八年級(jí)數(shù)學(xué)-134-最短路徑問題課件

13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題1前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究“最短路徑問題”．創(chuàng)設(shè)情景引入課題前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線創(chuàng)設(shè)情景2BA有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在A、B兩個(gè)小區(qū)鋪設(shè)一條天然氣管線，怎樣鋪設(shè)才使得天然氣管線最短？合作交流探究新知你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BA有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在A、B兩個(gè)小區(qū)鋪設(shè)一條天然氣3活動(dòng)1：如果在A、B兩個(gè)小區(qū)之間有一條筆直的天然氣主管道，并且準(zhǔn)備在主管道上建一座天然氣供應(yīng)站，那么天然氣供應(yīng)站應(yīng)建在主管道的哪個(gè)地方，使A、B兩個(gè)小區(qū)到供應(yīng)站的距離最短？

AB合作交流探究新知C天然氣供應(yīng)站建在AB與主管道交點(diǎn)處活動(dòng)1：如果在A、B兩個(gè)小區(qū)之間有一條筆直的天然氣主管道4活動(dòng)2：如果還有一個(gè)B＇小區(qū)與A小區(qū)在主管道同側(cè)，并且B＇小區(qū)與B小區(qū)剛好關(guān)于主管道對(duì)稱，那么能否在主管道上找到一個(gè)點(diǎn)建一座天然氣供應(yīng)站C，使得A，B'兩小區(qū)到供應(yīng)站C距離之和剛好等于A，B兩小區(qū)之間的距離呢？為什么？合作交流探究新知ABB'活動(dòng)2：如果還有一個(gè)B＇小區(qū)與A小區(qū)在主管道同側(cè)，并且B5探究1：如果供氣站建在主管道的其他任意位置，那么A，B'兩小區(qū)到供氣站距離之和與A，B兩小區(qū)到供氣站距離之和是否還相等？合作交流探究新知還相等探究1：如果供氣站建在主管道的其他任意位置，那么A，B'兩小6證明:如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合),連接AC',BC',B'C'.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：BC=B'C,BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB,AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AC'B中,AC'+BC'>AB∴AC'+B'C'>AB,∴當(dāng)只有在C點(diǎn)位置時(shí),AC+BC最短.探究2：此時(shí)A，B'兩小區(qū)到供氣站距離之和與A，B兩小區(qū)之間距離有怎樣的關(guān)系？為什么？

合作交流探究新知B＇·lA·BCC′證明:如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合),連接A7探究3：在公路l同側(cè)有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在公路l旁修建一公交站C，要使公交站到兩小區(qū)的距離之和最短，試確定公交站C的位置。合作交流探究新知BAl探究3：在公路l同側(cè)有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在公路l旁修建一公8歸納新知因此,如果在直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)分別是點(diǎn)A,B,在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B距離和CA+CB最短,那么我們可以先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB’交直線l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求。作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．

B·lA·B′C歸納新知因此,如果在直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)分別是點(diǎn)A,B,在9歸納小結(jié)“最短路徑問題”(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點(diǎn),與直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示,點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).歸納小結(jié)“最短路徑問題”10歸納小結(jié)“最短路徑問題”(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn),則與該直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示,點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',則點(diǎn)C是直線l與AB'的交點(diǎn).歸納小結(jié)“最短路徑問題”11應(yīng)用新知解決問題1、如圖，直線L是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊，欲在L上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）？應(yīng)用新知解決問題1、如圖，直線L是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊，122、如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．應(yīng)用新知解決問題基本思路:由于兩點(diǎn)之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P,Q在直線BC的同側(cè),如何在BC上找到一點(diǎn)R,使PR與QR的和最小”.

2、如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游13活用新知拓展提高1、如圖，已知正方形ABCD，M是BC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，要使PM+PC的值最小，請(qǐng)確定P點(diǎn)的位置。2、如圖，已知菱形ABCD，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，要使PM+PN的值最小，請(qǐng)確定P點(diǎn)的位置?；钣眯轮卣固岣?、如圖，已知正方形ABCD，M是BC的中點(diǎn)14反思小結(jié)1、知識(shí)點(diǎn)：1）兩點(diǎn)之間，線段最短2）垂直平分線上的點(diǎn)到兩端的的距離相等2、思想方法：轉(zhuǎn)化思想

1）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將路程最短問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題2）應(yīng)用軸對(duì)稱性質(zhì)將直線同側(cè)兩點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)問題反思小結(jié)1、知識(shí)點(diǎn)：151.已知如圖，點(diǎn)A和兩條直線m和n，你能在直線m、n上分別找一點(diǎn)P、Q，使得AP+PQ+AQ的值最小嗎？

2.如果活動(dòng)1中的“一條筆直的天然氣主管道”變成“一條筆直的寬闊的河流”，并且準(zhǔn)備在河上建一座橋，那么橋建在河的何處才使A小區(qū)居民通過橋到B兩個(gè)小區(qū)路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)？作業(yè)布置AB1.已知如圖，點(diǎn)A和兩條直線m和n，你能在直線m、n上分別找1613.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題17前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究“最短路徑問題”．創(chuàng)設(shè)情景引入課題前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線創(chuàng)設(shè)情景18BA有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在A、B兩個(gè)小區(qū)鋪設(shè)一條天然氣管線，怎樣鋪設(shè)才使得天然氣管線最短？合作交流探究新知你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？BA有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在A、B兩個(gè)小區(qū)鋪設(shè)一條天然氣19活動(dòng)1：如果在A、B兩個(gè)小區(qū)之間有一條筆直的天然氣主管道，并且準(zhǔn)備在主管道上建一座天然氣供應(yīng)站，那么天然氣供應(yīng)站應(yīng)建在主管道的哪個(gè)地方，使A、B兩個(gè)小區(qū)到供應(yīng)站的距離最短？

AB合作交流探究新知C天然氣供應(yīng)站建在AB與主管道交點(diǎn)處活動(dòng)1：如果在A、B兩個(gè)小區(qū)之間有一條筆直的天然氣主管道20活動(dòng)2：如果還有一個(gè)B＇小區(qū)與A小區(qū)在主管道同側(cè)，并且B＇小區(qū)與B小區(qū)剛好關(guān)于主管道對(duì)稱，那么能否在主管道上找到一個(gè)點(diǎn)建一座天然氣供應(yīng)站C，使得A，B'兩小區(qū)到供應(yīng)站C距離之和剛好等于A，B兩小區(qū)之間的距離呢？為什么？合作交流探究新知ABB'活動(dòng)2：如果還有一個(gè)B＇小區(qū)與A小區(qū)在主管道同側(cè)，并且B21探究1：如果供氣站建在主管道的其他任意位置，那么A，B'兩小區(qū)到供氣站距離之和與A，B兩小區(qū)到供氣站距離之和是否還相等？合作交流探究新知還相等探究1：如果供氣站建在主管道的其他任意位置，那么A，B'兩小22證明:如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合),連接AC',BC',B'C'.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：BC=B'C,BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB,AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AC'B中,AC'+BC'>AB∴AC'+B'C'>AB,∴當(dāng)只有在C點(diǎn)位置時(shí),AC+BC最短.探究2：此時(shí)A，B'兩小區(qū)到供氣站距離之和與A，B兩小區(qū)之間距離有怎樣的關(guān)系？為什么？

合作交流探究新知B＇·lA·BCC′證明:如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合),連接A23探究3：在公路l同側(cè)有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在公路l旁修建一公交站C，要使公交站到兩小區(qū)的距離之和最短，試確定公交站C的位置。合作交流探究新知BAl探究3：在公路l同側(cè)有A、B兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要在公路l旁修建一公24歸納新知因此,如果在直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)分別是點(diǎn)A,B,在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B距離和CA+CB最短,那么我們可以先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB’交直線l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求。作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．

B·lA·B′C歸納新知因此,如果在直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)分別是點(diǎn)A,B,在25歸納小結(jié)“最短路徑問題”(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點(diǎn),與直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示,點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).歸納小結(jié)“最短路徑問題”26歸納小結(jié)“最短路徑問題”(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn),則與該直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示,點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',則點(diǎn)C是直線l與AB'的交點(diǎn).歸納小結(jié)“最短路徑問題”27應(yīng)用新知解決問題1、如圖，直線L是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊，欲在L上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）？應(yīng)用新知解決問題1、如圖，直線L是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊，282、如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．應(yīng)用新知解決問題基本思路:由于兩點(diǎn)之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P,Q在直線BC的同側(cè),如何在BC上找到一點(diǎn)R,使PR與QR的和最小”.

2、如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游29活用新知拓展提高1、如圖，已知正方形ABCD，M是BC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，要使PM+PC的值最小，請(qǐng)確定P點(diǎn)的位置。2、如圖，已知菱形ABCD，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，要使PM+PN的值最小，請(qǐng)確定P點(diǎn)的位置?；钣眯轮卣固岣?、如圖，已知正方形ABCD，M是BC的中點(diǎn)30反思小結(jié)1、知識(shí)點(diǎn)：1）兩點(diǎn)之間，線段最短2）垂直平分線上的點(diǎn)到兩端的的距離相等2、思想方法：轉(zhuǎn)化思想

1）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將路程最短問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題