【浙教版】2017年秋八年級(jí)上《第2章特殊三角形》單元試卷含答案

第2章一、選擇題(每小題3分，共30分)1下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是(A)下列四組線段能構(gòu)成直角三角形的是(D)A.a=l,b=2,c=3B?a=2,b=3,c=4C?a=2,b=4,c=5D?a=3,b=4,c=5有下列命題：①同位角相等，兩直線平行；②全等三角形的周長(zhǎng)相等；③直角都相等；④等邊對(duì)等角.其中逆命題是真命題的有(B)A.l個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)如圖，AB〃CD,AD=CD,Z1=70°，則Z2的度數(shù)是(C)A．20°B．35°C.40°D.70°(第4(第4題)5.如圖，已知D為“ABC的邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，將△ABC沿著DE折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處.若ZB=65°，則ZBDF等于(B)A.65°B.50°C.60°D.57.5°【解】?「△DEF是ADEA沿直線DE翻折變換而來(lái)的,???DF二AD.??D是AB的中點(diǎn),「.AD二BDJ.BD二DF.

AZB二ZBFD.??NB二65°,???ZBDF二180°-ZB-ZBFD二180°-65°-65°二50°.（第（第6題）6.如圖，已知OP平分ZAOB,ZAOB=60°,CP=2,CFIIOA,PD丄OA于點(diǎn)D,PE丄OB于點(diǎn)E.如果M是OP的中點(diǎn)，那么DM的長(zhǎng)是(C)A.2B.邁C.遠(yuǎn)D.A'37?如圖，所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，已知S1=4,S2=9,S3=8,84=10，則S=(B)A.25B.31C.32D.40C.32D.40s,（第7題））如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30。，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于￡mN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是(D)①AD是ZBAC的平分線；②ZADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④SDAC:SABC△DAC△ABC=1:3.A.1B.2C.3D.4（第（第9題）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，/ECF的度數(shù)為(C)A.20°B.25°C.30°D.45°(第9題解)【解】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EM//BC,交AB于點(diǎn)M,則ZAME=ZB，ZAEM二ZACB.???△ABC是等邊三角形，???ZB二ZACB二60。，AB=AC=BC=4.???ZAME二ZAEM二60°.???AM二AE二2.?BM=AB-AM=2.?AD是BC邊上的中線，「.AD丄BC.?EMIIBC,?AD丄EM.?點(diǎn)E和點(diǎn)M關(guān)于AD對(duì)稱.連結(jié)CM交AD于點(diǎn)F,連結(jié)EF,則此時(shí)EF+CF的值最小.?AC二BC,AM=BM,?ZECF二2ZACB二30°.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD,CE丄AB于點(diǎn)E,ZADC+ZABC=180°，有下列結(jié)論：①D=CB；②AD+AB=2AE；③ZACD=ZBCE；④AB—AD=2BE.其中正確的是(C)A.②B.①②③C.①②④D.①②③④【解】如解圖，在EA上取點(diǎn)F,使EF二BE,連結(jié)CF.???CE^AB,EF二BE,^CF=CB,^ZCFB=ZB.??NAFC+ZCFB二180°,ZADC+ZABC=180°,AZD=ZAFC.?AC平分/BAD,???ZDAC二ZFAC./D二/AFC,在AACD和AACF中,?|ZDAC二/FAC,IaC二AC,?△ACD^^ACF(AAS).?AD=AF,CD=CF.^CD=CB,故①正確.AD+AB=AF+(BE+AE)=AF+EF+AE=AE+AE=2AE,故②正確.根據(jù)已知條件無(wú)法證明/ACD=/BCE,故③錯(cuò)誤．AB-AD=AB-AF=BF=2BE,故④正確.綜上所述,正確的是①②④.二、填空題(每小題3分,共30分)11.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是中線.若/B=60°，則/BAD=30°.

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC邊上的高AD是8cm.如圖，在△ABC中，ZC=31°,ZABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,如果DE垂直平分BC,那么ZA=87°.如圖，△ABC的三邊AB,BC,CA的長(zhǎng)分別為40,50,60,其三條角平分線交于點(diǎn)。，則SAABO:f:Sacao=4：5：6-如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AC=AD=DB,ZBAC=102°，則ZADC=52°.【解】^AC=AD=DB,???ZB二/BAD,ZADC二ZC.設(shè)ZADC二a,貝g/B=ZBAD=a.2??NBAC二102°,「.ZDAC二102°-a2?■:ZADC+ZC+ZDAC二180°,???2a+102°-a=180。，2解得a二52°,即ZADC二52°.16.如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是21,BO,CO分別平分ZABC和ZACB,OD丄BC,63垂足為D,且OD=3，則△ABC的面積是了.

【解】如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OE丄AB,OF±AC,垂足分別為E,F,連結(jié)OA,由角平分線的性質(zhì)知OD=OE=OF,??QABc二S^aob+Loe+S^oc二2aB?OE+1BCOD+如。OF二1(AB+BC+AC)-ODX21X21X3二632-17.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值【解】過(guò)點(diǎn)A作AD丄BC于點(diǎn)D,如解圖.TAB二AC二5,BC二6,???BD二3???BD二3,/.AD二、：AB2-BD2二4.易得當(dāng)BP±AC時(shí)，BP有最小值.此時(shí)1AD?BC二*BP.AC,得4得4X6二5BP,.?.BP二245-18.如圖是兩塊完全一樣的含30°角的直角三角尺，分別記做AABC與△ABC,現(xiàn)將兩塊三角尺重疊在一起，設(shè)較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)為M,繞中點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)上面的三角尺ABC,使其直角頂點(diǎn)C恰好落在三角尺ABC的斜邊AB上.當(dāng)ZA=30°,AC=10時(shí)，兩直角頂點(diǎn)C,C間的距離是_5__.

【解】如解圖，連結(jié)CC?:M是AC,AC的中點(diǎn)，AC=A'C'=10,^CM=A'M=C'M=1AC=5,2???ZA'CM二ZA『二30°,???ZCMC二60°.???△MCC'為等邊三角形.???CC二CM二5.（第（第19題）19.按如圖所示的方式作正方形和等腰直角三角形.若第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)AB=1,第一個(gè)正方形與第一個(gè)等腰直角三角形的面積和為耳，第二個(gè)正方形與第二個(gè)等腰直角三角形的面積和為S2……則第n個(gè)正方形與第n個(gè)等腰直角三角形的面積和S=丄.2n2"+1【解】J第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為二第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(￥)二??第n??第n個(gè)正方形的面積為(亨廠12_12n－1第n個(gè)等腰直角三角形的面積為丄X1二丄2n－142n+1??第n個(gè)正方形與第n個(gè)等腰直角三角形的面積和S二丄+丄二」（第20題）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZABC=60°,D是BC邊上的點(diǎn)，CD=1,將AACD沿直線AD翻折，點(diǎn)C剛好落在AB邊上的點(diǎn)E處.若P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是1+3【解】???將AACD沿直線AD翻折，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，.?.ZAED二ZACD二90°,ED二CD二1.易得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，"EB的周長(zhǎng)最小，最小值為BD+ED+EB.???上ABC二60°,ZDEB二90°,BDE二30°,.BD二2BE.設(shè)BE二x,貝QBD二2x.由勾股定理，得12+x2=（2x）2,解得x=￥，即BE^3.:,BD=233..BD+ED+EB二1+辭,即APEB的周長(zhǎng)的最小值是1+品.三、解答題（共40分）（6分）如圖，已知AB=AC=AD,且AD〃BC,求證：ZC=2ZD.（第21題）【解】TAB二AC二AD,.ZC二ZABC,ZD二ZABD..ZABC=ZCBD+ZD.

???ADIIBC,AZCBD二ZD.Z.ZABC二2ZD.又^ZC=ZABC,AZC=2ZD.（第22（第22題）(6分)如圖，△ABC為等邊三角形，DE丄BC,EF丄AC,FD丄AB,垂足分別為E,F,D,則ADEF是等邊三角形嗎？說(shuō)明你的理由.【解】ADEF是等邊三角形.理由如下：TDE丄BC,EF丄AC,FD丄AB,△ABC為等邊三角形，???ZA二60°,ZADF二ZCFE二90°,.?.ZAFD二30°,?ZDFE二180。-30°-90°二60°.同理，ZFDE二ZDEF二60°.?△DEF是等邊三角形.(8分)如圖，OE平分ZAOB，且EC丄OA,ED丄OB,垂足分別是C,D,連結(jié)CD與OE交于點(diǎn)F.求證：Z1=Z2.求證：OE是線段CD的垂直平分線.若Z1=30°,OC=2，求AOCD與ACDE的面積之差.【解】(l)TOE平分ZAOB,EC丄OA,ED丄OB,???CE二DE,.?.,1二Z2.\OE=OE,⑵在R3OCE和R2ODE中，EC=ED,.?.R2OCE竺R3ODE(HL).???OC二OD.又JCE二DE,：.OE是線段CD的垂直平分線.(3)TZ1二30。，,OCE二90。，???ZOCD二60°.??OC二OD,???△OCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，?CD二OC二2,ZCOD二60。,?,COE=zdoe=|Zcod=30°,?OE二2CE.設(shè)CE=x,則OE=2x.由勾股定理，得(2x)2=X2+22,解得x二羊,即CE二學(xué)OE=433.VZ1=30°,ZEFC二90。,?EF二1CE二看,.OF二OE-EF二電,?S-S二丄.CDOF-1-CDEF二復(fù)OCDCDE2CDOF2CDEF324.(10分)已知△ABC和AADE是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=90°,F為BE的中點(diǎn),連結(jié)DF,CF.如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段DF,CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.如圖②，在(1)的條件下將AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，請(qǐng)你判斷此時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷.如圖③，在(1)的條件下將AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，若AD=1,AC=^；2,求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果).

解】(第24題)解】(1)TZACB二ZADE二90°,F為BE的中點(diǎn),.?.DF二BF二1be,CF二*E,「.DF二CF.???△ABC是等腰直角三角形，.ZABC二45°.??BF二DF,.ZDBF二ZBDF.?.NDFE二ZDBF+ZBDF,.ADFE=2ZDBF.同理，ACFE=2ZCBF,:.ADFE+ZCFE二2ZDBF+2ZCBF二2,ABC二90°,.DF丄CF.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立．證明：如解圖①，延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G.?NADE二ZACB二90°,.DEIIBC.???ZDEF二ZGBF,ZEDF二ZBGF.?F為BE的中點(diǎn),.EF二BF.???△DEFWGBF(AAS).：?DE二GB,DF=GF.?AD二DE,.AD二GB.?AC=BC,.AC-AD=BC-GB,即DC二GC.??NACB二90°,???△DCG是等腰直角三角形.?DF二GF,.DF=CF,DF丄CF.(第24題解)⑶如解圖②，延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H.???△ABC和AADE是等腰直角三角形，:.AC=BC,AD=DE,ZAED=ZABC=45°.由旋轉(zhuǎn)可知ZCAE=ZBAD=ZACB=90°,：?AE//BC,.\ZAEB=ZCBE,AZDEF=ZHBF.F是BE的中點(diǎn)，???EF=BF.又VZDFE=ZHFB,/.△DEF^AHBF(ASA).???ED=BH.VBC=AC=^'2,ZACB=90°,AAB=4.?:BH=ED=AD=1,?AH=3.ZBAD=90。，???DH=帀,25．(10分)問(wèn)題探究：如圖①，在銳角△ABC中，分別以AB,AC為邊向外作等腰AABE和等腰AACD,使AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD，連結(jié)BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.深入探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7,BC=3,ZABC=ZACD=ZADC=45°，求BD的長(zhǎng).如圖③，在(2)的條件下，當(dāng)AACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長(zhǎng).(第25題)【解】⑴BD二CE理由如下：?.NBAE二ZCAD,AZBAE+ZBAC二ZCAD+ZBAC,即ZEAC二ZBAD.AE二AB,在AEAC和ABAD中，vlZEAC二/BAD,(AC二AD,???△EACWBAD(SAS)..?.BD二CE.⑵如解圖①，在AABC的外部作等腰直角三角形BAE,使ZBAE二90°,AE=AB,連結(jié)EA,EB,EC.??NACD二ZADC二45°,?AC二AD,ZCAD=90°,?ZBAE+ZBAC=/CAD+/BAC,即ZEAC二ZBAD.AE=AB,在AEAC和ABAD中，vlZEAC二/BAD,^AC=AD,???△EACMBAD(SAS).???EC二BD.vAE二AB二7,「.BE二-J72+72二7冷2易知/ABE=45°,又T/ABC二45°,???/CBE二45°+45°二90°.?EC=、JBE2+BC2=^1'(^2)2+32二“..