向量積分配律證明(多篇)

向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)第一篇：向量積分配律的證明向量積分配律的證明三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對(duì)稱性、內(nèi)積的分配律和混淆積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。下邊把向量外積定義為：a×b=|a|·|b|·sin.分配律的幾何證明方法很繁瑣，粗心是用作圖的方法考據(jù)。有興趣的話請(qǐng)自己參閱參照文件中的證明。下邊給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：外積的反對(duì)稱性：a×b=-b×a.這由外積的定義是明顯的。內(nèi)積(即數(shù)積、點(diǎn)積)的分配律：a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.這由內(nèi)積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難獲取證明?；煜e的性質(zhì)：定義(a×b)·c為矢量a,b,c的混淆積，簡(jiǎn)單證明：1/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)i)(a×b)·c的絕對(duì)值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負(fù)號(hào)由a,b,c的定向決定(右手系為正，左手系為負(fù))。從而就推出：ii)(a×b)·c=a·(b×c)所以我們可以記a,b,c的混淆積為(a,b,c).由i)還可以推出：iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)我們還有下邊的一條明顯的結(jié)論：iv)若一個(gè)矢量a同時(shí)垂直于三個(gè)不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。下邊我們就用上邊的1)2)3)來證明外積的分配律。設(shè)r為空間隨意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替兩次利用3)的、iii)和數(shù)積分配律2)，就有·(a×(b+c))=(r×a)·(b+c)=(r×a)·b+(r×a)·c=r·(a×b)+r·(a×c)=r·(a×b+a×c)移項(xiàng)，再利用數(shù)積分配律，得r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=02/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)這說明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于隨意一個(gè)矢量。按3)的，這個(gè)矢量必為零矢量，即a×(b+c)-(a×b+a×c)=0所以有a×(b+c)=a×b+a×c.證畢。三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對(duì)稱性、內(nèi)積的分配律和混淆積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。下邊把向量外積定義為：a×b=|a|·|b|·sin.分配律的幾何證明方法很繁瑣，粗心是用作圖的方法考據(jù)。有興趣的話請(qǐng)自己參閱參照文件中的證明。下邊給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：外積的反對(duì)稱性：a×b=-b×a.這由外積的定義是明顯的。內(nèi)積(即數(shù)積、點(diǎn)積)的分配律：a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.3/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)這由內(nèi)積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難獲取證明?；煜e的性質(zhì)：定義(a×b)·c為矢量a,b,c的混淆積，簡(jiǎn)單證明：i)(a×b)·c的絕對(duì)值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負(fù)號(hào)由a,b,c的定向決定(右手系為正，左手系為負(fù))。從而就推出：ii)(a×b)·c=a·(b×c)所以我們可以記a,b,c的混淆積為(a,b,c).由i)還可以推出：iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)我們還有下邊的一條明顯的結(jié)論：iv)若一個(gè)矢量a同時(shí)垂直于三個(gè)不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。下邊我們就用上邊的1)2)3)來證明外積的分配律。設(shè)r為空間隨意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替兩次利用3)的、iii)和數(shù)積分配律2)，就有·(a×(b+c))=(r×a)·(b+c)=(r×a)·b+(r×a)·c4/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)=r·(a×b)+r·(a×c)=r·(a×b+a×c)移項(xiàng)，再利用數(shù)積分配律，得r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0這說明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于隨意一個(gè)矢量。按3)的，這個(gè)矢量必為零矢量，即a×(b+c)-(a×b+a×c)=0所以有a×(b+c)=a×b+a×c.證畢。第二篇：12014-向量數(shù)目積的運(yùn)算律向量數(shù)目積的運(yùn)算律制作人：張明娟審查人：葉付國(guó)使用時(shí)間：2014-5-8編號(hào)：12014學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握平面向量數(shù)目積的運(yùn)算律及其運(yùn)算；2、經(jīng)過向量數(shù)目積分配律的學(xué)習(xí)，意會(huì)類比、猜想、證明的研究性學(xué)習(xí)方法；3、經(jīng)過解題實(shí)踐，意會(huì)向量數(shù)目積的運(yùn)算方法.學(xué)習(xí)要點(diǎn)：向量數(shù)目積的運(yùn)算律及其應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：向量數(shù)目積分配律的證明.5/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)要點(diǎn)知識(shí)回顧：1、兩個(gè)向量的夾角的范圍是：；2、向量在軸上的正射影正射影的數(shù)目為；??3、向量的數(shù)目積（內(nèi)積）：a·b=；4、兩個(gè)向量的數(shù)目積的性質(zhì)：??（1）a?b?；2）a?aa3）cos?=；向量數(shù)目積的運(yùn)算律1（）a?b?b?a;(2)(?(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c平面向量數(shù)目積的常用公式(1)(a2(2)(a?b)(a證明：（1）2）?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22典例解析：6/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)例????1、已知a=6，b=4，a與b的夾角為600，??求：（1）b在a方向上的投影；??（2）a在b方向上的投影；3）a?2b?a?3b??例????02、已知a與b的夾角為120，a=2，b=3，求：22（）a?b；（2）a?b；（3）（2a1（4?5??b）（?a?3b）??1,a與b夾角為120，問t取何值0?t例????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線），當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時(shí)，向量a?kb與a?kb相互垂直？???????變式：已知a=1,b=2,a與a?b垂直.求a與b的夾角.練習(xí)題:求證菱形的對(duì)角線相互垂直.例???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.課堂小結(jié)：追蹤練習(xí)：7/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)1、以下運(yùn)算不正確的選項(xiàng)是（）a.??a??b??c??a????b?c??b.???a?b??c??a??c???b?c?c.m???a???b?ma??mbd.?a???b??c??a????b?c??2、設(shè)e?、e?，則?2e????12是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為6001?e2????3e1?2e2??（a.?992b.2c.?8d.83、已知?a??7,?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角為（）；4、已知：向量a?與?b的夾角為1200，且a??4，?b?2，求：1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b）第三篇：平面向量的數(shù)目積及運(yùn)算律的講課方案說明《平面向量的數(shù)目積及運(yùn)算律》的講課方案說明新疆石河子第一中學(xué)曹麗梅一、講課內(nèi)容的實(shí)質(zhì)：本講課方案是人教版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）第五章平面向量的第六節(jié)內(nèi)容，整個(gè)課題依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)分兩個(gè)課時(shí)，這是第一課時(shí)的講課方案。平面向量數(shù)目積第一課時(shí)的講課，平時(shí)要求形成數(shù)目積的看法，得出數(shù)目積運(yùn)算的公式，并把培育學(xué)生的研究精神和應(yīng)妄圖識(shí)的目標(biāo)，有機(jī)地融入知識(shí)學(xué)習(xí)和技術(shù)形成的過程之中。平面向量數(shù)目積是8/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)平面向量的要點(diǎn)內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一，這一節(jié)主要介紹兩個(gè)向量的數(shù)目積是兩個(gè)向量之間的一種乘法，是中學(xué)代數(shù)中從未碰到過的一種新的乘法，與數(shù)的乘法有差別，同時(shí)這一節(jié)與下一節(jié)平面向量的數(shù)目積的坐標(biāo)表示有著親近聯(lián)系。因?yàn)橄蛄考饶鼙憩F(xiàn)“形”的直觀地點(diǎn)特色，又擁有“數(shù)”的優(yōu)異運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形聯(lián)合和變換的橋梁。而這全部之所以可以實(shí)現(xiàn)，平面向量的數(shù)目積功不可以沒。經(jīng)過對(duì)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握平面向量的數(shù)目積，幾何意義，重要性質(zhì)及運(yùn)算律，又可使學(xué)生認(rèn)識(shí)用平面向量的數(shù)目積可以辦理有關(guān)長(zhǎng)度，角度，和垂直問題，并且為平面向量的數(shù)目積的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)做了充分準(zhǔn)備，對(duì)后邊正，余弦定理的證明起到至關(guān)重要的作用，所以本節(jié)課的講課內(nèi)容起著承前啟后的作用。依據(jù)“平面向量的數(shù)目積及運(yùn)算律”在高中數(shù)學(xué)中的地位與作用，并且考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特色，我以為本節(jié)課的講課目標(biāo)應(yīng)以人為本重視對(duì)學(xué)生自主能力的培育，啟迪指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，觀察問題，從而得以解決問題，在這一過程中希望能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的踴躍性，不停激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。二、講課內(nèi)容的應(yīng)用及浸透平面向量作為一種工具，重在應(yīng)用，并且今后用向量方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題；而平面向量的數(shù)目積作為9/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)一種特其余運(yùn)算也有它不可以代替的作用，如：求向量的模長(zhǎng)，夾角，推導(dǎo)正、余弦定理等。因?yàn)橄蛄勘驹从谖锢恚⑶壹婢摺皵?shù)”和“形”的特色，所以它在物理和幾何中擁有寬泛的應(yīng)用，盡人皆知，物理與數(shù)學(xué)是密不可以分的，而向量在物理中的應(yīng)用俯拾皆是，舉不勝舉，反過來物理又可為某些數(shù)學(xué)知識(shí)作有效的講解。比方：本課時(shí)的引入就是以物體在力的作用下所做的功為模型，事實(shí)上這也就是平面向量數(shù)目積的物理意義，這樣可以更切近生活，使學(xué)生更簡(jiǎn)單理解平面向量數(shù)目積的看法，切合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣。同時(shí)解析幾何也經(jīng)常將向量作為有力的解題工具。三、講課解析《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中重申：“數(shù)學(xué)課程要實(shí)現(xiàn)：人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都獲取必要的數(shù)學(xué)；不同樣的人在數(shù)學(xué)上獲取不同樣的發(fā)展?！蓖瑫r(shí)，她建議的“關(guān)注過程”“重申實(shí)質(zhì)”“表現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”“發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)妄圖識(shí)”等都向我們明示出高中數(shù)學(xué)課程的價(jià)值取向。為使《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》得以順利實(shí)行，教師理應(yīng)不停更新講課看法，努力成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、指引者、合作者。經(jīng)過精心設(shè)計(jì)、實(shí)踐與反省，千錘百煉講課方法和講課手段??以優(yōu)化課堂講課，10/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)提升課堂講課的效率。課程設(shè)計(jì)必然從學(xué)生的角度出發(fā)，要與學(xué)生的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)、感悟和實(shí)踐過程。基于以上認(rèn)識(shí)，對(duì)于“平面向量數(shù)目積及運(yùn)算律”引入，我進(jìn)行了這樣的講課方案：第一演示一個(gè)外力作功的實(shí)驗(yàn)：w=|f||s|cosθ，并揭示這個(gè)物理模型的實(shí)質(zhì)，即：力與位移的數(shù)目積。其次，詳盡解析平面向量的夾角，向量的數(shù)目積、重要性質(zhì)等看法，并牢固練習(xí)。再者，基本看法均簡(jiǎn)短有效的給出，為今后學(xué)生深入學(xué)習(xí)、研究供給了時(shí)間上的保證，從定義出發(fā)推導(dǎo)運(yùn)算律也變得簡(jiǎn)單易行。隨后，從特別到一般，得出數(shù)目積的幾何表示。在教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的講課模式中，學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)展順利，學(xué)生們都顯得應(yīng)付自如。在講課過程中，學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)目積的定義及運(yùn)算律的理解有些難度，總的感覺是：在中心問題上的辦理不太簡(jiǎn)單掌握，學(xué)生需要好多的時(shí)間去研究和體驗(yàn)。聯(lián)合多年講課發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)目積的結(jié)果是數(shù)目重視不夠，解題中經(jīng)常忽視，?學(xué)生簡(jiǎn)單忽視；書寫中符號(hào)“?”學(xué)生簡(jiǎn)單省略不寫，講課和作業(yè)中發(fā)現(xiàn)問題教師應(yīng)經(jīng)常提示學(xué)生及時(shí)糾正，防范重復(fù)錯(cuò)誤；運(yùn)算律中消去律和聯(lián)合律不可以亂用，要給學(xué)生講清楚必然不可以與實(shí)數(shù)的運(yùn)算律混淆，這些地方應(yīng)頻頻給學(xué)生重申。11/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)最后，在有效落實(shí)講課目標(biāo)的同時(shí)，如何讓學(xué)生的“學(xué)”更輕松些，讓教師的“教”更順暢些，使“數(shù)目積”的看法形成更具一般性，更能揭示“數(shù)目積”的實(shí)質(zhì)內(nèi)含就顯得特別重要。四、教法及講課反省講課過程中采納啟迪指引式與講練相聯(lián)合，并借助多媒體講課手段，使學(xué)生理解平面向量數(shù)目積的定義，理解定義今后指引學(xué)生推導(dǎo)數(shù)目積的性質(zhì)，經(jīng)過例題和練習(xí)加深學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)目積定義的認(rèn)識(shí)，初步掌握平面向量數(shù)目積定義的運(yùn)用。這全部主若是經(jīng)過課堂講課來實(shí)現(xiàn)的，所以，要精于課堂講課方案，并在實(shí)踐中進(jìn)行反省和再設(shè)計(jì)，形成一系列合適學(xué)生認(rèn)知、發(fā)展的講課方案。同時(shí)，在講課中要注意指引學(xué)生不停加強(qiáng)自主性、研究性、合作性和思辯性，促使他們成為學(xué)習(xí)的主人。而貫徹?cái)?shù)形聯(lián)合思想是戰(zhàn)勝難點(diǎn)的有效措施．通過例題、練習(xí)的解析講評(píng)和學(xué)生踴躍主動(dòng)的解題實(shí)踐，運(yùn)用(敬請(qǐng)希望更好文章：)知識(shí)解決問題的能力將獲取提升。因?yàn)檎n堂講課準(zhǔn)備的較充分，基本能達(dá)到預(yù)約目標(biāo)。講課反省，是教師對(duì)自己講課工作的檢查與評(píng)定，是整理講課中的反響信息，合時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)、找出講課的成功與不足的重要過程。所以講課后合時(shí)的反省有益于促使講課，以上就是我對(duì)本節(jié)課的理解和反省。第四篇：用正弦定理證明三重向量積12/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)用正弦定理證明三重向量積作者：光信1002班李立內(nèi)容：經(jīng)過對(duì)問題的議論和轉(zhuǎn)變，最后用正弦定理來證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。第一，依據(jù)叉乘的定義，a、b、a?b可以構(gòu)成一個(gè)右手系，并且對(duì)公式的觀察與解析我們發(fā)現(xiàn)，在公式中，a與b是等價(jià)的，所以我們不妨把a(bǔ)、b、a?b放在一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，讓a與b處于oxy面上，a?b與z軸同向。如草圖所示：此中，向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解，即：c?cz?cxy將式子帶入三重向量積的公式中，發(fā)現(xiàn)，化簡(jiǎn)得：a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個(gè)式子等價(jià)此刻我們考慮(a?b)?c恰巧被a與b反向夾住的狀況，其余的角度狀況以此類推。由圖易得，(a?b)?c與a、b共面，a與b不共線，沒關(guān)系設(shè)(a?b)?c?xa?yb，a,cxy?(?13/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇),?),b,cxy?(0,?)，所以：在三角形中使用正弦定理，得a?b）?csin[?-a,b]?sin[xa?ybsin[a,cxy??k]??b,cxy?又因?yàn)閍?b）?c?abcsina,b所以，解得k=abc，于是解得：x=bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy?b?cxy??a?cxy由圖示和假定的條件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負(fù)值，所以x，y都取負(fù)值，14/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)所以，a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b其余的相對(duì)角度關(guān)系，以此類推，也能獲取同樣的答案，所以：(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命題得證。小結(jié)論：當(dāng)直觀解答有困難時(shí)，可以經(jīng)過解析轉(zhuǎn)變的方法來輕松地解決。第五篇：兩個(gè)向量的數(shù)目積8、《兩個(gè)向量的數(shù)目積》講課稿敬愛的各位評(píng)委老師：大家好！今日我講課的內(nèi)容是《兩個(gè)向量的數(shù)目積》?，F(xiàn)代教育理論指出學(xué)生是講課的主體，教師的教應(yīng)本著從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)、以學(xué)生活動(dòng)為主線、在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上、建構(gòu)新的知識(shí)系統(tǒng)。本節(jié)課的講課方案中，我將此理念貫穿于整個(gè)講課過程中。下邊就從教材解析、講課目標(biāo)解析、重難點(diǎn)解析、教法解析、學(xué)法解析、講課方案、板書設(shè)計(jì)及講課議論等方面進(jìn)行說明。一、教材解析《兩個(gè)向量的數(shù)目積》是現(xiàn)行人教版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)下第九章第5節(jié)的內(nèi)容。在本節(jié)以前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的一些知識(shí)，包括空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、共線向量和共面向量、空間向量基本定律，這些知識(shí)是學(xué)習(xí)本節(jié)的基礎(chǔ)。15/18向量積分配律的證明(優(yōu)選多篇)向量看法的引入是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)捷徑，同時(shí)也引入了一種新的解決數(shù)學(xué)識(shí)題的方法：坐標(biāo)法，同時(shí)也引入了一種新的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形聯(lián)合的思想。同時(shí)，兩個(gè)向量之間的地點(diǎn)關(guān)系可以經(jīng)過數(shù)目積來表示。所以，研究?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)目積是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)要點(diǎn)知識(shí)。二、講課目標(biāo)依據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容解析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特色，擬訂以下講課目標(biāo)：1．基礎(chǔ)知識(shí)目標(biāo)：掌握空間向量夾角和模的看法及表示方法，掌握兩個(gè)向量數(shù)目積的看法、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算律；2．能力訓(xùn)練目標(biāo)：掌握兩個(gè)向量數(shù)目積的主要用途，會(huì)用它解決立體幾何中