高二（上）數學知識點總結-空間向量和立體幾何

冒知識清單：空間向量和立體幾何一.空間向量及其運算：1.空間向量概念：(1)定義：與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的氏度或模?？臻g向量用字母￡,b,c,...表示。(2)有向線段：與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示,有向線段的長度表示空間向量的模。(3)零向量：我們規(guī)定，長度為0的向量叫做霎向量，記為。.當有向線段的起點/與終點B重合時，=6.(4)單位向量：模1為的向量叫做單位向量.(5)相反向量：與向量一長度相等而方向相反的向量，叫做］的相反向量,記為工。(6)共線向量，如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量。我們規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量”,都有(7)相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相差向量。因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量。.空間向量的加減法以及數乘運算：(1)任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量。(2)任意兩個空間向量的運算就可以轉化為平面向量的運算。。(3)a+b=OA+AB=OB；a—b=OA+OC=CAo(4)當九>0時，A,a=A.OA=PQ；當2>0時，A.a=AOA=MN；當4>0時，2a=0.(5)交換律：a+b-b+a',結合律：a+0+c)=(a+5)+c,7(〃a)=(%4)a；分酉己律：(%+〃”= = +7反

(6)共線的充要條件：對任意兩個空間向量入網坂H。)，￡|歷的充要條件是存在實數4,使。=茂。(7)方向向量：在直線/上取非零向量￡,我們把與向量￡平行的非零向量稱為直線/的方向向量。這樣，直線/上任意一點都可以由直線/上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。(8)共面向量：如果直線/平行于平面a或在平面a內，那么稱直線/的方向向量5平行于平面。平行于同T平面的向量，叫做共面向量。(8)共面的充要條件：如果兩個向量￡,各不共線，那么向量方與向量￡,坂共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(X,力,^p=xa+ybc.空間向量的數量積運算:(1)由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因為，兩個空間向量的夾角和數量積就可以像平面向量那樣來定義。(2)夾角：已知兩個非零向量b,在空間任取一點。，作a=￡,OB=b,則/40S叫做向量￡,b的夾角，記作?,力。如果,那么向量”,b互相垂直，記作￡Lb,(3)數量積：已知兩個非零向量入b,則HWcos?[)叫做屋族的數量積，記作屋引即力=硼以》(詞.特別地，零向量與任意向量的數量積為0。(4)ffi^：aLbab=Qa-a=|t/||?|cos^tz,a^=|a|；= ;交換律：ab-ba;分配律：a-(h+cj-a-b+a-c.(5)投影向量：在空間，向量￡向向量取投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平直線/投影。移到同一個平面a內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量h共線的向量c直線/投影。向量)稱為向量)在向量B上的投影向量。類似地，可以將向量)向二、空間向量基本定理:L定理：如果三個向量3,b,工不共面，那么對任意一個空間向量,，存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得p=xa+y5+zc。.如果三個向量b,"不共面，則所有空間向量組成的集合是p=xa+yb+zc,x,y,ze<,這個集合可看作是由向量a,b,c生成的，我們把叫做空間的一個基底，a,b,3稱為基向量?？臻g任何三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底..特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用｛7J,可表示.由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量均可分解為三個向量G,yj,zk,使Z=x7+y]+zK像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交先解。三、空間向量及其運算的坐標表示：.空間直角坐標系：(1)定義：在空間選定一點5口一個單位正交基底｛7J*｝,以點。為原點，分別以7,j.不的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸。這時我們就建立了一個空間直角坐標系。％,。叫做原點，7,j,不都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為。xy平面，3c平面，Qx平面，它們把空間分成八個部分。畫空間直角坐標系小時，一般使NxOy=135。(或45。)，NyOz=90.(2)右手直角坐標系：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向V軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系。(3)點的坐標表示：在空間直角坐標系中。臾中，7,j,定為坐標向量，/對空間任意一點，對應一個向量力，且點力的位置由向量區(qū)唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯二的有序實數組(x,y,z),使Q4=xi+y/+zK在單位正交基底｛7,1,耳下與向量雨對應的有序實數組(x),z),叫做點在空間直角坐標系中的坐標，記作4(x,乂z),其中x叫做點Z的橫坐標，V叫做點力的縱坐標，z叫做點/的豎坐標。(4)向量的坐標表示：在空間直角坐標系中中，給定向量Z,作刀=￡,由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組,使(x,y,z),a=xi+yj+zka有序實數組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作a=(x,y,z)o.空間向量運算的坐標表示：設a二（%,電，。3），3=（々也也）a+辦=（。1+&,。2+4,。3+，3）；Q—B=（q-4,出一，。3-4）；Aa=（Aal9Aa29Aa3）,AeR;a-b=。也、+a2b2+a3b3;p|=^aj2+a22+a32;（6）3的=普=./2"+*+她''|a||Z>|JaJ+出2+%2+好+42.空間兩點間的距離公式：6(X1,必,Z]),g(X2，％，Z2)兩點間的距離：山刃=|就|=J(X2-X)+(%-%)+卜2-Z2).四、空間向量的應用：.用空間向量研究直線、平面的位置關系：(1)空間中點的向量表示：在空間中，我們取一定點。作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量OP來表示。我們把向量加稱為點P的位置向量。

(2)空間中直線的向量表示：空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定。(3)空間中平面的向量表示：空間任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定。對于平面a,直線/_La,取直線/的方向向量￡,我們稱向量￡為平面a的法向量。給定一個點/和一個向量那么過點4且以向量￡為法向量的平面完全確定，可以表示為集合［尸歸?萬=0卜(4)空間中直線、平面的平行：①直線平行：設I,曜分別是直線4，4的方向向量，有4I%何o.wH,使得％=Au2.②直線與平面平行：設「是直線/的方向向量，3是平面a的法向量，/2a,有③平面平行：設〃I,勺分別是平面夕的法向量，。||40〃11|〃2<=>三4€火,使得々=4〃2?(5)空間中直線、平面的垂直：①直線垂直：設,U2分別是直線/1,4的方向向量，有4J-4<=>%=0。②直線與平面垂直：設&是直線/的方向向量，3是平面a的法向量，有Z±aou||n<=>32eR,使得i=An.③平面垂直：設〃I,人分別是平面a，夕的法向量，有a■LP=〃iJL〃2=〃i=0使得〃］=4〃2o.用空間向量研究距離、夾角問題:(1)點生(1直線/的距離：設直線的單位方向向量為U,取直線上定點A,設后=￡,則向a-u)u.在R/A4P0中，由勾股定理，得"=尸0=,阿_國2=42_伍；)2.(2)點尸到平面a的距離：設平面a的法向量為3,取平面a內定點4過點尸作平面a的垂線/,交平面a于點Q則［是直線/的方向向量，且點色II平面a的距

離就是AP在直線/上的投影向量QP的長度。因此d=P。=簫?備=筆已=事」。HHH(3)異面直線所成角：一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得。也就是說，若異面直線4,，2所成的角為氏其方向向量分別是V,則cos0則cos0U-V(4)直線與平面所成角：直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角。設直線檢與平面。所成的角為。，直線他的方向向量為平面a的法向量為(5)平面與平面的夾角：平面。與平面夕相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為平面a與平面尸的夾角。若平面a,尸的法向量分別是加和無，則平面a與平面夕的夾角即為〃?和〃2的夾角或其補角。設平面

"專屬練習：.已知非零向量q,e2不共線，如果48=弓+e2，AC=2et+8e,,AD=3ei-e2,則四點/,B,C,D（）A.一定共圓 B.恰是空間四邊形的四個頂點C.一定共面 D.肯定不共面.已知4（-4,2,3）關于xOz平面的對稱點為4,/關于軸的對稱點為4,則|4闋等于（）A.8 B.12 C.16 D.19.已知4（4,1,3）,6（2,-5,1）,。為線段/5上一點，且江=1,則。點的坐標為（）AB3.已知機=（1,0,2）是直線/的一^?方向向量，〃是平面a的一個法向量，且/1|a,則〃不可能是（）A.（0,1,0）B.（2,1,-1） C.（-2,1,1）D.B.已知三棱錐0—Z5C,點M,N分別為AB,0。的中點，且方=￡,OB^b,BOC=c,用a,b,c表小，則MN等于()A.B.+C.l(a-^+c)D.4Hq.已知直線4的方向向量7=(2,4,x),直線4的方向向量3=(2,乂2),若4=6,且41/2,則x+y()A.一3或1 B.3或一1 C.-3D.17.已知4（1,1,0）,80,0,1）,“0,1,1）,則平面/5C的一個法向量的單位向量是（）

.已知平面a內有一點加（1,一1,2）,平面a的一個法向量1=（2,-1,2）,則下列點P在平面a內的是（）A.（-4,4,0）B.（2,0,1）C.（2,3,3）D.（3,-3,4）.若￡=（oj—1）,&=（i,i,o）,且R+力耳_l￡,則實數4的值是（）TOC\o"1-5"\h\zA.-