數(shù)項級數(shù)的概念與基本性質(zhì)

8.1數(shù)項級數(shù)的概念與基本性質(zhì)教學(xué)目的理解級數(shù)的概念和基本性質(zhì)教學(xué)重點級數(shù)的基本性質(zhì)，收斂的必要條件，幾何級數(shù)教學(xué)難點有窮項相加與無窮項相加的差異教學(xué)過程導(dǎo)入以前我們學(xué)習(xí)的加法是將有限個數(shù)相加，這種加法易于計算但無法滿足應(yīng)用的需要.在許多技術(shù)問題中常要求我們將無窮多個數(shù)相加，這種加法叫做無窮級數(shù).無窮級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具.無窮級數(shù)分為常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)，常數(shù)項級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)的特殊情況，是函數(shù)項級數(shù)的基礎(chǔ).講授新課2.1常數(shù)項級數(shù)的概念定義8.1設(shè)給定數(shù)列｛氣｝，我們把形如a.+a++a+—=￡an=1(8.1.1)的式子稱為一個無窮級數(shù)，簡稱級數(shù).其中第n項?！ǚQ為級數(shù)Ea”的通項（或一般項）.n=1如果級數(shù)中的每一項都是常數(shù)，我們稱此級數(shù)為數(shù)項級數(shù).例如，等差數(shù)列各項的和a+(a+d)+(a+2d)+???+[a+(n—1)d]+???稱為算術(shù)級數(shù).等比數(shù)列各項的和稱為等比級數(shù)，a+aq+aq2++aqn—1+—111也稱為幾何級數(shù).級數(shù)Y1111^^—=1++—+n23n=1稱為調(diào)和級數(shù).級數(shù)（8.1.1）的前n項和為:k=1稱Sn為級數(shù)工an的前n項部分和，簡稱部分和.n=12.2常數(shù)項級數(shù)收斂與發(fā)散定義8.2若級數(shù)(8.1.1)的部分和數(shù)列｛%｝的極限存在，即limS=S(常數(shù))ns則稱極限S為無窮級數(shù)工a的和.記作nn=1S=切a=ai+a2+…+a+n=1此時稱級數(shù)工a收斂；如果數(shù)列｛S｝沒有極限，則稱級數(shù)工a發(fā)散，這時級數(shù)沒有和.nnnn=1n=1顯然，當(dāng)級數(shù)收斂時，其部分和Sn是級數(shù)和S的近似值，它們之間的差r=S—S=a+a+叫做級數(shù)的余項.用近似值Sn代替S所產(chǎn)生的誤差是這個余項的絕對值，即誤差為Ir「.例1討論幾何級數(shù)工aqn—i=a+aq+aq2++aqn+—n=1的斂散性，其中a豐0，q是公比.結(jié)論：幾何級數(shù)工aqn-1，當(dāng)Iq\<1時收斂，且工aqn-1=—；IqI>1時發(fā)散.1—qn=1n=1例2判別無窮級數(shù)^—^7=二+上+…+丁^+…的斂散性.

n(n+1)1-22-3n(n+1)例2n=1例3證明級數(shù)工n=1+2+3HHn+—發(fā)散.n=12.3收斂級數(shù)的基本性質(zhì)￡b=b，則級數(shù)工(a土b)=s±b.=1=1性質(zhì)8.2若￡a”收斂M為非零常數(shù)，則級數(shù)￡kan也收斂，且有￡ka”性質(zhì)8.2性質(zhì)8.3若級數(shù)工氣收斂，則lim七=0.1nsn=1性質(zhì)8.3表明，lim七=0是級數(shù)收斂的必要條件.因此，如果級數(shù)的通項不趨于0，ns則該級數(shù)一定發(fā)散；若該級數(shù)的通項趨于0，則該級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.例4已知級數(shù)為123nTOC\o"1-5"\h\z—+—+—+?..+卜??.，3572n+1討論其斂散性.注意：性質(zhì)8.3只是級數(shù)收斂的必要條件，并非充分條件.例如調(diào)和級數(shù)911111—=1H1F?…HF?…\o"CurrentDocument"n23nn=1a=—，

nn3.小結(jié)lim七=lim1=0，但它是發(fā)散的.nsnnsn3.1無窮級數(shù)工u=u+u+u+…+u+…其中u叫通項.n123nnn=a=—，

nn3.小結(jié)3.2部分和sn=9ukk=1當(dāng)lims廣s存在時級數(shù)收斂，ns否則發(fā)散.3.3四條基本性質(zhì)：性質(zhì)1-4.3.4收斂的必要條件.4.布置習(xí)題（略）8.2正項級數(shù)及其審斂法教學(xué)目的理解正項級數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)重點正項級數(shù)的各種審斂法，幾何級數(shù)與P-級數(shù)教學(xué)難點比較判別法教學(xué)過程復(fù)習(xí)1.1問題⑴級數(shù)就是無窮多項相加嗎？⑵級數(shù)收斂的必要條件？⑶算術(shù)級數(shù)、等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)的斂散性1.2講解作業(yè)講授新課級數(shù)的問題，首先是斂散性問題.一般來說，根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義、性質(zhì)只能判別出少數(shù)級數(shù)的斂散性，因此還必須建立其他的判別法.下面將分別給出正項級數(shù)、任意項級數(shù)的斂散性判別法.首先，來研究正項級數(shù)及其斂散性的判別法.2.1正項級數(shù)的定義定義8.3若數(shù)項級數(shù)工氣的一般項匕>0(n=1,2,…)，則稱數(shù)項級數(shù)工氣為正n=1n=1項級數(shù).正項級數(shù)是很重要的一類數(shù)項級數(shù)，下面我們給出兩種常用的判定正項級數(shù)收斂或發(fā)散的法則，這些法則都給出了級數(shù)收斂的充分條件.2.2比較判別法定理8.K比較判別法)設(shè)工u和工V是兩個正項級數(shù)，若u<CV(n=1,2,;n=1n=1c為大于零的常數(shù))則??.(1)當(dāng)工V收斂時，nn=1工u也收斂；nn=1(2)當(dāng)工氣發(fā)散時，n=1工Vn也發(fā)散.n=1注意：定理8.1告訴我們：只需與已知斂散性的正項級數(shù)作比較，便可判定正項級數(shù)的斂散性.通常我們選用幾何級數(shù)和下面的〃-級數(shù)作為判定正項級數(shù)斂散性的比較對象.級數(shù)1+—+—+…+—+…(常數(shù)p>0)2p3pnp稱為p-級數(shù)，p-級數(shù)當(dāng)p<1時發(fā)散，當(dāng)p>1時收斂(證明從略).調(diào)和級數(shù)即為p=1時的情形.例5判定下列級數(shù)的斂散性:，、亍1，、亍1乙一;=;(2)乙—.vnnnn=1n=12.3比值判別法比較審斂法是通過與某個已知斂散性的級數(shù)比較對應(yīng)項的大小，來判斷給定級數(shù)的斂散性，但有時不易找到作為比較對象的已知級數(shù)，這就提出了一個問題，能否從級數(shù)本身直接判別級數(shù)的收斂性呢？達朗貝爾找到了比值審斂法.定理8.2（比值判別法，又稱達朗貝爾判別法）若正項級數(shù)￡un（un>0）的后項n=1與前項之比值的極限等于p,即ulim-^+1=p,n—3Un則（1）pV1時，級數(shù)收斂；（2）p>1（或p=8）時，級數(shù)發(fā)散；（3）p=1時，不能判斷級數(shù)的斂散性.例6判別下列級數(shù)的斂散性：TOC\o"1-5"\h\z⑴￡生；⑵￡主.2nnnn=1n=14課堂練習(xí)⑴利用比較判別法，判斷下列級數(shù)的斂散性：?111?23n\o"CurrentDocument"①1+—+—+—+…；②1++—+…++….357352n-1⑵利用比值判別法，判斷下列級數(shù)的斂散性：宇n2宇1①￡廠；?￡二.3nn!\o"CurrentDocument"n=1n=1小結(jié)⑴正項級數(shù)的概念；⑵比較審斂法、比值審斂法布置習(xí)題（略）8.3任意項級數(shù)及其審斂法教學(xué)目的理解變號級數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)重點交錯級數(shù)的審斂法，絕對收斂與條件收斂教學(xué)難點絕對收斂與條件收斂教學(xué)過程

復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)正項級數(shù)比較審斂法、比值審斂法講授新課2.1絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)設(shè)"〃(n=1,2,3,,。為任意實數(shù)，則級數(shù)E氣稱為任意項級數(shù).=1為了判定任意項級數(shù)切為了判定任意項級數(shù)切u的收斂性n=1通常先考察其各項的絕對值組成的正項級數(shù)Eu|的收斂性.nn=1定理8.3若絕對值級數(shù)工|定理8.3若絕對值級數(shù)工|n=1I收斂則級數(shù)工u必定收斂.nn=1因此定理8.3使得一大類級數(shù)的收斂性問題轉(zhuǎn)化為正則稱原級數(shù)工就”絕對收斂.若級數(shù)因此定理8.3使得一大類級數(shù)的收斂性問題轉(zhuǎn)化為正則稱原級數(shù)工就”絕對收斂.若級數(shù)工|unI發(fā)散，而

n=1n=1n=1項級數(shù)的收斂性問題.定義8.4若級數(shù)工IunI收斂:n=1級數(shù)工u收斂，則稱級數(shù)工u為條件收斂.n=1nn=1n8an(a為任意常數(shù))的斂散性.例7判斷級數(shù)E-n!(a為任意常數(shù))的斂散性.n=1注意：定理8.3的逆定理并不成立.即絕對收斂的級數(shù)一定收斂，但收斂級數(shù)卻不一定絕對收斂.2.2交錯級數(shù)及其審斂法定義8.5若級數(shù)的各項符號正負相間，即u—u+u—u+=￡(―1)n+1u，1234nn=1—u+u—u-\=￡(―1)nu,n=1則稱此級數(shù)為交錯級數(shù)，其中un>0(n=1,2,…).由于級數(shù)工(―1)nun=—S(―1)n+1"n，所以下面只討論工(—1)n+1"n的斂散性.n=1n=1n=1定理8.4(萊布尼茲判別法)若交錯級數(shù)￡(—1)n+1"n,un>0，n=1,2,，滿足條件：u>u條件：u>u,n=1,2,limu=0,nsn則級數(shù)E(-1)n+1'收斂，且其和S<u「

8(—1)n的斂散性.1u=n+1n+1，滿足例8判斷級數(shù)產(chǎn)n的斂散性.1u=n+1n+1，滿足解此交錯級數(shù)u=-,nn11(1)—>(n=1,2,)nn+1(2)limu=lim(—1)n—=,0,nsnnsn由萊布尼茲判別法知，級數(shù)收斂.又由于iuj=m』=1，而調(diào)和級數(shù)#1發(fā)散，故原n=1級數(shù)是條件收斂.此例也說明，定理8.3的逆定理不成立.小結(jié)⑴任意項級數(shù)的M判別法⑵絕對收斂與條件收斂⑶交錯級數(shù)與萊布尼茨判別法(另提行)布置習(xí)題(略)第6章7份第7章3份第8章6份第9章4份8.4冪級數(shù)及其收斂性教學(xué)目的理解幕級數(shù)的概念；求簡單幕級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間.教學(xué)重點幕級數(shù)的收斂性教學(xué)難點幕級數(shù)的收斂性教學(xué)過程導(dǎo)入上一節(jié)學(xué)習(xí)了常數(shù)項級數(shù)的概念及斂散性的判別方法，常數(shù)項級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)的特例，那么什么是函數(shù)項級數(shù)呢？講授新課2.1函數(shù)項級數(shù)的概念若給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列u(X)，u(X)，…，u(X)，…12n則由此函數(shù)列構(gòu)成的表達式芝u(X)=u(x)+u(x)++u(x)+(8.2.1)n12nn=1

稱為定義在I上的函數(shù)項級數(shù)，un3)稱為一般項或通項.對每一確定的點工eI，都對應(yīng)一個數(shù)項級數(shù)0￡u(x)=u(x)+u(x)++u(x)+(8.2.2)n01020n0n=1若數(shù)項級數(shù)(8.2.2)收斂，則稱x為函數(shù)項級數(shù)(8/2:1)的收斂點.?若數(shù)項級數(shù)(8.2.2)0發(fā)散，則稱x0為函數(shù)項級數(shù)(8.2.1)的發(fā)散點.函數(shù)項級數(shù)(8.2.1)的收斂點的全體稱為它的收斂域，發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域.對于收斂沖的任意一個數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)成為一個收斂域內(nèi)的數(shù)項級數(shù)，因此，有一個確定的和S(x).這樣，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是關(guān)于式的函數(shù)S(x)，通常稱S(x)S(x)=￡uS(x)=￡un(x).n=1將函數(shù)項級數(shù)的前n項和記作S〃(x)，則在收斂域上有l(wèi)imS〃(x)=S(x).n—8函數(shù)項級數(shù)中最簡單、最重要的一類，就是我們下面要討論的幕級數(shù).2.2幕級數(shù)及其收斂性定義8.6形如￡axn=a+ax+ax2++axn+(8.2.3)n012nn=0的級數(shù)稱為幕級數(shù)，其中a0，a］，?..，七，…稱為幕級數(shù)的系數(shù).對幕級數(shù)，我們首先要考慮的也是它的收斂性問題，首先介紹如下定理.定理8.5若limlns其中an,a是幕級數(shù)￡axn相鄰兩項的系數(shù)，則n+1nn=0其中an,⑴當(dāng)P=0時，幕級數(shù)￡axn在任何xe(-8,+8)處收斂;nn=0⑵當(dāng)p=+8時，幕級數(shù)￡axn僅在x=0收斂；nn=0內(nèi)收斂，在⑶當(dāng)P為不等于的常數(shù)時，幕級數(shù)￡axn在xenn=0內(nèi)收斂，在r1\_(1)xe-8,一U一,+8"p1Ip1內(nèi)發(fā)散.P主0時，令R=—，并規(guī)定：P=0時，R=+8；p=+8，R=0.R稱為幕級P數(shù)￡axn的收斂半徑；區(qū)間(-R,R)稱為幕級數(shù)的收斂區(qū)間.R為正常數(shù)時，幕級數(shù)在nn=0收斂區(qū)間的端點處x=±R可能收斂，也可能發(fā)散；|x|>R時，幕級數(shù)發(fā)散.如果收斂半徑R為正數(shù)，那么在求幕級數(shù)收斂域時，要注意考察端點處的斂散性，所得收斂域有四種：［-R,R］、(-R,R］、［-R,R)、(-R,R)，它們通常都稱為幕級數(shù)的收斂區(qū)間.

例1求冪級數(shù)黨(-1)n-1擋的收斂半徑與收斂區(qū)間.nn=1例2求冪級數(shù)芝\的收斂區(qū)間.n=18Xn例3求冪級數(shù)產(chǎn)二的收斂區(qū)間.n!n=0練一練求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間：⑴芝擋；⑵工n!xn.nn=1n=1小結(jié)⑴冪級數(shù)的概念；⑵收斂半徑R=lim土，收斂區(qū)間注意討論端點；nT8an+1布置習(xí)題(略)8.5幕級數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的理解幕級數(shù)的性質(zhì)，會幕級數(shù)的主要運算.教學(xué)重點幕級數(shù)的4條性質(zhì)(包括在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和逐項積分).教學(xué)難點收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和逐項積分.教學(xué)過程復(fù)習(xí)1.1幕級數(shù)的概念.1.2收斂半徑R1.2收斂半徑R=limnT8anan+1，收斂區(qū)間討論端點.2.講授新課2.1幕級數(shù)的性質(zhì)TOC\o"1-5"\h\z性質(zhì)8.4若幕級數(shù)工anxn與工bxn的收斂半徑分別為R］和R2，則n=0n=0￡axn+2Lbxn=2L(a+b)xn的收斂半徑等于R和R中的較小的一個.nnnn12n=0n=0n=0

性質(zhì)8.5設(shè)冪級數(shù)Eaxn的收斂半徑為R(R>0)，則其和函數(shù)S性質(zhì)8.5設(shè)冪級數(shù)Eaxn的收斂半徑為R(R>0)，則其和函數(shù)S(x)=Y

n

n=0aXn在n=0性質(zhì)8.6設(shè)冪級數(shù)工axn的收斂半徑為R(R>0)，則其和函數(shù)S(x)在(—R,R)內(nèi)nn=0可導(dǎo)，且有逐項求導(dǎo)公式：S'(x)=(工axn)'=Enaxn—1，n=0n=0其中Ixl<R，且逐項求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)8.7設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R(R>0)，則其和函數(shù)S(x)在區(qū)間(—R,R)內(nèi)可積，且有逐項積分公式：fxS(x)dx=jx(Eaxn)dx=^Efxaxndx=￡axn+1，

00n=0nn=00nn=0"+1其中Ixl<R，且逐項積分后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑.2.2利用性質(zhì)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間和和函數(shù)例4求冪級數(shù)Enxn-1的收斂區(qū)間及和函數(shù).n=1=1,收斂半徑R=-=1,又x=±1時，所得的級數(shù)p解p=limI^n+11=lim"+'nsa=1,收斂半徑R=-=1,又x=±1時，所得的級數(shù)p設(shè)和函數(shù)s(x)=Enxn-1，由性質(zhì)8.7n=1,xe(—1,1),1一xfxS(x)dx=fx(Enxn—1)dx=Efxnxn—1dx=,xe(—1,1),1一xTOC\o"1-5"\h\z000n=1n=1兩邊對x求導(dǎo)得s(x)=(「土)'='1—x(1—x)2n=n=1Xe(—1,1).⑴求冪級數(shù)E=的和函數(shù).n+1n=0Exn+17n+1n=0兩端求導(dǎo)，并注意到1=1+x+x2+???+xn+???,xe(—1,1)1—x可得S'(x)=E(W)'=Exn=上

n=0n=0上式兩端從0到x積分，得，、—1…5(x)-s(0)=jxdx=-ln(1-x),xe(-1,1).01-x由于，0「5=-1時,專收斂，所以Exn+1_——=-ln(1-x)xe[-1,1).n+1n=0⑵求冪級數(shù)￡(-1)n—-的和函數(shù)，并求級數(shù)芝(-1)n1的和.2n+12n+1n=0n=0解略小結(jié)冪級數(shù)的性質(zhì)，特別是逐項微分和逐項積分性質(zhì).布置習(xí)題(略)8.6函數(shù)展開成幕級數(shù)教學(xué)目的函數(shù)能展開為幕級數(shù)的條件；泰勒級數(shù)的概念.5個重要的初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式及它們的收斂區(qū)間；將簡單的初等函數(shù)展開為x的幕級數(shù).教學(xué)重點函數(shù)展開成泰勒級數(shù)；間接展開法.教學(xué)難點函數(shù)展開成泰勒級數(shù).教學(xué)過程導(dǎo)入前面討論了幕級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的求法，但在實際問題中往往會提出相反的問題：對于已知函數(shù)f(x),能否用幕級數(shù)來表示？下面將討論這個問題.講授新課2.1泰勒級數(shù)⑴泰勒展開式若函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對此鄰域內(nèi)任意x有f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f"(x—x)2+0002!0TOC\o"1-5"\h\z+fn)G0)G-x)+礦呷G-x扁.(8.3.1)n!0偵+1J.0稱(8.3.1)為f(x)的泰勒展開式或泰勒公式，其中&在xo,x之間，且R(x)=fhl^G-x)+1

n(n+1).0稱為f(x)的n階泰勒余項.f(x)-f(x)+ff(x)(x—x)+f"(x—x)2+???+f(n)(%)(x—x)n.(8.3.2)0002!0n!0在泰勒展開式中，當(dāng)x0=0時，記&=0x,0<9<1,公式(8.3.1)成為A)f70)f(n)(0)f(n+1)(9x)f(x)=f(0)+f(0)x+^—~x2+…+xn+%「xn+1(8.3.3)2!n!(n+1).稱(8.3.3)為f(x)的麥克勞林展開式.⑵泰勒級數(shù)若f(x)在點x的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f'(x)，f〃(x)，…，f(n)(x)，...，此時我0們可讓多項式(8.3.1)的項數(shù)趨于無窮而構(gòu)成冪級數(shù)f(x)+f'(x)(x—x)+f(*0)(x—x)2+…+f()(*(x—x)n+…(8.3.4)0002!0n!0冪級數(shù)(8.3.4)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù).定理8.6設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域"(x°)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n—8時的極限為零.即limR(x)=0(xgU(x)).n—8n在(8.3.4)式中，若x°=0