江蘇省揚(yáng)州市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

江蘇省揚(yáng)州市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷閱卷人一、單選題（共8題；共16分）得分L（2分）若全集U={1,2,3,4,5）.集合A={1,3}，B={2,3,4）.則An（Q8）=（ ）A.{3} B.{1} C.{5} D.{113}【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閁={1,2,3,4,5}.集合4={1,3}.B={2,3,4）.所以QB={1,5}.所以ACI（QB）={1}.故答案為：B.【分析】先利用補(bǔ)集的定義求出的8,再利用交集的定義求解即可得答案.（2分）己知aeR,貝『a>0”是"a2>1”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【解答】當(dāng)a=1時(shí)，滿(mǎn)足a>0,但不滿(mǎn)足a2>l；又當(dāng)a=-2時(shí)，滿(mǎn)足a?>1,但不滿(mǎn)足a>0.故“a>0”是“a?>1”的既不充分也不必要條件故答案為：D【分析】利用賦值法，結(jié)合充分條件、必要條件的定義可得答案.（2分）甲、乙分別從《揚(yáng)州民間藝術(shù)》、《揚(yáng)州鹽商文化》、《揚(yáng)州評(píng)話(huà)》和《大運(yùn)河的前世今生》4門(mén)課程中選修1門(mén)，且2人選修的課程不同，則不同的選法有（ ）種.A.6 B,8 C.12 D.16【答案】C【解析】【解答】甲、乙2位同學(xué)分別從4門(mén)課程中選修1門(mén)，且2人選修的課程不同，則有度=4x3=12種.

故答案為：C.【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算可得答案.（2分）如圖，平行六面體ABC。-A/iGDi的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且乙41A。=乙NAB=60°,44]=2,則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）D.2V3A.V6D.2V3【答案】B【解析】【解答】解：宿2=（荏+舐+西\=（通+而+初）2,=AB2+AD2+AA^2+2而?AD+2AB■標(biāo)+2XD?初，=14-l+4+2xlx2xcos60°+2x1x2xcos60",=10,所以AG=V10.故答案為：B【分析】先以6，AD,4京為基底表示空間向量后，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解出線(xiàn)段AQ的長(zhǎng).（2分）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):X24568y3040m5070已知y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程9=6.5%+以現(xiàn)有四個(gè)命題：甲：根據(jù)模型預(yù)測(cè)當(dāng)％=3時(shí)，y的估計(jì)值為35；乙：m=60；丙：這組數(shù)據(jù)的樣本中心為（5,50）;T：a=17.5.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【解答】兄=5,若zn=60,則y=50,數(shù)據(jù)的樣本中心為(5,50)則50=6.5x5+a,得a=17.5根據(jù)模型預(yù)測(cè)當(dāng)x=3時(shí)，y的估計(jì)值為37即乙丙丁為真命題，甲為假命題故答案為：A【分析】乙，丙命題同真假，由于只有一個(gè)假命題，即乙丙為真命題，再結(jié)合線(xiàn)性回歸方程的性質(zhì)，即可求解出答案.(2分)已知函數(shù)/(x)=/'(1)/+/,則/'(2)+/(2)=( )A.-12 B.12 C.-26 D.26【答案】A【解析】【解答】/(X)= +2x，故/(l)=3f'(l)x產(chǎn)+2又1，解得f(l)=一1，故/(%)=-x3+X2,/(%)=-3x2+2x故/''(2)4-f(2)=-8-4=-12故答案為：A【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出f(l),進(jìn)而求解出答案.(p-%xV0(2分)已知過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)/■(%)= _的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則該直線(xiàn)斜率的取值Unx,x>0范圍( )A.(-8,-e)U筋 B.{-e}U(0,1)1 1C?{-e,-} D.(-8,-e)U(0,-)【答案】B【解析】【解答】設(shè)過(guò)原點(diǎn)與/Xx)=Inx相切的于點(diǎn)Qi，InXi),f(x)=3則斜率為;，此切線(xiàn)方程為y—In%1=-%i),將原點(diǎn)帶入得Xi=e,即斜率為)當(dāng)斜率ke(0,J時(shí)函數(shù)f(x)與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)與/(#)=e~x[x<0)相切的于點(diǎn)(小，e~X2),f'(x)=-e-x>則斜率為一e-3，此切線(xiàn)方程為y-ef=-e-x^x-x2),將原點(diǎn)帶入得必=-1，即斜率為一e,當(dāng)斜率k=-e時(shí)函數(shù)f(x)與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，【分析】先利用導(dǎo)數(shù)作出函數(shù)f(x)的大致圖象，再將題意轉(zhuǎn)化為斜率k=-e時(shí)函數(shù)/(乃與過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合即可求得該直線(xiàn)斜率的取值范圍.(2分)托馬斯?貝葉斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式：P(4|B)=J俄俄鼠),這個(gè)公式被稱(chēng)為貝葉斯公式(貝葉斯定理)，其中％=iP(%)P(B|4)稱(chēng)為B的全概率.假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為( )TOC\o"1-5"\h\zA?務(wù) B.II C.1 D.|【答案】C【解析】【解答】設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為i個(gè)的事件為4,事件a的概率為p(4),從乙中取出2個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為B,事件B的概率為P(B),由題意：①P(4o)=-^=耳，P(B\A0) =c6 c6

②P(4)=②P(4)=r2r0l3c3c615;③m)二警j吶心智十根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為P(42|B)=17 P(42)P(BM2) 5X5 ,_ 6P(4o)P(B|4o)+P(4i)P(B|4i)+P(42)P(B|42)一“兼+：溫+抬P(42|B)=故答案為：C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為i個(gè)的事件為4,事件4的概率為P(4),從乙中取出2個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為B,事件B的概率為P(B),再分別分析i=0,1,2三種情況求解，即可得答案.閱卷人二、多選題(共4題；共8分)得分(2分)已知奇函數(shù)/(x)與偶函數(shù)g(x)的定義域、值域均為R,則( )A./'(x)+g(x)是奇函數(shù) B./(x)|g(x)|是奇函數(shù)C./(x)g(x)是偶函數(shù) D./(g(x))是偶函數(shù)【答案】B,D【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?(一x)+g(-x)=-/(x)+g(x)H/(%)+g(x)且/(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)U(x)+g(x)],所以/(x)+g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A不符合題意對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?(-x)|g(-x)|=-/(x)|g(x)|，所以/(x)|g(x)|是奇函數(shù)，B符合題意對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?'(-x)g(-x)=-/(x)g(x)"/(%)g(x),所以/(x)g(x)是奇函數(shù),不是偶函數(shù)，C不符合題意對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?(g(—x))=/(g(x)),所以f(g(x))是偶函數(shù)，D符合題意故答案為：BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.(2分)現(xiàn)有2名男同學(xué)與3名女同學(xué)排成一排，則( )A.女生甲不在排頭的排法總數(shù)為24

B.男女生相間的排法總數(shù)為12C.女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為48D.女生甲、乙不相鄰的排法總數(shù)為72【答案】B,C,D【解析】【解答】A.女生甲在排頭的排法有用，所以女生甲不在排頭的排法總數(shù)為電-川=96,故錯(cuò)誤；B.2名男同學(xué)全排列為曷種，產(chǎn)生3個(gè)空，再將3名女同學(xué)排上有再種，所以男女生相間的排法總數(shù)為曷曷=12,故正確;C.女生甲、乙相鄰看作一個(gè)元素，則屬種，女生甲、乙再排列有尾種，所以女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為屬度=48種,故正確；D.除女生甲、乙以外3人全排列有鳥(niǎo)種，產(chǎn)生4個(gè)空，再將女生甲、乙排上有屬種，所以女生甲、乙不相鄰的排法總數(shù)房房=72種，故正確故答案為：BCD【分析】利用排除法求解判斷A；利用插空法求解判斷B；利用捆綁法求解判斷C；利用插空法求解判斷D.（2分）已知正方體ABC。的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BDi、上異于8、內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）A.當(dāng)P是BQ】的中點(diǎn)時(shí)，異面直線(xiàn)AP與BC所成角的余弦值為孚B.當(dāng)P是8名的中點(diǎn)時(shí)，A、Bi、C、P四點(diǎn)共面C.當(dāng)AP||平面AiG。時(shí)，前=:西D.當(dāng)AP||平面4心。時(shí)，AP1BD1【答案】A,C,D【解析】【解答】對(duì)AB,當(dāng)P是BQ】的中點(diǎn)時(shí)，連接PQ,易得4,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn)，連接DQ，則異面直線(xiàn)AP與BC面直線(xiàn)AP與BC所成角即AG與4。所成角“MD,因?yàn)閏os/GAO=i=京A符合題意;此時(shí)顯然P平面AECD,故4、Bi、C、P四點(diǎn)不共面，B不符合題意;對(duì)CD,連接AC,AB1，/C,BD,由正方體的性質(zhì)可得AC||46，ABX||DCX,BXC||AXD,則平面AiOCiII平面481c.又AP||平面4傳1。，故P為與平面48也的交點(diǎn).7).7).又4coAC1DDV故4cl平面BO%HiAC1BD1,同理可得A&18%故做1平面AB1C,故B￡)i_L4P.D符合題意；故cos乙ABP= 所以BP=4B?盍=母，故8P=如1，C符合題意；故答案為：ACD【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，可得答案.(2分)若過(guò)點(diǎn)P(—l,t)最多可以作出n(nWN*)條直線(xiàn)與函數(shù)/(乃=晉的圖像相切，則()A.tn可以等于2022 B.n不可以等于3C.te+71>3.C.te+71>3D.71=1時(shí)，tG{0}U(-,4-00)【答案】A,D【解析】【解答】設(shè)過(guò)點(diǎn)P(-l,t)的直線(xiàn)與函數(shù)/(切=字的圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為(a,b),則6=a4-1因?yàn)?(")=整，%)=史喀甘=-今，所以切線(xiàn)方程為y—與早=—%(x—a),又P(—1,t)在切線(xiàn)上，所以"竽=一法(―1一辦整理得t=筆!，令g(a)=(嚕)2,則過(guò)點(diǎn)p(—i,t)的直線(xiàn)與函數(shù)/(X)=室的圖像相切的切線(xiàn)條數(shù)即為直線(xiàn)y=t2與曲線(xiàn)g(a)=(a+2的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)間'(a)=2(a+l)ea￡(a+l)e。_(a+l?a-1).令g'(a)=0,得a=±1,所以，當(dāng)a<—l時(shí)，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，當(dāng)一l<a<l時(shí)，g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a>l時(shí)，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，因?yàn)間(T)=o,g(i)=?g(0)=1，所以，函數(shù)g(a)的圖像大致如圖2由圖可知當(dāng)t<0時(shí)，直線(xiàn)y=t與曲線(xiàn)g(a)="L的圖像沒(méi)有公共點(diǎn)，即n=0,當(dāng)t=0或t>削寸，直線(xiàn)y=t與曲線(xiàn)。⑷;鋁工的圖像有1個(gè)公共點(diǎn)，即n=l,當(dāng)t=g時(shí)，直線(xiàn)y=t與曲線(xiàn)g(a)=絲騏的圖像有2個(gè)公共點(diǎn)，即般=2,當(dāng)0<t<：時(shí)，直線(xiàn)y=t與曲線(xiàn)g(a)=0t巽的圖像有3個(gè)公共點(diǎn)，即n=3,對(duì)于A,當(dāng)t=2022>士，此時(shí)n=l,則tn=2022符合題意，A符合題意；e對(duì)于B,當(dāng)Ovtv*時(shí)，n=3,B不符合題意；e對(duì)于C,當(dāng)t=0時(shí)，n=1,貝Ijte+n=lv3,C不符合題意；對(duì)于D,當(dāng)t=0或時(shí)，n=1,則當(dāng)n=l時(shí)，tG{0}U,+oo),D符合題意.故答案為：AD.【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)P(-l,t)的直線(xiàn)與函數(shù)/(幻=段的圖像相切時(shí)的切點(diǎn)為(a,b),利用導(dǎo)數(shù)的幾2 2何意義可得t=,構(gòu)造函數(shù)。(的;色護(hù)，進(jìn)而可得過(guò)點(diǎn)P(-l,t)的直線(xiàn)與函數(shù)f(x)=妥2的圖像相切的切線(xiàn)條數(shù)即為直線(xiàn)y=t與曲線(xiàn)g?)=絲護(hù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得n不同取值時(shí)t的取值，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得答案.閱卷入三、填空題(共4題；共4分)得分(1分)如果隨機(jī)變量X?N(100,a2),且P(90<X<100)=0.2,貝l」P(X>110)=.【答案】0.3【解析】【解答】因?yàn)殡S機(jī)變量X?N(100,a2).故P(X>110)=P(X<90)=P(X<100)-P(90<X<100)=0.5-0.2=0.3故答案為：0.3【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算，可得答案.(1分)已知元=(1,一1,1)是平面a的一個(gè)法向量，點(diǎn)A(l,1,0)在平面a內(nèi)，則點(diǎn)P(2,2,2)到平面a的距離為.【答案】|V3【解析】【解答】由題可得而=(1,1,2),又元=(1,—1,1)是平面a的一個(gè)法向量,...則點(diǎn)P到平面a的距離為||而|cos(存，n)|=端滬=’二苦=竽.故答案為：|V3.【分析】利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可得點(diǎn)P到平面a的距離.(1分)已知f(x)=號(hào),g(x)=2x+a,若對(duì)V/e[V2,b],Hx2E[1,2]，使得/(小)<g(%2)，則實(shí)數(shù)q的最小值為.【答案】/一4【解析】【解答】依題意可知/(X)maxWgCOmaxInx1—21nx/(x)=-y-=/(*)= 5 XL %15則/'(五)=0，當(dāng)夜Wx<超時(shí)，/(x)>0;當(dāng)便冉時(shí)，/(%)<0所以/(x)在［應(yīng)，孤)上單調(diào)遞增，在(五，6］上單調(diào)遞減1所以/(X)max=/(Ve)=五g(x)=2X+a在[1,2]上單調(diào)遞增，則g(x)max=g(2)=4+a所以*W4+a,所以a2—4>即a的最小值為表―4K匕 LtC X)V故答案為：/-4【分析】求導(dǎo)得/(%)=咨經(jīng)分析f(X)的正負(fù)，進(jìn)而可得f(X)單調(diào)性，進(jìn)而可得/(%)max=/(Ve)= 同理分析g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得g(x)max=9(2)=4+a,問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為+a,求解可得a的最小值.(1分)正四棱柱ABCD-aB1C1D1中，AAX=4,48=百，點(diǎn)N為側(cè)面BCC1當(dāng)上一動(dòng)點(diǎn)(不含邊界)，且滿(mǎn)足DiNJ.CN.記直線(xiàn)AN與平面BCQB1所成的角為。，則tan。的取值范圍為■【答案】(字)1)U(孚,+oo)【解析】【解答】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

則。1(0,0,4),C(0,V3,0),設(shè)N(x,V3,z).所以^W=(x,V3,z-4),CN=(x,0,z).因?yàn)镈iN1CN,所以77-CW=x2+z2-4z=0，則/=—z24-4z,因?yàn)?<x<貝！)0<—z2+4z<3,解得0<z<1或3<z<4,易知平面BCGBi的一個(gè)法向量為元=(0,1,0),所以sin。所以sin。=|%N?宿_iMHnlM+(z_4)2貝iJcosJ— ,tanJ——t^==>J-4z+19 2j-z+4+00),所以tan?=24+46+00),故答案為：(第，(亨，+00)-【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N(x,V3,z),由DiNJ.CN得到%2=-z2+4z,根據(jù)0<x(遍得到0<z<1或3<z<4,然后利用向量法求解出tan。的取值范圍.閱卷人四、解答題(共6題；共60分)得分(10分)設(shè)p：|2x+1|<3,q：x-(2a+l)<0.(5分)若a=1,且p、q均為真命題，求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合;(5分)若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）解：因?yàn)閜：-2<x<1,q：x-3<0,即x<3,所以p、q均為真命題，則取公共部分得實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合為｛x|-2<x<1｝；（2）解：因?yàn)閜是q的充分條件，且p：-2<x<1,q：x<2a+l,所以（—2,1）U（-oo,2a+1）?所以2a+1>1,解得a>0,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是［0,+00）.【解析】【分析】（1）先解絕對(duì)值不等式得到p：-2<x<l,再由p、q均為真命題，取公共部分得實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合；（2）由p是q的充分條件，得到（一2,1）c（-co,2a+1）,即可求解出實(shí)數(shù)a的取值范圍.（10分）已知（2d一三的展開(kāi)式中，.現(xiàn)在有以下三個(gè)條件：條件①：第4項(xiàng)和第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為12：1;條件②：只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：其前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于56.請(qǐng)?jiān)谏厦嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，并解答下列問(wèn)題：（5分）求展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；（5分）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）解：選條件①：因?yàn)榈?項(xiàng)和第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為12：1;所以喘：=12：1,即71（"”外2）:n=i2：1,即層-371-70=0,解得n=-7（舍）或n=10.所以展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和21°=1024；選條件②：因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；所以n為偶數(shù)，且￡=5,解得n=10.所以展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和21°=1024：選條件③：因?yàn)槠淝叭?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于56,所以以+以+力=56，即l+n+n(缶0=56,即小+n-110=0,所以n=-11(舍)或n=10.所以展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和21°=1024；~ , 110⑵解:由⑴二項(xiàng)式為(2/一分,其通項(xiàng)公式為：Tr+1==c^o-210-r-(-l)r-X2o-2r>令20—|r=0，解得r=8,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為79=C?o.22.(-1)8=180.【解析】【分析】(1)由題意，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，先求得n的值，從而得出展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)在二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的靠指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).(10分)甲、乙、丙進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：賽前抽簽決定先比賽的兩人，另一人輪空：每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有人累計(jì)勝兩場(chǎng)，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙先比賽，丙輪空.設(shè)比賽的場(chǎng)數(shù)為X,且每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為最(5分)求P(X=2)和P(X=3)；(5分)求X的標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】(1)解：X=2：甲勝乙，甲勝丙，結(jié)果甲勝；乙勝甲，乙勝丙，結(jié)果乙勝.11111P(X=2)=2X2"*~2X2=2;X=3：甲勝乙，丙勝甲，丙勝乙，結(jié)果丙勝；乙勝甲，丙勝乙，丙勝甲，結(jié)果丙勝./、1111111p(X=3)=1x|xi4-|xixi=i(2)解：根據(jù)題意可得X可能的取值為2,3,4.X=4：甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，甲勝乙，結(jié)果甲勝；甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，甲勝乙，結(jié)果甲勝；乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，乙勝甲，結(jié)果乙勝；P(X=4)=4x|x|x|x1=1.11111E(X)=2x抖3x*+4x/=?D(X)=2(5分)求證：SO1BC；(5分)若二面角E-AC—D(5分)求證：SO1BC；(5分)若二面角E-AC—D的余弦值為婆，求a的值.5【答案】(1)證明：在四棱錐S-ABCD中，△S4Z)是正三角形，。是AC的中點(diǎn)，貝USOJ.A。,又平面SA。1平面A8C。，平面S/Wn平面ABC。=AC,SOu平面SAC,則有S。1平面48m而B(niǎo)Cu平面4BCD,所以SO1BC.(2)解：取BC的中點(diǎn)M,連接OM,【解析】【分析】(1)分析X=2,X=3兩種情況下的勝負(fù)關(guān)系，再根據(jù)概率的公式計(jì)算即可；(2)分別求得X的可能取值及對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望與方差公式求解即可求得X的標(biāo)準(zhǔn)差.(10分)如圖，四棱錐S-4BCD的底面ABCD是直角梯形，RAB//CD,AD1DC,CD=2AB=4,AD=a,正三角形S4D所在平面與平面/BCD相互垂直，E、0分別為S。、4。的中點(diǎn).在直角梯形AECZ)中，ABHCD,0、M分別為A。、BC的中點(diǎn)，貝lj0M〃CC,又4。1OC,即有OMAD,由(1)知SO_L平面ABCD,又AD、OMu平面ABCD,則SOIAD,SO1OM.以。為原點(diǎn)，。4OM,OS所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則。(0,0,0),S(0,0,理a),A(^,0,0),D(-^,0,0),C(-§,4,0),E(~,0,Z Z Z Z 4彳a)，荏=(-等，0,空a),AC=(-a,4,0)，設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量m=(x,y,z),則產(chǎn)母=一彳x+彳az=0,令x=4,得完=(4,a,4代)，(Att?除=-ax+4y=0由⑴知，S。J?平面ABC。，則衣=(o,o,孚a)是平面ACC的一個(gè)法向量，l nOS6a 473COS(71,OS)= =~r ， =~「阿,|0S|際了單際標(biāo)4月角坐標(biāo)系，求出平面EAC的一個(gè)法向量和平面心的一個(gè)法向量，利用空間向量法可得訴竽，求解可得a的值.（10分）隨著科技的發(fā)展，看電子書(shū)刊的人越來(lái)越多在某市隨機(jī)選出20（）人進(jìn)行采訪(fǎng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中看電子書(shū)刊的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的J（假設(shè)被采訪(fǎng)者只給出“看電子書(shū)刊”或“看紙質(zhì)書(shū)刊”兩種結(jié)4果）.將這200人按年齡（單位：歲）分成五組：第1組［15,25），第2組［25,35）,第3組［35,45）,第4組［45,55），第5組（55,65］.這200人中看紙質(zhì)書(shū)刊的人的年齡的頻數(shù)分布表如下:年齡[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]頻數(shù)1522584213附參考公式:2/=(a+b)摞藍(lán)2)(b+d)(其中幾=。+力+c+出參考數(shù)據(jù):P(x2>X0)0.100.050.0250.010.0.0050.001X。2.7063.8415.024.6.6357.87910.828（1）（5分）年齡在［15,45）內(nèi)的稱(chēng)為青壯年，年齡在［45,65］內(nèi)的稱(chēng)為中老年.若選出的200入中看電子書(shū)刊的中老年有10人.①請(qǐng)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為看書(shū)刊的方式與年齡層有關(guān).看電子書(shū)刊看紙質(zhì)書(shū)刊合計(jì)青壯年中老年合計(jì)200②將頻率視為概率，現(xiàn)從該市所有青壯年和中老年人群中隨機(jī)采訪(fǎng)三人，求這三人中恰有兩人為中老年且看電子書(shū)刊的概率；（5分）該市倡議：書(shū)香戰(zhàn)“疫”，以“讀”攻毒，同時(shí)許多人呼吁“回歸紙質(zhì)書(shū)刊”該市現(xiàn)有報(bào)刊亭每天早上從報(bào)刊發(fā)行處購(gòu)進(jìn)某報(bào)紙后零售，且規(guī)定的零售價(jià)格是1.5元/份.若晚上報(bào)紙賣(mài)不完，則可再退回發(fā)行處，此時(shí)退回的價(jià)格是04元/份.有一報(bào)刊亭根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，每天的需求量及其概率情況如下:每天的需求量（單位：份）300400500600概率0.2報(bào)刊發(fā)行處每100份報(bào)紙為一包，并規(guī)定報(bào)刊亭只能整包購(gòu)進(jìn)，每包價(jià)格為100元.請(qǐng)為該報(bào)刊亭籌劃一下，應(yīng)該如何確定每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的包數(shù)X（3WXW6,且X6N*）,使得日收益丫的數(shù)學(xué)期望最大.【答案】（1）解：①填寫(xiě)2x2列聯(lián)表如下：看電子書(shū)刊看紙質(zhì)書(shū)刊合計(jì)青壯年4095135中老年1()5565合計(jì)5()150200假設(shè)Ho：看書(shū)刊的方式與年齡層沒(méi)有關(guān)系.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得2= 」(ad-兒)2 200(40x55-95x10)2x-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-135x65x150x50=200x502x(44-19)2=135x65x150x50200x502x252_200x25_5000：135x65x150x50=27x13x3=1053*4,/b，由于*2“4.75>3.841,且當(dāng)Ho成立時(shí)，P(j(2>3.841)?0.05,所以有95%的把握認(rèn)為看書(shū)刊方式與年齡層有關(guān).②隨機(jī)采訪(fǎng)的一人為中老年且看電子書(shū)刊的概率為黑=4，且每次采訪(fǎng)相互獨(dú)立，LU\J乙\J所以這三人中恰有兩人為中老年且看電子書(shū)刊的概率為P=第X(4)2X祭=贏.(2)解：X=3時(shí)，E(Y)=300x(1.5-1)=150(元)；X=4時(shí)，E(y)=400X0.5X(0.3+0.4+0,2)+[300X0.5-(1-0.4)X100]X0,1=189(元):X=5時(shí)，E(Y)=500x0.5x(0.4+0.2)+(400x0.5-100x0.6)x0.3+(300x0.5-200x0.6)x0.1=195(元)；X=6時(shí)，E(V)=600x0.5x0.2+(500x0.5-100x0.6)x0.4+(400x0.5-200x0.6)x0.3+(300x0.5-300x0.6)x0.1=157(元).綜上所述，當(dāng)x=5時(shí)，利潤(rùn)丫的數(shù)學(xué)期望最大.【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)列表計(jì)算，然后利用獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論；(2)分別求出X=3,X=4,X=5,X=6時(shí)，E(Y)的值比較，即可得結(jié)論.(10分)已知函數(shù)/(x)=2a/—xlnx,aER.(1)(5分)令9(乃=零1上，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(5分)若對(duì)于任意的xe(0,+00),/(%)+1W0恒成立，試探究f(x)是否存在極大值?若存在，求極大值點(diǎn)出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)解：由題可知，g(x)=2ax—Inx,xG(0,+oo)., 12ax—1g(x)=2a--= 若a<0,g'(x)<0,g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+oo),無(wú)增區(qū)間若a>0當(dāng)xC(0，4)，g'(x)<0當(dāng)xe(去，+oo),g，(x)>0所以g(x)的單遞減區(qū)間是(0,*)，單調(diào)增區(qū)間是(去，4-00)(2)解：因?yàn)閷?duì)于任意的xe(0,+oo),/(%)+1<0恒成立所以/(I)+、=2a+，40,所以a<0因?yàn)?(%)=4ax—(1+In%),記<p(x)=ff(x)則"'(x)=4q—]V0,所以f'(x)單調(diào)遞減又/(l)=4a-1<0,/(e4a-1)=4ae4a-1-4a=4a(e4a-1-1)>0所以存在XoC(e4a-i,1),使得/(Xo)=4aXo-(l+lnxo)=O，即a=里巴當(dāng)x€(0,x0),f'(x)>0,/(x)在(0，Xo)上單調(diào)遞增當(dāng)xG(x0-+8),f'(x)<0,/(x)在Qo，+8)上單調(diào)遞減所以當(dāng)x=x0時(shí)，/(X)取極大值令以X)=/(X)+!1 1 1則m(X)]max=[ZWlmax+￡=fM+-=2aM—0卜見(jiàn)+~

%0+%0ln%0

2-xo%0+%0ln%0

2-xolnxo+1+ln%0- 2 +14-ln%0對(duì)于任意的“e(o,+00),h(x)(o恒成立，所以①2鏟&+奇標(biāo)(。(*)(_1+1嘰又因°=書(shū)一，所以0<與<工所以化簡(jiǎn)不等式(*)，可得e-34xo4e3I%o>O e1 1 1又0VX。V］，所以了4％ov'所以極大值點(diǎn)與的取值范圍為⑹，1)【解析】【分析】(1)求出g(x),求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)