2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合練習(xí)題及答案

2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合練習(xí)題及答案一、圓的綜合1.如圖，點P在。O的直徑AB的延長線上，PC為。O的切線，點C為切點，連接AC,過點A作PC的垂線，點D為垂足，AD交。O于點E.(1)如圖1,求證：/DAC=ZPAC(2)如圖2,點F(與點C位于直徑AB兩側(cè))在。O上，BF?A，連接EF,過點F作AD的平行線交PC于點G,求證：FG=DE+DG⑶在(2)的條件下，如圖3,若AE=2dG,PO=5,求EF的長.3【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)EF=3j2.【解析】【分析】(1)連接OC,求出OC//AD,求出OC,PC,根據(jù)切線的判定推出即可；(2)連接BE交GF于H,連接OH,求出四邊形HGDE是矩形，求出DE=HGFH=EH即可得出答案；(3)設(shè)OC交HE于M,連接OE、OF,求出/FHO=ZEHO=45,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出TOC\o"1-5"\h\zEH//DG,求出OM=1AE,設(shè)OM=a,則HM=a,AE=2a,AE=-DG,DG=3a,23MO1CO1求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角二角形得出tan/MBO=」■tanP=——設(shè)BM2PO2OC=k,則PC=2k,根據(jù)OP=J5k=5求出k=J5\根據(jù)勾股定理求出a,即可求出答案.【詳解】(1)證明：連接OC,.「PC為。。的切線,??OCXPC,.ADXPC,?.OC//AD,ZOCA=ZDAC,.OC=OA,ZPAC4OCA,ZDAC=ZPAC(2)證明：連接BE交GF于H,連接OH,的FG//AD,???/FGD+/D=180；dDD=90；/FGD=90；.「AB為。。的直徑，/BEA=90,°/BED=90,°/D=/HGD=/BED=90,°???四邊形HGDE是矩形，DE=GH,DG=HE,ZGHE=90,°BfAf,/HEF=ZFEA=1/BEA=-90°=45°,22/HFE=90-/HEF=45,°/HEF=ZHFE,?.FH=EH,.?.FG=FH+GH=DE+DG(3)解：設(shè)OC交HE于M,連接OE、OF.EH=HF,OE=OFHO=HO,?.△FHO^AEHO,/FHO=ZEHO=45；???四邊形GHED是矩形，??.EH//DG,/OMH=/OCP=90；/HOM=90-/OHM=90-45=45；/HOM=/OHM,.?.HM=MO,?.OMXBE,.?.BM=ME,.?.OM=1AE,2設(shè)OM=a,則HM=a,AE=2a,AE=2DGDG=3a3''??/HGC=ZGCM=ZGHE=90；???四邊形GHMC是矩形，GC=HM=a,DC=DG-GC=2a,??DG=HE,GC=HM,ME=CD=2a,BM=2a,在Rt^BOM中，tanZMBO=^M0--1BM2a2'??EH//DP,/P=/MBO,CO1tanP=-,PO2設(shè)OC=k,則PC=2k,在Rt^POC中，OP=*k=5,解得：k=5,OE=OC=5,在Rt^OME中，OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,HE=3a=3,在Rt^HFE中，/HEF=45,1-EF=72HE=372-【點睛】考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識點，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.2.如圖1,已知扇形MON的半徑為J2,/MON=90，點B在弧MN上移動，聯(lián)結(jié)BM,作ODLBM,垂足為點D,C為線段OD上一點，且OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑OM于點A,設(shè)OA=x,/COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時，求證：(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時，求x的值.各用圖【答案】⑴證明見解析；(2)盜.(0x夜);(3)、.14..52分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進而判斷出△OAX^BAM,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出BD=DM,進而得出-DM(2)先判斷出BD=DM,進而得出-DMBDMEAE1-，進而得出ae=2(、歷x),再判斷出OAOE(3)?.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1.DE//AB,DMME1.DE//AB,DMOD(3)(i)BDAE,AE=EM.,.OM=、,2??AE=1(OAOE(3)?.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1.DE//AB,DMME1.DE//AB,DMOD(3)(i)BDAE,AE=EM.,.OM=、,2??AE=1(五x).2OAOEOCOD2DMOD'0Vx我)當(dāng)OA=OC時.???DM1BM21…一x.在RtAODM中,2OC2DM“，即可得出結(jié)論；ODOD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1)---OD±BM,AB±OM,/ODM=/BAM=90°.???/ABM+ZM=ZDOM+ZM,/ABM=ZDOM.ZOAC=ZBAM,OOBM,△OAC^△BAM,.?.AC=AM.(2)如圖2,過點D作DE//AB,交OM于點E.OD.OM2DM2..2；x2DMy，ODDMy，OD1-x22卜142T14,2/咨、-,或x-—(舍).(ii)當(dāng)AO=AC時，則/AOO/ACO.「/ACO>/COB,/CO&/AOC,?./ACO>/AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng)CO=CA時，貝UZCOA=ZCAO=a,「/CAO>/M,ZM=90°-a,..a>90°—a,a>45:/BOA=2490::/BOAW90°，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時，x的值為丹叵2點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.3.如圖，在OO中，AB為直徑，OCAB,弦CD與OB交于點F,在AB的延長線上有點E,且EF=ED.(1)求證：DE是。。的切線；(2)若tanA=1,探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；2(3)在(2)的條件下，若OF=1,求圓O的半徑.【答案】(1)答案見解析；(2)AB=3BE;(3)3.【解析】試題分析：(1)先判斷出ZOCF+ZCFO=90°,再判斷出ZOCF=ZODF,即可得出結(jié)論；(2)先判斷出/BDE=/A,進而得出△EBg^EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出結(jié)論；(3)設(shè)BE=x,則DE=EF=2x,AB=3x,半徑OD=3x,進而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2

即可得出結(jié)論.試題解析：(1)證明：連結(jié)OD,如圖..??EF=ED,.?./EFD=/EDF.=/EFD=/CFO,?/CFO/EDF.-.OCXOF,z.ZOCF+ZCFO=90：/OC=OD,z.ZOCF=ZODF,./ODC+/EDF=90；即/ODE=90；，OD，DE..?點D在。O上，..DE是。。的切線;(2)線段ARBE之間的數(shù)量關(guān)系為：AB=3BE.證明如下：.AB為。O直徑，，/ADB=90；ZADO=ZBDE./OA=OD,，/ADO=/A,//一,DEBEBD-./BDE=/A,而/BED=/DEA,.?.△EBg^EDA,「.——————./RtAABDAEDEAD中，tanA中，tanA=電二1,AD2DEBE1

=—AEDE2?.AE=2DE,DE=2BE,..A^BE,..AE^BE；(3)設(shè)BE=x,貝UDE=EF=2x,AB=3x,半徑OD=3x.「OF=1,..OE=1+2x.232..在Rt^ODE中，由勾股定理可得：(一x)2+(2x)2=(1+2x)2,x=--(舍)或x=2,29，圓O，圓O的半徑為3.C點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△EBg^EDA是解答本題的關(guān)鍵.4.（類比概念）三角形的內(nèi)切圓是以三個內(nèi)角的平分線的交點為圓心，以這點到三邊的距離為半徑的圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形，可以得出三角形的三邊與該圓相切.以此類推，如圖1,各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形（性質(zhì)探究）如圖1,試探究圓外切四邊形的ABCD兩組又右邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（利用圖1,寫出已知、求證、證明）（性質(zhì)應(yīng)用）①初中學(xué)過的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形（填序號）A：平行四邊形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如圖2,圓外切四邊形ABCD,且AB=12,CD=8,則四邊形的周長是③圓外切四邊形的周長為48cm,相鄰的三條邊的比為5：4：7,求四邊形各邊的長.【分析】(1)根據(jù)切線長定理即可得出結(jié)論；(2)①圓外切四邊形是內(nèi)心到四邊的距離相等，即可得出結(jié)論；②根據(jù)圓外切四邊形的對邊和相等，即可求出結(jié)論；③根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長建立方程求解即可得出結(jié)論.【詳解】性質(zhì)探討：圓外切四邊形的對邊和相等，理由：如圖1,已知：四邊形ABCD的四邊AB,BC,CD,DA都于。O相切于G,F,E,H.求證：AD+BCAB+CD.證明：「AB,AD和。O相切，AG=AH,同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,.?.AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即：圓外切四邊形的對邊和相等.故答案為：圓外切四邊形的對邊和相等；性質(zhì)應(yīng)用：①二.根據(jù)圓外切四邊形的定義得：圓心到四邊的距離相等.???平行四邊形和矩形不存在一點到四邊的距離相等，而菱形和正方形對角線的交點到四邊的距離相等.故答案為：B,D;②:圓外切四邊形ABCD,AB+CD=AD+BC.?.AB=12,CD=8,AD+BC=12+8=20,??.四邊形的周長是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案為：40；③二?相鄰的三條邊的比為5:4:7,???設(shè)此三邊為5x,4x,7x,根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)得：第四邊為5x+7x-4x=8x.??.圓外切四邊形的周長為48cm,.1.4x+5x+7x+8x=24x=48,.x=2,「?此四邊形的四邊為4x=8cm,5x=10cm,7x=14cm,8x=16cm.A_SA_S圖1本題是圓的綜合題，主要考查了新定義圓的外切的性質(zhì)，四邊形的周長，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)，切線長定理，理解和掌握圓外切四邊形的定義是解答本題的關(guān)鍵.5.如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形,AB=CD.（1）如圖（1）,求證:AD//BC;（2）如圖（2），點F是AC的中點，弦DG//AB,交BC于點E,交AC于點M,求證:AE=2DF；⑶在（2）的條件下，若DG平分/ADC,GE=S,tan/ADF=4j3，求。O的半徑。0怪【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）J129【解析】試題分析：（1）連接AC.由弦相等得到弧相等，進一步得到圓周角相等，即可得出結(jié)論.（2）延長AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形ABED是平行四邊形，從而有AD=BE,DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到ZNDC=ZB,即可證明MBE^ACND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.（3）連接BG,過點A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，得到AB=DE.再證明ACDE是等邊三角形，ABGE是等邊三角形，通過解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的長，由EC=DE=AB,得到HC的長.在Rt^AHC中，由勾股定理求出AC的長.作直徑AP,連接CP,通過解4APC即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）連接AC.,.AB=CD,???弧AB=MCD,z.ZDAC=ZACB,..AD//BC.(2)延長AD至ijN,使DN=AD,連接NC..「AD//BC,DG//AB,二.四邊形ABED是平行四邊形，AD=BE,.1.DN=BE,「ABCD是圓內(nèi)接四邊形，，/NDC=/B./AB=CD,…—_1??MBE0辦D,AE=CN./DN=AD,AF=FC,，DF=—CN,，AE=2DF.

困(2)困(2)(3)連接BG,過點A作AHLBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊形，AB=DE..DF//CN,，/ADF=/ANC,?./AEB=/ADF,，tan/AEB=tanZADF=4>/3,DG平分/ADC,?./ADG=/CDG.「AD//BC,/ADG=/CED,ZNDC=ZDCE..?/ABO/NDC,?./ABC=/DCE..AB//DG,../ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,「?工DE是等邊三角形，「.AB=DE=CE-/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；..ABGE是等邊三角形，BE=GE=5)3./tanZAEB=tan/ADF=4J3,設(shè)HE=x，貝UAH=473x.ZABE=ZDEC=60°,，/BAH=30°,..BH=4x,AB=8x,，4x+x=5石，解得：x=73\.?.AB=8T3,HB=4V3,AH=12,EC=DE=AB=8V3,.?.HC=HE+EC=>/3873=973.在RtAAHC中，ac=Jah2hc2"122(9拘2=3而.作直徑AP,連接作直徑AP,連接CP,/ACF=90°,,APsiAC0簧2同2P0:/P=ZABC=60°,，sin/P=^^APoo的半徑是VT29.對角線AC對角線AC為。。的直徑，過點C作AC的垂線交AD連接DB,DF.AD:DE=4：1,求DE的長.6.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,的延長線于點E,點F為CE的中點,(1)求證：DF是。。的切線；(2)若DB平分/ADC,AB=5￡EFC【答案】(1)見解析；(2)、:5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用4ADC?4ACE得出AC2=AD?AE,進而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD,../ODO/OCD.???AC為。O的直徑，??/ADO/EDC=90°.,?點F為CE的中點，DF=CF=EF,../FDO/FCD,?./FDO=/FCO.又「AC，CE,ZFDO=ZFCO=90°,?.DF是。。的切線.「AC為。。的直徑，ZADC=ZABC=90°.???DB平分/ADC,/ADB=ZCDB,「.Ab二?C，，BC=AB=5我.在Rt^ABC中，AC2=AB2+BC2=100.又「AC，CE,ZACE=90°,ACAE△ADC?△ACE?1?——=——，AC2=AD?AE.ADAC設(shè)DE為x,由AD:DE=4:1,，AD=4x,AE=5x,.?-100=4x?5x,，x=V5,...DE=V5.點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出ac2=ad?ae是解題的關(guān)鍵.7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點A(-8,0),B(0,6),點M在線段AB上。(1)如圖1,如果點M是線段AB的中點，且OM的半徑等于4,試判斷直線OB與。M

的位置關(guān)系，并說明理由；(2)的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2,OM與x軸，y軸都相切，切點分別為E,F,試求出點M的坐標(biāo);(3)如圖3,OM與x軸，y軸，線段AB都相切，切點分別為E,F,G,試求出點M的坐標(biāo)(直接寫出答案)2424【答案】(1)OB與。M相切；(2)M(一],1);(3)M(―2,2)【解析】分析：(1)設(shè)線段OB的中點為D,連結(jié)MD,根據(jù)三角形的中位線求出MD,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可；(2)求出過點A、B的一次函數(shù)關(guān)系式是y=-x+6,設(shè)M(a,-a),把x=a,y=-a代4入y=—x+6得出關(guān)于a的方程，求出即可.4(3)連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,設(shè)ME=MF=MG=r,根據(jù)S；AABG=!AO?ME+1bO?MF+1AB?MG=1AO?BO求得r=2,據(jù)此可得答案.2222詳解：(1)直線OB與。M相切.理由如下：設(shè)線段OB的中點為D,如圖1,連結(jié)MD,???點M是線段AB的中點，所以MD//AO,MD=4,，/AOB=/MDB=90；，MD，OB,點D在。M上.又?.?點D在直線OB上，???直線OB與。M相切；(2)如圖2,連接ME,MF,8kb0TOC\o"1-5"\h\z.「A(—8,0),B(0,6),設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,，解b6得：k=3,b=6,即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=—x+6.44???OM與x軸、y軸都相切，???點M到x軸、y軸的距離都相等，即ME=MF,設(shè)M(a,—a)(-8<a<0),把x=a,y=-a代入y=—x+6,得：—a=-a+6,得：a=-44247，點247，點M的坐標(biāo)為(-2424、77(3)如圖3,連接ME、MF、MG、MA、MB、MO,???0M與x軸，y軸，線段AB都相切，MEXAO.MF±BO>MGXAB,設(shè)ME=MF=MG=r,貝US/\abc=1AO?ME+1BO?MF+1AB?MG=1AO?BO.2222.A(—8,0),B(0,6),?.AO=8、BO=6,AB=Ja。2B5r=1。，???1「？8+1「？6+工r?10=1X6內(nèi)8解彳導(dǎo):r=2,即ME=MF=2,.??點M的坐標(biāo)為(—2,22222).點睛：本題考查了圓的綜合問題，掌握直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解答此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：已知。。的半徑為r,圓心O到直線l的距離是d,當(dāng)d=r時，直線l和。O相切.8.已知：如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線BD上，以O(shè)D的長為半徑的。。與AD,BD分別交于點E、點F,且/ABE=/DBC.（1）判斷直線BE與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若sin/ABE=U3,CD=2,求。O的半徑.【答案】（1）直線BE與。O相切，證明見解析；（2）。。的半徑為Y3.2【解析】分析：（1）連接OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證/BEO=90°,即可得出直線BE與。O相切；（2）連接EF,先根據(jù)已知條件得出BD的值，再在^BEO中，利用勾股定理推知BE的長，設(shè)出。。的半徑為r,利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.詳解：（1）直線BE與。O相切.理由如下：連接OE,在矢l形ABCD中，AD//BC,，/ADB=/DBC.???OD=OE,ZOED=ZODE.

又.?/ABE=/DBC,ZABE=ZOED,???矩形ABDC,/A=90°,ZABE+/AEB=90°,???直線BE與。O相切;???直線BE與。O相切;EE(2)連接EF,方法(2)連接EF,方法1:???四邊形ABCD是矩形，CD=2,??/A=/C=90：AB=CD=2.?./ABE=/DBC,..sinZCBD=sinABEDCBDsinCBD在RtAAEB中，???CD=2,?.BCDC.tanZCBD=tanZABE,??BCAE由勾股定理求得BEJ6.在Rt^BEO中，DCBDsinCBD在RtAAEB中，???CD=2,?.BCDC.tanZCBD=tanZABE,??BCAE由勾股定理求得BEJ6.在Rt^BEO中，/BEO=90°,E02+eB?=Ob2.設(shè)?O的半徑為r,則「2(竭2(2百方法2：.「DF是。。的直徑，??./DEF=90°.???四邊形ABCD是矩形，.-.ZA=ZC=90°,???ZABE=ZDBC,???sinZCBD=sinABEAB=CD=2.33設(shè)DCx,BDV3x,則BC&x..CD=2,BC2V2???tanZCBD=tanZABE,「DCBCABAEEE為AD中點.DF為直徑，ZFED=90°,EF//AB,DF1BD2DF為直徑，ZFED=90°,EF//AB,DF1BD2???OO的半徑為—2B點睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點，具有較強的綜合性，有一定的難度.9.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧Ab1用直尺和圓規(guī)作出Ab所在圓的圓心o；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）2若AB的中點C到弦AB的距離為20m,AB80m,求AB所在圓的半徑.【答案】（1）見解析；（2）50m【解析】分析：1連結(jié)AC、BC,分另作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接oa,oc,oc交ab于d,如圖2,根據(jù)垂徑定理的推論，由c為ab的中點得1-到OCAB,ADBD-AB40，則CD20,設(shè)eO的半徑為r,在RtVOAD2中利用勾股定理得到r2（r20）2402,然后解方程即可.詳解：1如圖1,點O為所求；2連接OA,OC,OC交AB于D,如圖2,qc為Ab的中點，OCAB,1ADBDAB40,2設(shè)eO的半徑為r,則OAr,ODODCDr20,在RtVOAD中，QOA2OD2AD2,222r(r20)40,解得r50,即Ab所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，在利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，要善"把實際問題與數(shù)學(xué)中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題.10.如圖，AD是4ABC的角平分線，以AD為弦的。。交AB、AC于E、F,已知EF//BC.(1)求證：BC是。。的切線；(2)若已知AE=9,CF=4,求DE長；(3)在(2)的條件下，若/BAC=60,求tan/AFE的值及GD長.BD【答案】(1)證明見解析(2)DE=6(3)18m6"5【解析】試題分析：(1)連接od,由角平分線的定義得到/1=/2,得到dedF，根據(jù)垂徑定理得到OD,EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD,BC,于是得到結(jié)論；(2)連接DE,由DEDF，得到DE=DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/3=/4,等量代換得到/1=74,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(3)過F作FHI±BC于H,由已知條件得到/1=/2=/3=/4=30°,解直角三角形得到1——.-.一FH=-DF=-X6=3DH=3J3,CH=JcF2HF2J7，根據(jù)二角函數(shù)的7E乂得到tan/AFE=tanZC=-HF封7;根據(jù)相似三角形到現(xiàn)在即可得到結(jié)論.CH7試題解析：(1)連接OD,,「AD是△ABC的角平分線,/1=72,DeDf，.?.ODXEF,???EF//BC,.?.ODXBC,??.BC是OO的切線；(2)連接DE,■Be3f，，DE=DE???EF//BC,Z3=Z4,Z1=Z3,Z1=Z4,???ZDFgAED,AAED^ADFC,TOC\o"1-5"\h\zAEDE目口9DE,即，DFOFDE4.?.DE2=36,.?.DE=6;(3)過F作FHLBC于H,???ZBAC=60,Z1=Z2=Z3=Z4=30；,-.FH=-DF=-6=3,DH=3石，22??-CH=7cF2HF2而，-/EF//BC,ZC=ZAFE,/“HF3"tanZAFE=tanZC=;CH7???Z4=Z2.ZC=ZC,.1.△ADO^ADFC,ADCDDFCF???Z5=Z5,Z3=Z2,.-.△ADF^AFDG,.A2正DFDG'CDDF目口3V566,即CFDG4DG.DG=18,3605點睛：本題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵11.閱讀下列材料：如圖1,OOi和。O2外切于點C,AB是。O1和。O2外公切線，A、B為切點,求證：AC±BC證明：過點C作OO1和。O2的內(nèi)公切線交AB于D,.「DA、DC是。O1的切線DA=DC.ZDAC=ZDCA.同理/DCB之DBC.又???/DAC+ZDCA+ZDCB+ZDBC=180,???/DCA+ZDCB=90,°即AC±BC.根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)在以上的證明過程中使用了哪些定理？請寫出兩個定理的名稱或內(nèi)容；(2)以AB所在直線為x軸，過點C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖2),已知A、B兩點的坐標(biāo)為(-4,0),(1,0),求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線y=ax23【答案】(1)23【答案】(1)見斛析；(2)y—x-x2；(3)見解析2(3)根據(jù)(2)中所確定的拋物線，試判斷這條拋物線的頂點是否落在兩圓的連心O1O2上，并說明理由.

試題分析：(1)由切線長相等可知用了切線長定理；由三角形的內(nèi)角和是180。，可知用了三角形內(nèi)角和定理；(2)先根據(jù)勾股定理求出C點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的函數(shù)解析式；(3)過C作兩圓的公切線，交AB于點D,由切線長定理可求出D點坐標(biāo)，根據(jù)C,D兩點的坐標(biāo)可求出過C,D兩點直線的解析式，根據(jù)過一點且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點坐標(biāo)代入直線的解析式看是否適合即可.試題解析：(1)DA、DC是eOi的切線，??.DA=DC.應(yīng)用的是切線長定理；DACDCADCBDBC1800，應(yīng)用的是三角形內(nèi)角和定理.(2)設(shè)C點坐標(biāo)為(0,y),則AB2AC2BC2,一22222即414y1y,即25172y2,解得y=2(舍去)或y=-2.故C點坐標(biāo)為(0,-2),1a2h3b-2c2,設(shè)經(jīng)過A、B、C1a2h3b-2c2,16a4bc0則abc0解得c2,TOC\o"1-5"\h\z123故所求二次函數(shù)的解析式為y1x2-x2.22(3)過(3)過C作兩圓的公切線CD交AB于D,則AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(一，0),2設(shè)過CD兩點的直線為y=kx+b,則3一kb0k2解得b2,bb2,4故此一次函數(shù)的解析式為y4x2,34一，---過Q,。2的直線必過C點且與直線y—x2垂直,3，一一一3一故過O1Q2的直線的解析式為y—x2,4由(2)中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標(biāo)為由(2)中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標(biāo)為258),TOC\o"1-5"\h\z33.25代入直線解析式得一一2——,故這條拋物線的頂點落在兩圓的連心。。2上.42812.如圖1,等邊4ABC的邊長為3,分別以頂點B、A、C為圓心，BA長為半徑作AC、Cb、Ba，我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形，顯然萊洛三角形仍然是軸對稱圖形，設(shè)點l為對稱軸的交點.(1)如圖2,將這個圖形的頂點A與線段MN作無滑動的滾動，當(dāng)它滾動一周后點A與端點N重合，則線段MN的長為;(2)如圖3,將這個圖形的頂點A與等邊4DEF的頂點D重合，且AB±DE,DE=2ti,將它沿等邊4DEF的邊作無滑動的滾動當(dāng)它第一次回到起始位置時，求這個圖形在運動過程中所掃過的區(qū)域的面積；(3)如圖4,將這個圖形的頂點B與。O的圓心O重合，。。的半徑為3,將它沿。。的圓周作無滑動的滾動，當(dāng)它第n次回到起始位置時，點I所經(jīng)過的路徑長為(請用含n的式子表示)【答案】(1)3兀;(2)27兀；(3)2Van%.【解析】試題分析：(1)先求出Ac的弧長，繼而得出萊洛三角形的周長為3兀，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出萊洛三角形等邊^(qū)DEF繞一周掃過的面積如圖所示，利用矩形的面積和扇形的面積之和即可；(3)先判斷出萊洛三角形的一個頂點和O重合旋轉(zhuǎn)一周點I的路徑，再用圓的周長公式即可得出.試題解析：解：(1);等邊aABC的邊長為3,，/ABC=/ACB=ZBAC=60°,

603AcBcAb，一兀3一/二=???線段mn的長為180lAclgc1AB=3冗故答案為3兀；(2)如圖1.」.等邊4DEF的邊長為2兀，等邊4ABC的邊長為3,，S矩形aghf=2兀X3=6/2由題意知，AB±DE,AG±AF,/BAG=120°,，S扇形bagm!203-=35圖形在運動過360程中所掃過的區(qū)域的面積為3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6兀+3/=27%;(3)如圖2,連接BI并延長交AC于D.???I是4ABC的重心也是內(nèi)心，??./DAI=30°,ADm^AO3,ADm^AO3,OI=AI=AD2=J3,「?當(dāng)它第1次回到起始位置時，點IcosDAIcos30所經(jīng)過的路徑是以O(shè)為圓心，OI為半徑的圓周，當(dāng)它第n次回到起始位置時，點I所經(jīng)過的路徑長為n?2Tt?J3=2石nn.故答案為2目口.：1：1點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了弧長公式，萊洛三角形的周長，矩形，扇形面積公式，解(1)的關(guān)鍵是求出AC的弧長，解(2)的關(guān)鍵是判斷出萊洛三角形繞等邊4DEF掃過的圖形，解(3)的關(guān)鍵是得出點I第一次回到起點時，I的路徑，是一道中等難度的題目.13.我們知道，如圖1,AB是。O的弦，點F是AFB的中點，過點F作EF±AB于點E,易得點E是AB的中點，即AE=EB.OO上一點C(AC>BC),則折線ACB稱為OO的一條折弦”.(1)當(dāng)點C在弦AB的上方時(如圖2),過點F作EF±AC于點E,求證：點E是折弦ACB'的中點，即AE=EC+CB(2)當(dāng)點C在弦AB的下方時(如圖3),其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么AE、EGCB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明.(3)如圖4,已知RtAABC中，/C=90°,ZBAC=30°,Rt^ABC的外接圓。。的半徑為2,過。O上一點P作PH,AC于點H,交AB于點M,當(dāng)/PAB=45°時，求AH的長.

圖1圖2C圖3及4【答案】(1)見解析；(2)結(jié)論AE=EC+C環(huán)成立，新結(jié)論為：C曰BC+AE見解析；AH的長為出T或邪+1.【解析】【分析】(1)在AC上截取AG=BC,連接FA,FG,FB,FC,證明△FA84FBC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=FC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=EC,即可證明.(2)在CA上截取CG=CB,連接FA,FB,FC,證明△FC84FCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=FB,得到FA=FG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE=GE,即可證明.(3)分點P在弦AB上方和點P在弦AB下方兩種情況進行討論.【詳解】解：(1)如圖2,在AC上截取AG=BC,連接FA,FG,FB,FC,丁點F是AFB的中點，F(xiàn)A=FB,在4FAG和4FBC中，F(xiàn)AFBFAGFBCAGBC,..△FA?△FBC(SA§,FG=FC,/FEIAC,EG=EC,，AE=AG+EG=BC+CE(2)結(jié)論AE=EC+C必成立，新結(jié)論為：CE=BC+A耳理由：如圖3,在CA上截取CG=CB,連接FA,FB,FC,丁點f是即8的中點，?1?FA=FB,PaRb，ZFCG=ZFCBCGCB在AFCG和AFCB中，F(xiàn)CGFCBFCFC,.-.△FC(^AFCB(SA5,FG=FB,FA=FG,FE±AC,.?.AE=GE,??.CE=CG+G2BC+AE(3)在Rt^ABC中，AB=2OA=4,ZBAC=30,BC-AB2,AC273,2當(dāng)點P在弦AB上方時，如圖4,在CA上截取CG=CB,連接PAPB,PG,??/ACB=90；?.AB為。。的直徑，/APB=90；??/PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,/PCG=/PCB,CGCB在APCG和APCB中，PCGPCBPCPC,.,.△PCG^APCB(SAS,PG=PB,PA=PG,.PHXAC,.?.AH=GH,AC=AH+GH+CG=2AH+BC,2^32AH2,AH61,當(dāng)點P在弦AB下方時，如圖5,在AC上截取AG=BC,連接PA,PB,PC,PG???/ACB=90；?.AB為。。的直徑，/APB=90；??/PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,在^PAG和^PBC中，AGBCPAGPBCPAPB,?.△PAG^APBC(SAS,

PG=PC,?.PHXAC,.?.CH=GH,AC=AG+GH+C莊BC+2CH2422CH,???CH.31,AHACCH2,3.31,31,即：當(dāng)/PAB=45。時，AH的長為J31或J31【點睛】考查弧，弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性比較強，注意分類討論思想方法在解題中的應(yīng)用^14.結(jié)果如此巧合！下面是小穎對一道題目的解答.題目：如圖，Rt^ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積.解：設(shè)4ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點E、F,CE的長為x.根據(jù)切線長定理，得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x根據(jù)勾股定理，得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理，得x2+7x=12.所以S\ab」所以S\ab」AC?BC21212(x+3)(x+4)(x2+7x+12)1,、二-X(12+12)2=12.小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3X4即4ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?請你幫她完成下面的探索.已知：4ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,BD=n.可以一般化嗎？(1)若/C=90,求證：△ABC的面積等于mn.倒過來思考呢？(2)若AC?BC=2mn,求證/C=90.改變一下條件……(3)若/C=60,用m、n表示4ABC的面積.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解