人教版初中數(shù)學競賽專題復習計劃《第10章四邊形》競賽專題復習計劃含

精選文檔精選文檔精選文檔第10章四邊形§10.1平行四邊形與梯形★如圖(a)，在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，已知△ABC是等邊三角形，ADC30，AD3，BD5，求邊CD的長．DDAA

BCBCE(a)(b)解析如圖(b)，以CD為邊向四邊形ABCD外作等邊△CDE，連結(jié)AE．因為ACBC，CDCE，BCDBCAACDDCEACDACE．所以△BCD≌△ACE，從而BDAE．又因為ADC30，BD5，AD3，于是ADE90，從而在Rt△ADE中，DEAE2AD24．所以CD4．★在ABCD中，AB2AD，F(xiàn)為AB中點，CEADD交AD(或延伸線)于E．求證：BFE3AEF．解析如圖，取CD中點G，連結(jié)FG、CF．AFBEDGC易知四邊形ADGF與FGCB均為菱形，F(xiàn)G垂直均分CE，于是EFGCFGCFB，于是BFE3EFG3AEF．★AD、BE、CF是△ABC的三條中線，F(xiàn)G∥BE，EG∥AB,四邊形ADCG是平行四邊形．解析如圖，連結(jié)EF，則EF是中位線．AG

FE

BDC

由條件知EG∥BF，故EG∥AF，于是AG∥EF∥CD，故結(jié)論成立．

★延伸矩形ABCD的邊CB到E，使CECA，F(xiàn)是AE的中點，求證：BFFD．解析如圖，取BD中點G，連結(jié)FG，則FG1ADBE1CE1CA1BD，于是BFFD．2222ADADFG

EBCBC題題

★菱形ABCD中，BDAC23，BAD120，求菱形的面積．解析如圖，易知△ABC與△ACD均為正三角形．設(shè)菱形邊長為x，則由BAD120，得BD3x，ACx，所以31x23，x31，因2此菱形面積為1BDAC3x2233．224★在梯形ABCD中，AD∥BC，中位線MN分別交AB、CD、AC、BD于M、N、P、Q，若延伸AQ、DP的交點正好位于BC上，求BC．ADAD

MQPN

BRC解析設(shè)AQ、DP延伸后交于R，且R在BC上，則由中位線知AD2PQ，AD2PN，BC2QN，故BC2．AD

★★四邊形ABCD中，ABC135，BCD120，AB6,BC53，CD6，求AD．解析以以下列圖，作AFBC，DEBC分別交BC所在直線于F、E，作FG∥AD交DE于G，則△AFB為等腰直角三角形，AFB90，AB6，故FBAF3；DEC90，DCE60，

CD6，故CE3，DE33．

BC

FE

A

G

D

所以EFFBBCCE35338，GEDEDGDEAF33323．從而ADFGEF2EG2219．★★★已知△ABC中，A90，D是BC上一點，D關(guān)于AB、AC的對稱點分別為F、E，若BECF,AD1BC．2解析如圖，連結(jié)AF、AE、BF、CE．AEF

BDC由對稱，有FADEAD2BAD2CAD180，故F、A、E共線．又BFEFECADBADC180，故FB∥EC，而BECF，所以梯ECBF為等腰梯形．又AFAD11．AE，于是ADEFBC22★★將梯形的各個極點均作關(guān)于不包括該極點的對角線的對稱點，證明：假如所獲得的四個像點也形成四邊形，則必為一個梯形．

B'C'ADOBCA'D'解析如圖，AD∥BC，A、B、C、D關(guān)于對對付角線的對稱點分別為A′、B′、C′、D′．設(shè)AC、BD交于O，連結(jié)A′O、B′O、C′O、D′O．則A′OB=AOBCODC′OD，故A′、O、C′共線，且AOAO，同理B′、O、′共線，BOBO，所以由BOCOCOCODODODOAO得BOCO1．DOAO故如A′、B′、C′、D′不位于同向來線上，則A′D′∥B′C′，即A′B′C′D′成梯形．★已知：直角梯形ABCD，AD∥BC，ABBC，ABBC，E是AB上一點，AEAD，CEB75，求ECD．

AD

EBC解析如圖，連結(jié)AC，則由ABBC，ABBC，得BAC45DAC．又AEAD，故△AEC≌ADC，ECCD．又DEC180754560，故△DEC為正三角形，于是ECD60．★★在四邊形ABCD中，A60，BD90，AB2，CD1，求BC、AD和BD的長．ADBCE解析如圖，延伸AD、BC至E，則DCE60，CE2CD2．又A60，故BE23，BC232，又AE4，CE3，故AD43．至于求BD，有多種方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A、B、C、D四點共圓的性質(zhì)：22AC2322523，BDACsin601563．210.2正方形

★在正方形ABCDBC的中點，F(xiàn)為CD上的點，且AFBCCF中，E為．求證：BAF2BAE．AD

FBCE

P

解析

如圖，延伸

AE

、

DC

，設(shè)

交于

P

，則

BE

C得E

CP

AB

BC

，

FPFCCPFCBC

★正方形邊長等于

AF．于是BAEPFAP，即BAF2BAE．

1，經(jīng)過它的中心引一條直線，求正方形的四個極點到這條直線的距離平方

和的取值范圍．

ADMOlNBC解析如圖，設(shè)O是正方形ABCD的中心，l經(jīng)過O，AM、DN分別與l垂直于M、N．因為MAO90AOMDON，AOOD，故△AMO≌△OND，AM2DN2AM2MO2AO21．2對B、C的垂線也有近似結(jié)論，所以所求距離的平方和是常數(shù)1．★正方形ABCD的對角線交于O，BAC的均分線交BD于G，交BC于F，求證：OGCF．2解析如圖，作OE∥FC，交AF于E，OE為△ACF中位線，CF2EO．問題變成證明EOGO．因為么GEO45OAFFAF45OGE，于是結(jié)論成立．AD

O

G

BCF

★設(shè)M、N分別為正方形ABCD的邊AD、CD的中點，且CM與BN交于P，求證：PAAB．解析如圖，由MDCN知△BNC≌△CMD，故PBCPCBNCMPC9B0，故CMBN．延伸CM、BA，設(shè)交于Q，則QACDAD，A為直角三角形QPB斜邊BQ之中點，于是APAB．

Q

MAD

N

P

BC題

★已知兩個正方形ABCD、AKLM(極點均依據(jù)順時針方向擺列)，求證：這兩個正方形的中心和BM、DK的中點構(gòu)成一個正方形．

KL

R

S

A

M

DQPB

C題

解析如圖，設(shè)DB、BM、MK、KD的中點分別為P、Q、R、S．因為DAAB，AKAM，DAM90BAMBAK，于是△DAM≌△BAK，由此得KB與DM垂直且相等．因為SR∥1DM∥PQ，SP∥1KB∥RQ，故四邊形PQRS為正方形．22★★M是正方形ABCD內(nèi)一點，若MA2MB2AB2，CMB90，求MCD．2AN2BN2AM2BM2AB2解析如圖，作MNAB于N，則,2ANBNAB,

AD

M

N

BCL

解得AN31AB．4AB，BN4沒關(guān)系設(shè)AN3，BN3，MNx，則DM2AN2AD29(4x)2，MNCM2BN2(CMMN)2214x，CMD90，知DM2CM2CD2，即1024x23．由條件16，解得x4又作MLBC于L，于是LC4x3，MLNB1，故MCDLMC60．★O是正方形ABCD的兩對角線的交點，P是BD上異于O的任一點，PEAD于E，PFAB于F，G是EO的延伸線和BC的交點，求OFG．AEDFPO

BGC解析如圖，易知AFEPED，AODO，F(xiàn)AO45EDO，于是△AFO≌△DEO≌△BGO，于是OFOG，AOB90FOG，故△OFG為等腰直角三角形，OFG45．★★K是正方形ABCD的邊AB的中點，點L分對角線AC的比為AL:LC3，證明：KLD90．解析連結(jié)BL，由正方形關(guān)于AC對稱，知BLDL．又作LJAB于J，由AL3LC，易知JB11ABKB，故J為KB中點，JL垂直均分KB，于是42LKLB，LKBLBKADL，或AKLADL180,故KLD90．AEDFPOBGC★已知△ABC，向外作正方形ABEF和ACGH．直線AK垂直BC于K，反向延伸交FH于M，求證：M是FH的中點．解析如圖，作FQ、HP分別與直線KA垂直，垂足為Q、P．PHMFQAGEBKC易見，QFA90QAFBAK，又FQA90AKB，F(xiàn)AAB，故有△AQF≌△BKA，F(xiàn)QAK，同理PHAK，于是FQPH，F(xiàn)MMH．★已知：正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，AGEF于G．若EAF45，求證：AGAB．反之，若AGAB，則EAF45．解析如圖，延伸CB至H，使BHDF，連結(jié)AH，則△AHB≌△AFD，HAFBAD90，HAE904545EAF，又AHAF，AEAE，故△AHE≌△AFE，AB、AG為其對應邊上的高，于是AGAB．

ADFGHBEC反之，若AGAB，則≌，EAGBAE，同理，F(xiàn)AGDAF，于是Rt△ABERt△AGEEAF1BAD45．2★★在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，D90，BCCD12，E在邊CD上，ABE45，若AE10，求CE的長．解析延伸DA至M，使BMBE過B作BGAM，G為垂足．易知四邊形BCDG為正方形，所以BCBG．又CBEGBM，Rt△BEC≌Rt△BMG，故BMBE．又ABEABM45，故△ABE≌△ABM，AMAE10．設(shè)CEx，則AG10x，AD1210x2x，DE12x．在Rt△ADE中，AE2AD2DE2，故100x212210x240，解之，得x14，2x，即x2x26．故CE的長為4或6．DAGMECB★★在正方形ABCD的邊BC上任取一點M，過C作CQDM于Q，且延伸交AB于N，設(shè)正方形對角線的交點為O，連結(jié)OM、ON，求證：OMON．解析如圖，易知MDCNCB，故△DMC≌△C