1981年~2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題分類匯編（11）復(fù)數(shù)（Word版含答案）

PAGE1981年~2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題分類匯編復(fù)數(shù)部分2019A11、稱一個復(fù)數(shù)數(shù)列為“有趣的”，若，且對任意正整數(shù)，均有，求最大的常數(shù)，使得對一切有趣的數(shù)列及任意正整數(shù)，均有?！锝馕觯嚎紤]有趣的復(fù)數(shù)數(shù)列．歸納地可知．由條件得（），解得（），因此，故（）①進而有②記（）則當為偶數(shù)時，記，由②得。當為奇數(shù)時，記，由①②得，故當時，，綜上知滿足要求。另一方面，當，，（），時，易驗證得為“有趣的”數(shù)列，此時，這表明，綜上知。2019B11.（本題滿分20分）設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列滿足：，且對任意正整數(shù)，均有，證明：對任意正整數(shù)，均有?！镒C明：歸納地可知．由條件得（），解得（），因此，故（）①進而有②記（）則當為偶數(shù)時，記，由②得。當為奇數(shù)時，記，由①②得，故綜上知結(jié)論獲證。2018A6、設(shè)復(fù)數(shù)滿足，使得關(guān)于的方程有實根，則這樣的復(fù)數(shù)的和為◆答案：★解析：設(shè)（，且）則原方程變?yōu)?，所以，①若，則，解得，檢驗得，，，即；②若，則由知或，檢驗得：，代入得，，所以；綜上滿足條件的所有復(fù)數(shù)之和為2018B8、已知復(fù)數(shù)滿足，，其中是給定的實數(shù)，則的實部是（用含有的式子表示）◆答案：★解析:記，由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)可知：，，，因此。于是解得。 2017A11、（本題滿分20分）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，且，（其中表示復(fù)數(shù)的實部）⑴求的最小值；⑵求的最小值?！锝馕觯孩艑?，設(shè)，（），由條件知，，因此：又當時，，這表明的最小值為。⑵對于，設(shè)，（），將對應(yīng)到平面直角坐標系中的點，記是關(guān)于軸的對稱點，則，均位于雙曲線的右支上。設(shè)分別是雙曲線的左右焦點，易知。根據(jù)雙曲線的定義，有,，進而得到:,等號成立當且僅當位于線段上（例如，當時，恰是的中點）。綜上可知，的最小值為。2017B2、設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的值為◆答案：★解析：設(shè)，由條件得，比較兩邊實虛部可得，解得：，故，進而.2016A2、設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，其中是虛數(shù)單位，，分別表示復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)，則的模為◆答案：★解析：由運算性質(zhì)，，因為與為實數(shù)，，故，，又，所以，從而因此，的模為．2016B3、已知復(fù)數(shù)滿足（表示的共軛復(fù)數(shù)），則的所有可能值的積為◆答案：★解析：設(shè)由知，比較虛、實部得又由知，從而有即，進而于是，滿足條件的復(fù)數(shù)的積為2015A3、已知復(fù)數(shù)數(shù)列滿足，，其中為虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，則的值為◆答案：2015+1007i．★解析：由己知得，對一切正整數(shù)n，有,于是．2006*8、對一切，復(fù)數(shù)的模不超過，則實數(shù)的取值范圍為◆答案：★解析：依題意，得（）（對任意實數(shù)成立）.故的取值范圍為。2002*7、已知復(fù)數(shù)滿足,若它們所對應(yīng)向量的夾角為,則◆答案：★解析：由余弦定理得,,可得=2001*8、若復(fù)數(shù)滿足，，則◆答案：★解析：由3z1-2z2==可得．本題也可設(shè)三角形式進行運算．2000*6、設(shè)，則以為根的方程是()

A.B.C.D.◆答案：B★解析：由于，故都是方程的根．又．選B．1999*8、已知，那么，復(fù)數(shù)的輻角主值是______◆答案：★解析：的輻角主值。1999*二、（本題滿分50分）給定實數(shù)，已知復(fù)數(shù)滿足：，求的值。★解析：記，則設(shè)，，則，根據(jù)題設(shè)得，則其虛部（利用和差化積公式）即，得或或，，所以或或，①若，代入原式得，得或，此時。②若，同理可得，③若，同理可得，，綜上所述，值有或或。1998*8、設(shè)復(fù)數(shù)()，復(fù)數(shù),,在復(fù)平面上對應(yīng)的三個點分別是，當不共線時，以線段，為兩邊的平行四邊形的第四個頂點為，則點到原點距離的最大值是_______.◆答案：★解析：因為,即∴．即當，即時，取得最大值．1998*13、（本題滿分20分）已知復(fù)數(shù)()，求的共軛復(fù)數(shù)的輻角主值?！锝馕觯杭串敃r，即1997*9、已知復(fù)數(shù)滿足，則的幅角主值范圍是．◆答案：，（）★解析：記，則等價于，這個等式成立等價于關(guān)于的二次方程有正根．所以，解得。即．所以，（）∴輻角主值為．1997*15、（本題滿分20分）設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足：，其中為實數(shù)，。求證：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于同一圓周上?！镒C明：設(shè)，則由下式得．得或，故，或．⑴若，則得．即．∴由已知，有，且．令，()．則，所以，又，即，所以，故()∴．再令，()．同理可得或．若，則為實數(shù)．此時．此時，或．此時，由，知．此時，．若，仍有，故此五點在同一圓周上．⑵若．即，∴．此時，即此五點在同一圓上．綜上可知，表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上．1996*8、復(fù)平面上非零復(fù)數(shù)在以為圓心為半徑的圓上，的實部為零，的輻角主值為，則____________．◆答案：★解析：滿足；，得，．設(shè)的輻角為()，則．所以，若其實部為0，則，于是，。1995*2、設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正邊形的個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的不同的點的個數(shù)是()A.B.C.D.◆答案：A★解析：設(shè)，則，其中．顯然．∴．∴共有4個值．選A．1995*7、設(shè)為一對共軛復(fù)數(shù)，若，且為實數(shù)，則_____．◆答案：★解析：設(shè)，()，則．∴．設(shè)，則可取，(因為只要求，故不必寫出所有可能的角)．則，于是．．1994*一、（本題滿分25分）關(guān)于的二次方程，其中均是復(fù)數(shù)，且，設(shè)這個方程的兩個根為，滿足，求的最大值和最小值。★解析：設(shè)()．則．設(shè)的平方根為．()，即．，即，所以，即，即表示復(fù)數(shù)的點在圓上，該點與原點距離的最大值為，最小值為．1993*6、設(shè)為非零復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則方程與在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(為焦點)是()◆答案：B★解析：方程①為橢圓，②為雙曲線的一支．二者的焦點均為，由①，故否定A，由于為橢圓的長軸，而C中兩個焦點與原點距離(分別表示)均小于橢圓長軸，故否定C．由B與D知，橢圓的兩個個焦點都在軸負半軸上，由為長軸，知，于是，．曲線上一點到距離大，否定D，故選B．1993*7、二次方程(為虛數(shù)單位，)有兩個虛根的充分必要條件是的取值范圍為________．◆答案：★解析：即此方程沒有實根的條件．當時，此方程有兩個復(fù)數(shù)根，若其有實根，則，且．相減得．當時，此二方程相同，且有兩個虛根．故在取值范圍內(nèi)．當時，，代入得．即時，原方程有實根．故所求范圍是．1993*9、若，，，則的值是________．◆答案：★解析：如圖，可知表示復(fù)數(shù)．∴．1992*5、設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為，且，，為坐標原點，則的面積為()A.B.C.D.◆答案：A★解析：注意到．∴，的夾角為．所以．選A．1992*10、設(shè)都是復(fù)數(shù)，且，則的值是______．◆答案：★解析：,即，∴或．∴．1991*11．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，則．◆答案：★解析：由，得．由于，故．∴．故．1990*5．設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足，則代數(shù)式的值是()A.B.C.1D.以上答案都不對◆答案：B★解析：記或，其中．．且．若，則得．若，則得．選B．1989*1．若是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限◆答案：B★解析：由于．故，所以，．故,．即點位于第二象限．選B1988*11、（本題滿分15分）復(fù)平面上動點的軌跡方程為，為定點，，另一個動點滿足，求點的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置?！锝馕觯海实?，即．．即以為圓心為半徑的圓．1986*2、設(shè)為復(fù)數(shù)，，那么()A．B．C．eq\o(\s\up3(ì),\s\do3(1))eq\o(\s\up3(ì),\s\do3(1))D．◆答案：B★解析：即，即，得或，即為實數(shù)．選B1985*5、設(shè)為