高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件

第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一數(shù)學(xué)歸納法一數(shù)學(xué)歸納法1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．2.了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍．3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.

1.數(shù)學(xué)歸納法的原理．(重點(diǎn))2.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．(難點(diǎn))

目標(biāo)定位1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．目標(biāo)定位預(yù)習(xí)學(xué)案預(yù)習(xí)學(xué)案2ab

比較法分析法綜合法2ab比較法分析法綜合法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)_________時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)_________________________時(shí)命題成立，證明___________時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法．n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n＝k＋11．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件3．設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解釋?zhuān)?/p>

由凸多邊形性質(zhì)知多加了一條邊內(nèi)角和比原來(lái)多了π.答案：

π3．設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件課堂學(xué)案課堂學(xué)案用數(shù)學(xué)歸納法證等式用數(shù)學(xué)歸納法證等式高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件 求證：二項(xiàng)式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[思路點(diǎn)撥]

由假設(shè)以x2k＋2為主進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k加上x(chóng)2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出n＝k的歸納假設(shè)，剩余部分仍能被x＋y整除．證整除問(wèn)題 求證：二項(xiàng)式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．證整[解題過(guò)程]

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．(2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，x2k－y2k能被x＋y整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，對(duì)任意的正整數(shù)n命題均成立．[解題過(guò)程](1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N＋都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．[思路點(diǎn)撥]利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”等變形技巧．2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然數(shù)m，解析：

f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1224，猜想能整除f(n)的最大整數(shù)是36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除．(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝36能被36整除；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，f(k)能被36整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，解析：f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數(shù)．∴18(3k－1－1)能被36整除，∴f(k＋1)能被36整除．由(1)(2)得f(n)能被36整除．由于f(1)＝36，故整除f(n)的最大整數(shù)是36.由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件3．在本例中，探究這n條直線(xiàn)互相分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)是多少？并加以證明．[思路點(diǎn)撥]利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律．3．在本例中，探究這n條直線(xiàn)互相分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)是多少解析：

n的最小值應(yīng)該為2，當(dāng)n＝2時(shí)，有4條射線(xiàn)，當(dāng)n＝3時(shí)，如圖有3條線(xiàn)段6條射線(xiàn)，共9條線(xiàn)段或射線(xiàn)．解析：n的最小值應(yīng)該為2，當(dāng)n＝4時(shí)，不妨取出一條直線(xiàn)l1，則剩余3條直線(xiàn)l2，l3，l4相互分割成9條線(xiàn)段或射線(xiàn)．而l1與l2，l3，l4有3個(gè)交點(diǎn)，這3個(gè)交點(diǎn)將l1分割為2條線(xiàn)段，2條射線(xiàn)．而l2，l3，l4上又各多出1個(gè)交點(diǎn)，因此l2，l3，l4又被這一交點(diǎn)多分割出一條線(xiàn)段或射線(xiàn)，∴多出4＋3＝7條．∴n＝4時(shí)，有16條．由此推測(cè)，n條直線(xiàn)相互分割成n2條射線(xiàn)或線(xiàn)段，設(shè)φ(n)＝n2(n≥2，且n∈N＋)．當(dāng)n＝4時(shí)，不妨取出一條直線(xiàn)l1，則剩余3條直線(xiàn)l2，l3，證明如下：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立，φ(k)＝k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)有l(wèi)1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1條直線(xiàn)，滿(mǎn)足題設(shè)條件．不妨取出直線(xiàn)l1.證明如下：余下的k條直線(xiàn)l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k)＝k2條射線(xiàn)或線(xiàn)段．直線(xiàn)l1與這k條直線(xiàn)恰有k個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)l1被這k個(gè)交點(diǎn)分成k＋1條射線(xiàn)或線(xiàn)段．k條直線(xiàn)l2，l3，…，lk＋1中的每一條都與l1恰有一個(gè)交點(diǎn)，因此每條直線(xiàn)又被這一個(gè)交點(diǎn)多分割出一條射線(xiàn)或線(xiàn)段，共有k條．故φ(k＋1)＝φ(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論正確．由(1)(2)可知，上述結(jié)論對(duì)一切n≥2，且n∈N＋都成立．余下的k條直線(xiàn)l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念先證明當(dāng)n取第一值n0(例如可取n0＝1)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明．?dāng)?shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念數(shù)學(xué)歸納法在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題中，從“n＝k”到“n＝k＋1”的過(guò)渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步，它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問(wèn)題一樣，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來(lái)，而證明不等式的第二步中，從“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼湊的方法，有時(shí)也行不通，因?yàn)閷?duì)不等式來(lái)說(shuō)，它還涉及“放縮”的問(wèn)題，它可能需通過(guò)“放大”或“縮小”的過(guò)程，才能利用上歸納假設(shè)，因此，我們可以利用“比較法”、“綜合法”、“分析法”等來(lái)分析從“n＝k”到“n＝k＋1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題中，從“n＝k”到“n＝k＋1”課后練習(xí)課后練習(xí)謝謝觀看！謝謝觀看！第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一數(shù)學(xué)歸納法一數(shù)學(xué)歸納法1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．2.了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍．3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.

1.數(shù)學(xué)歸納法的原理．(重點(diǎn))2.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．(難點(diǎn))

目標(biāo)定位1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．目標(biāo)定位預(yù)習(xí)學(xué)案預(yù)習(xí)學(xué)案2ab

比較法分析法綜合法2ab比較法分析法綜合法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)_________時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)_________________________時(shí)命題成立，證明___________時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法．n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n＝k＋11．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件3．設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解釋?zhuān)?/p>

由凸多邊形性質(zhì)知多加了一條邊內(nèi)角和比原來(lái)多了π.答案：

π3．設(shè)凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件課堂學(xué)案課堂學(xué)案用數(shù)學(xué)歸納法證等式用數(shù)學(xué)歸納法證等式高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件 求證：二項(xiàng)式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[思路點(diǎn)撥]

由假設(shè)以x2k＋2為主進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k加上x(chóng)2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出n＝k的歸納假設(shè)，剩余部分仍能被x＋y整除．證整除問(wèn)題 求證：二項(xiàng)式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．證整[解題過(guò)程]

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，∴能被x＋y整除．(2)假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)，x2k－y2k能被x＋y整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，對(duì)任意的正整數(shù)n命題均成立．[解題過(guò)程](1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N＋都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．[思路點(diǎn)撥]利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”等變形技巧．2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然數(shù)m，解析：

f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1224，猜想能整除f(n)的最大整數(shù)是36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除．(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝36能被36整除；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，f(k)能被36整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，解析：f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數(shù)．∴18(3k－1－1)能被36整除，∴f(k＋1)能被36整除．由(1)(2)得f(n)能被36整除．由于f(1)＝36，故整除f(n)的最大整數(shù)是36.由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第4講1人教版課件3．在本例中，探究這n條直線(xiàn)互相分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)是多少？并加以證明．[思路點(diǎn)撥]利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律．3．在本例中，探究這n條直線(xiàn)互相分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)是多少解析：

n的最小值應(yīng)該為2，當(dāng)n＝2時(shí)，有4條射線(xiàn)，當(dāng)n＝3時(shí)，如圖有3條線(xiàn)段6條射線(xiàn)，共9條線(xiàn)段或射線(xiàn)．解析：n的最小值應(yīng)該為2，當(dāng)n＝4時(shí)，不妨取出一條直線(xiàn)l1，則剩余3條直線(xiàn)l2，l3，l4相互分割成9條線(xiàn)段或射線(xiàn)．而l1與l2，l3，l4有3個(gè)交點(diǎn)，這3個(gè)交點(diǎn)將l1分割為2條線(xiàn)段，2條射線(xiàn)．而l2，l3，l4上又各多出1個(gè)交點(diǎn)，因此l2，l3，l4又被這一交點(diǎn)多分割出一條線(xiàn)段或射線(xiàn)，∴多出4＋3＝7條．∴n＝4時(shí)，有16條．由此推測(cè)，n條直線(xiàn)相互分割成n2條射線(xiàn)或線(xiàn)段，設(shè)φ(n)＝n2(n≥2，且n∈N＋)．當(dāng)n＝4時(shí)，不妨取出一條直線(xiàn)l1，則剩余3條直線(xiàn)l2，l3，證明如下：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時(shí)，結(jié)論成立，φ(k)＝k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)有l(wèi)1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1條直線(xiàn)，滿(mǎn)足題設(shè)條件．不妨取出直線(xiàn)l1.證明如下：余下的k條直線(xiàn)l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k)＝k2條射線(xiàn)或線(xiàn)段．直線(xiàn)l1與這k條直線(xiàn)恰有k個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)l1被這k個(gè)交點(diǎn)分成