的教學。第一，掌握它的基本原理和步驟是必要的。第二，對反證法涉及的一些概念和詞語應正確理解。第三，對于學生來說，只需初步了解其方法。作為教師而言，要掌握反證法的基本原理、步驟和推理方法，以便在教學中把握反證法的科學性。十二、反證法1、反證法的具體應用。1202、反證法的教學。十二、反證法1202、反證法的教學。案例1:把43人分成7個小組，總有一個小組至少有7人。請說明理由。假設∠A不是銳角，首先三角形的任何一個內角不可能等于0度，那么有∠A≥90°，又因為∠C=90°，∠B>0°，所以∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形的內角和等于180°矛盾。所以∠A一定是銳角。案例2：在直角三角形ABC中，∠C是直角，請說明：∠A一定是銳角。1212、反證法的教學。假設∠A不是銳角，首先三角形的任何一個內角十三、集合思想1、集合思想的具體應用。案例：正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合，它們的基數(shù)相等嗎？分析：只要滿足一一對應就基數(shù)相等。１２３４５┅↓↓↓↓↓２４６８１０┅122十三、集合思想案例：正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合，它們的基數(shù)相等嗎123123案例1：乒乓球比賽有16人參加Ａ組的小組賽，規(guī)定采取淘汰賽決出小組第一名參加決賽。一共要進行多少場比賽？十三、集合思想2、集合思想的教學。第一，應正確理解有關概念。第一輪共有8場比賽，第二輪共有4場比賽，第三輪共有2場比賽，第四輪共有1場比賽；所以總共有15(8+4+2+1=15)場比賽。在小組參賽的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，所以比賽的場數(shù)為15場。124案例1：乒乓球比賽有16人參加Ａ組的小組賽，規(guī)定采取淘汰賽決第二，正確把握集合思想的教學要求。

案例2：六(1)班舉辦文藝活動，演出歌舞節(jié)目的有9人，演出小品等節(jié)目的有12人，兩類節(jié)目都參加的有5人。該班共有多少人參加這兩類節(jié)目的演出？第三，集合思想的教學要貫徹小學數(shù)學的始終。

125第二，正確把握集合思想的教學要求。案例2：六(1)班舉辦文十四、極限思想1、極限思想的具體應用。極限思想在小學數(shù)學中的應用和滲透，主要體現(xiàn)在以下幾點。(1)在數(shù)的認識中體會有限與無限的思想。（2）在數(shù)的計算中體會極限思想。（3）在認識圖形時滲透無限的思想。（4）在圓的面積、圓柱的體積的計算中滲透極限思想。126十四、極限思想126等分后的小塊組成不同的形狀近似平行四邊形近似三角形近似梯形127等分后的小塊組成不同的形狀近似平行四邊形近似三角形近似梯形1四等分圓圓的面積128四等分圓圓的面積128四等分圓圓的面積129四等分圓圓的面積129四等分圓圓的面積130四等分圓圓的面積130四等分圓圓的面積131四等分圓圓的面積131四等分圓圓的面積132四等分圓圓的面積132四等分圓圓的面積133四等分圓圓的面積133四等分圓圓的面積134四等分圓圓的面積134八等分圓圓的面積135八等分圓圓的面積135八等分圓圓的面積136八等分圓圓的面積136八等分圓圓的面積137八等分圓圓的面積137八等分圓圓的面積138八等分圓圓的面積138八等分圓圓的面積139八等分圓圓的面積139八等分圓圓的面積140八等分圓圓的面積140十六等分圓圓的面積141十六等分圓圓的面積141圓的面積142圓的面積142圓的面積143圓的面積143圓的面積144圓的面積144圓的面積十六等分圓145圓的面積十六等分圓145分得越細越接近長方形曲直播放146分得越細越接近長方形曲直播放146147147148148149149150150151151152152153153154154155155156156157157158158159159

2、極限思想的教學。案例1：把循環(huán)小數(shù)0.999…化成分數(shù)。0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…0.999…=11602、極限思想的教學。0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.十五、假設法1、假設法的具體應用。161十五、假設法161十五、假設法2、假設法的教學。課例：《分數(shù)的基本性質》

第一，根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)臄?shù)據(jù)進行假設。

案例1：(1)六年級參加植樹的男生和女生共有36人，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍。男生和女生各有多少人？(2)六年級參加植樹的男生和女生共有36人，其中男生人數(shù)的是女生人數(shù)的2倍。男生和女生各有多少人？162十五、假設法第一，根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)臄?shù)據(jù)進行假設。案例2：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？8元的買了6本，13元的買了4本。163案例2：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本

第二，在數(shù)量之間具有一定的比例關系前提下，可假設其中的一個數(shù)量為單位“1”，可大大簡化計算的繁瑣程度。案例3：足球比賽門票是20元一張，平均每場有5000名觀眾，降價后每場觀眾增加了50%，收入增加了20%，降價后門票的價格是多少？降價后收入是：5000×20×(1+20%)＝120000（元）降價后的觀眾人數(shù)是：5000×(1+50%)＝7500(人)所以降價后的門票價格是：120000÷7500＝16(元)。假設降價前的觀眾人數(shù)是1,則降價后的觀眾人數(shù)是1×(1+50%)=1.5,降價前的收入是20×1,則降價后的收入是20×1×(1+20%)＝24,所以降價后的門票價格是：24÷1.5＝16(元)。164第二，在數(shù)量之間具有一定的比例關系前提下，可假設其中的一個案例4：如下圖所示，水池和菜地組成了一個正方形，水池和林地組成了一個長方形，重疊的部分是水池。水池的面積占長方形的，占正方形的。林地的面積比菜地多200平方米，水池的占地面積是多少？設水池的面積為1,那么林地的面積為1÷－1＝5菜地的面積為1÷－1＝3，200÷(5－3)＝100(平方米)。所以水池的占地面積為100平方米。165案例4：如下圖所示，水池和菜地組成了一個正方形，水池和林地組

十六、運籌思想運籌學：應用數(shù)學的方法在軍事、管理、規(guī)劃、人力安排、交通、經濟等領域找到解決問題的最佳方案。在小學，主要討論以下幾個問題：１、分配問題。對于有限的資源、人員、設備、時間等因素構成的系統(tǒng)，如何統(tǒng)籌規(guī)劃，以最優(yōu)的方式對有關因素加以安排或分配，使得耗費最小，效益最大。166十六、運籌思想166

167167

２、排隊問題。研究公共服務系統(tǒng)中，如何安排服務設施，盡量縮短服務時間，使服務系統(tǒng)達到最優(yōu)狀態(tài)。168２、排隊問題。168

３、對抗問題。研究競爭雙方分別選擇最優(yōu)的對抗策略，以使本方在競爭中處于優(yōu)勢。169３、對抗問題。169

數(shù)學思想方法不同于一般的概念和技能，技能一般通過短期的訓練便能掌握，數(shù)學思想方法的教學更應該是一個通過長期的滲透和影響才能夠形成思想和方法的過程。

170數(shù)學思想方法不同于一般的概念和技能，技能一般通過短期好雨知時節(jié)，當春乃發(fā)生。隨風潛入夜，潤物細無聲

——杜甫171好雨知時節(jié)，當春乃發(fā)生。171172172謝謝感謝您的聆聽

您的關注使我們更努力此課件下載后可自行編輯修改關注我每天分享干貨173謝謝感謝您的聆聽

您的關注使我們更努力此課件下載后可自行編輯此課件下載后可自行編輯修改關注我每天分享干貨小學數(shù)學思想方法174此課件下載后可自行編輯修改小學數(shù)學思想方法1真正的教育是將在學校所學的知識全忘掉,所剩下的。

——陶行知175真正的教育是將在學校所學的知識全忘掉,所剩下的。2

在學生的腦力勞動中，擺在第一位的并不是背書，而是讓學生本人進行思考。背書會使人變傻。

——蘇霍姆林斯基176在學生的腦力勞動中，擺在第一位的并不是背書，而

數(shù)學思想是數(shù)學學科發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學所依賴的基礎，也是數(shù)學課程教學的精髓，內涵十分豐富。177數(shù)學思想是數(shù)學學科發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究

數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中。

高考考試大綱的說明178數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它不懂得數(shù)學思想方法的數(shù)學教師不是一個稱職的教師。

——徐利治179不懂得數(shù)學思想方法的數(shù)學教師不是一個稱職的教師。6

數(shù)學思想和數(shù)學方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學方法的實踐性更強一些。人們實現(xiàn)數(shù)學思想往往要靠一定的數(shù)學方法；而人們選擇數(shù)學方法，又要以一定的數(shù)學思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，那么，要想學好數(shù)學、用好數(shù)學，就要深入到數(shù)學的“靈魂深處”。

180數(shù)學思想和數(shù)學方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學思想一、符號化思想二、化歸思想三、模型思想四、數(shù)形結合思想五、推理思想六、方程和函數(shù)思想七、幾何變換思想八、分類討論思想九、統(tǒng)計思想

十、分析法和綜合法十一、概率思想十二、反證法十三、集合思想十四、極限思想十五、假設法十六、運籌思想

181一、符號化思想九、統(tǒng)計思想8一、符號化思想1、符號化思想的應用。第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號表示。如：a+b=b+a

第二，理解符號所代表的數(shù)量關系和變化規(guī)律。第三，會進行符號間的轉換。第四，能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。182一、符號化思想9用符號表示變化規(guī)律。數(shù)列的變化規(guī)律:1,2,3,5,8,…圖形的變化規(guī)律。一、符號化思想1、符號化思想的應用。183用符號表示變化規(guī)律。一、符號化思想102、符號化思想的教學。①②③④⑤⑥“垂直與平行”

1842、符號化思想的教學。①②③a∥b或者b∥a185a∥b或者b∥a12①②③④⑤⑥a⊥b或者b⊥a186①②③④

二、化歸思想化歸（轉化）思想從小學到中學，數(shù)學知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學習數(shù)學、理解和掌握數(shù)學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種復雜的數(shù)學問題。化歸思想也是攻克各種復雜問題的法寶之一。1、化歸思想的具體應用。187二、化歸思想1、化歸思想的具體應用。14

二、化歸思想2、教學中的化歸策略。188二、化歸思想15

18916

19017

（1）下圖是平行四邊形停車位，它的面積是（)。Ａ．7.5×4Ｂ．7.5×6Ｃ．6×4

191（1）下圖是平行四邊形停車位，它的面積是（

王老師在教學時，用木條制成一個長方形框教具，木條長18厘米，寬15厘米。它的周長和面積各是多少？如果把它拉成平行四邊形，周長和面積會怎樣？

192王老師在教學時，用木條制成一個長方形框教具，木高底下底上底高平行四邊形的面積＝底×高高底三角形的面積＝底×高÷２高上底梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷２123193高底下底上底高平行四邊形的面積＝底×高高底三角形的面積

圖1圖2194圖1圖221案例1：＋＋＋……＝

解決問題中的化歸策略。（1）化抽象問題為直觀問題。1195案例1：＋＋＋……＝解決

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。四年級（下冊）第117---118頁例1《植樹問題》。例1：同學們要在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵樹（兩端要栽）。一共需要多少棵樹苗？196解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。四年級

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間隔長度研究方法（線段圖）間隔段數(shù)棵數(shù)5米5米1210米5米2315米5米34……發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)=間隔數(shù)+1間隔數(shù)=棵數(shù)－1

197解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間隔長度研究方法（線段圖）間隔段數(shù)棵數(shù)5米5米1210米5米2315米5米34……發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)=間隔數(shù)+1間隔數(shù)=棵數(shù)－1

198解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。全長間

解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。把186拆分成93和93,93和93的乘積最大，乘積為8649。

案例2：把186拆分成兩個自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個自然數(shù)的乘積最大？187呢？199解決問題中的化歸策略。（2）化繁為簡的策略。把18

（2）化繁為簡的策略。案例3：你能快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝嗎？個位數(shù)是5的相等的兩個數(shù)的乘積分為左右兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25（5乘5的積）。所以85×85＝7225，95×95＝9025，105×105＝11025200（2）化繁為簡的策略。個位數(shù)是5的相等的兩個數(shù)的乘

解決問題中的化歸策略。（3）化實際問題為特殊的數(shù)學問題。假設都是上山，那么總路程是18（6×3）千米，比實際路程少算了2千米，所以，上山時間是4小時。上山和下山的路程分別是12千米和8千米。案例1：某旅行團隊翻越一座山。上午9時上山，每小時行3千米，到達山頂時休息1小時。下山時，每小時行4千米，下午4時到達山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？201解決問題中的化歸策略。假設都是上山，

案例2：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢?解決問題中的化歸策略。（3）化實際問題為特殊的數(shù)學問題。直接分析：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11得2，所以香蕉的單價是每千克2元。再通過計算得蘋果的單價是每千克2.5元。202案例2：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了1

變式：

1、水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍少30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？

2、水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？

3、水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是香蕉的3倍。這三種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？

4、水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是蘋果的2倍。這三種水果一共銷售了210千克。銷售香蕉多少千克？（4）化未知問題為已知問題。案例1：水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？203變式：（4）化未知問題為已知問題。案例1：水果期末測試體現(xiàn)轉化數(shù)學思想的題目：1、如下圖，在推倒平行四邊形面積公式的過程中，這一過程體現(xiàn)了（）數(shù)學思想。這一思想為后面學習三角形面積、梯形面積奠定基礎。204期末測試體現(xiàn)轉化數(shù)學思想的題目：312、“轉化”是一種常見的解決問題的方法。如下圖，把一個半圓分成若干份，剪開后拼成一個近似的長方形，這兩個圖形（）。

A、面積相等，周長也相等

B、面積相等，周長不相等

C、面積不相等，周長也不相等2052、“轉化”是一種常見的解決問題的方法。如下圖，把一個半圓分3、在小數(shù)除法中，如：要把這兩個小數(shù)變成整數(shù)才能進行計算，把小數(shù)變成整數(shù)這一過程運用了（）的思想方法。2063、在小數(shù)除法中，如：要把這兩個小數(shù)變成整數(shù)三、模型思想1、模型思想的具體應用。2、模型思想的教學。207三、模型思想2、模型思想的教學。34

2208235第一，學習的過程可以經歷類似于數(shù)學家建模的再創(chuàng)造過程?！堕L方體的認識》①量一量；②比一比；③找一找；④折一折。209第一，學習的過程可以經歷類似于數(shù)學家建模的再創(chuàng)造過程?！堕L小棒根數(shù)擺幾個□剩幾根小棒列式

8□□8÷4＝2

9□□9÷4＝2……1

10□□10÷4＝2……2

11□□11÷4＝2……3

12□□□12÷4＝3

13□□□13÷4＝3……1……二年級下冊《余數(shù)與除數(shù)的關系》結論：余數(shù)都比除數(shù)小。

210小棒根數(shù)擺幾個□剩幾根小棒列式8□□8÷4＝2

第三，應用已有的數(shù)學知識分析數(shù)量關系和空間形式，經過抽象建立模型，進而解決各種問題。第二，對于大多數(shù)人來說，在現(xiàn)實生活和工作中利用數(shù)學解決各種問題，基本上都是根據(jù)對現(xiàn)實情境的分析，利用已有的數(shù)學知識構建模型。211第三，應用已有的數(shù)學知識分析數(shù)量關系和空間形式

案例1：小明的家距離學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早晨出門2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶文具盒，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，他從回家再到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）5米跳繩的根數(shù)12342米跳繩的根數(shù)7520剩余米數(shù)1010案例2：有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩余，并且每種規(guī)格的跳繩至少要有一根。）212案例1：小明的家距離學校600米，每

案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？

設小林喝的水為v毫升，列式為：v：500＝4：(16+4)v＝100。213案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了四、數(shù)形結合思想

“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微?！?/p>

——華羅庚

數(shù)形結合思想的核心應是代數(shù)與幾何的對立統(tǒng)一和完美結合，就是要善于把握什么時候運用代數(shù)方法解決幾何問題是最佳的、什么時候運用幾何方法解決代數(shù)問題是最佳的。

214四、數(shù)形結合思想41四、數(shù)形結合思想1、數(shù)形結合思想的具體應用。數(shù)形結合思想主要體現(xiàn)：一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學生理解和掌握知識、解決問題。二是數(shù)軸及平面直角坐標系在小學的滲透。三是統(tǒng)計圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)。四是用代數(shù)(算術)方法解決幾何問題。

215四、數(shù)形結合思想42四、數(shù)形結合思想1