機械振動基礎(chǔ)課件

1機械振動基礎(chǔ)主講：姜芳電話：62338144-118郵箱：jf0620@機械振動基礎(chǔ)1機械振動基礎(chǔ)主講：姜芳機械振動基礎(chǔ)2

圖示機構(gòu)(13-16.swf)，物塊質(zhì)量為m，用不計質(zhì)量的細(xì)繩跨過滑輪與彈簧相聯(lián)。彈簧原長為l0，剛度系數(shù)為k，質(zhì)量不計?；喌陌霃綖镽，轉(zhuǎn)動慣量為J。不計軸承摩擦。

試建立:系統(tǒng)的運動微分方程。例12-11

§12-4

功率·功率方程·機械效率2圖示機構(gòu)(解：設(shè)彈簧由自然位置(原長)伸長任一長度s。滑輪，物塊，則有：

§12-4功率、功率方程、機械效率彈其中，解：設(shè)彈簧由自然位置(原長)伸長任一長度s?；?，代入功率方程，即整理，得相對于坐標(biāo)s

的運動微分方程為：

§12-4功率、功率方程、機械效率系統(tǒng)自由振動微分方程代入功率方程，即整理，得相對于坐標(biāo)s的運動微分方程為：平衡位置以平衡位置為參考點，物體下降x時彈簧的伸長量為：令系統(tǒng)平衡時彈簧的伸長量為，則。即系統(tǒng)自由振動微分方程對坐標(biāo)s的運動微分方程：代入上述方程中，得平衡位置以平衡位置為參考點，令系統(tǒng)平衡時彈簧的伸長量為6（1）相對于彈簧原長伸長s，系統(tǒng)的運動微分方程為：

§13-4

功率、功率方程、機械效率（2）相對于系統(tǒng)平衡狀態(tài)伸長x，系統(tǒng)的運動微分方程為：平衡位置√6（1）相對于彈簧原長伸長s，系統(tǒng)的運動微分方程為：§13778主要內(nèi)容1、機械振動概述；2、單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動；3、單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動。機械振動基礎(chǔ)8主要內(nèi)容1、機械振動概述；機械振動基礎(chǔ)9第一節(jié)機械振動概述機械振動基礎(chǔ)9第一節(jié)機械振動基礎(chǔ)101.1機械振動概述振動是是自然界中常見的現(xiàn)象！1.1機械振動概述

心臟的搏動、耳膜和聲帶的振動等汽車、火車、飛機及機械設(shè)備的振動家用電器、鐘表的振動地震以及聲、電、磁、光的波動等

股市的升跌和振蕩等101.1機械振動概述振動是是自然界中常見的現(xiàn)象！1.11振動的嚴(yán)格定義：圍繞某一固定位置來回往復(fù)運動，并隨時間變化的運動。機械振動：力學(xué)量隨時間的變化來回往復(fù)地運動。振動？機械振動？1.1機械振動概述11振動？機械振動？1.1機械振動概述12

運載工具的振動；噪聲；機械設(shè)備以及結(jié)構(gòu)的破壞；地震；降低機器及儀表的精度。振動的災(zāi)害12運載工具的振動；振動的災(zāi)害13

琴弦振動；振動的利用

振動沉樁、振動拔樁以及振動搗固等;

振動壓路機;

振動成型機、給料機等。13琴弦振動；振動的利用振動沉樁、振動拔樁1.2振動系統(tǒng)

振動系統(tǒng):

可以產(chǎn)生機械振動的力學(xué)系統(tǒng)。任何具有彈性和慣性的力學(xué)系統(tǒng)均可以產(chǎn)生機械振動。

振動系統(tǒng)的三要素:

激勵、系統(tǒng)和響應(yīng)1.2振動系統(tǒng)系統(tǒng)激勵輸入響應(yīng)輸出1.2振動系統(tǒng)

振動系統(tǒng):可以產(chǎn)生機械振動的力學(xué)系15振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）√已知：外界激勵和系統(tǒng)參數(shù)，1．響應(yīng)分析√?1.3

振動系統(tǒng)的三類問題求：系統(tǒng)的響應(yīng)。位移、速度、加速度等1.2振動系統(tǒng)15振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）√已知：外界激勵和系統(tǒng)參162．系統(tǒng)設(shè)計和系統(tǒng)辨識系統(tǒng)已經(jīng)存在，需要根據(jù)測量獲得的激勵和響應(yīng)識別系統(tǒng)參數(shù)，以便更好地研究系統(tǒng)的特性.系統(tǒng)尚不存在，需要設(shè)計合理的系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)在已知激勵下達(dá)到給定的響應(yīng)水平.1.2振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）求:系統(tǒng)參數(shù)。？已知:

系統(tǒng)的激勵和響應(yīng);√√162．系統(tǒng)設(shè)計和系統(tǒng)辨識系統(tǒng)已經(jīng)存在，需要根據(jù)測量獲得的激17振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）3．環(huán)境預(yù)測已知:

系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)響應(yīng)，確定:

系統(tǒng)的激勵.?√√1.2振動系統(tǒng)17振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）3．環(huán)境預(yù)測已知:系統(tǒng)18

振動的物理模型：（1）單自由度系統(tǒng)；（2）多自由度系統(tǒng)；（3）連續(xù)體系統(tǒng)。

振動的分類（按振動產(chǎn)生的原因）：（1）自由振動：（2）受迫振動：1.3振動模型與分類自由度

:確定系統(tǒng)在振動過程中任何瞬時的幾何位置所需的獨立坐標(biāo)的數(shù)目.1.3振動模型系統(tǒng)在持續(xù)外激勵作用下的振動。系統(tǒng)僅受初始激勵產(chǎn)生的振動；18振動的物理模型：（1）單自由度系統(tǒng)；振動的分類（按振19第二節(jié)單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動機械振動基礎(chǔ)19第二節(jié)機械振動基礎(chǔ)20無阻尼自由振動自由振動：系統(tǒng)僅受到初始條件（初始力、初始的位移）的激勵而產(chǎn)生的振動。系統(tǒng)的無阻尼自由振動是對實際問題的理論抽象，是一種理想條件，實際的系統(tǒng)都有阻尼。如果現(xiàn)實世界沒有阻止運動能力的話，整個世界將處于無休止的振動中?！?

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動20無阻尼自由振動自由振動：系統(tǒng)僅受到初始條件（初始力、初始21Fig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型l0δstkmmOx2.1振動模型mmmgFmmxkm

mmmgFNm

§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動21Fig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型l0δstk222.2振動微分方程以靜平衡位置為坐標(biāo)原點，由牛頓第二定律，有其中，（*）（*）式簡化為：即：令：則：

單自由度無阻尼自由振動的微分方程

，固有圓頻率l0δstkmmOxmmmgFmmxFig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動222.2振動微分方程以靜平衡位置為坐標(biāo)原點，由牛頓第232.1振動微分方程——

固有圓頻率

單自由度無阻尼自由振動的微分方程方程的解：其中，為積分常數(shù)，由運動初始條件確定。簡諧振動或位移可以表示為時間的簡諧函數(shù)（正弦或余弦）l0δstkmmOxmmx§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動232.1振動微分方程——固有圓頻率單自由度無阻24三角公式推導(dǎo)根據(jù)三角函數(shù)公式令：則：令：24三角公式推導(dǎo)根據(jù)三角函數(shù)公式令：則：令：25§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.2振動的特點

周期函數(shù)：

周期，單位為秒（s）。

頻率，單位為赫茲（Hz）。單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。

：表示秒內(nèi)振動的次數(shù)。

，系統(tǒng)的固有圓頻率。－圓頻率2.1振動微分方程：§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動25§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.2振動的特26

振幅：－相對于振動中心O點的最大位移。

相位（相位角）：

初相位：說明：為待定積分常數(shù)，由初始條件確定。2.2振動的特點§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.1振動微分方程：§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動初始條件26振幅：－相對于振動中心O點的最大位移。相位（相位角）27

質(zhì)點的速度與加速度：2.2振動的特點§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.1振動微分方程：§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動27vtxa2468101214-1-0.50.51Fig.2vxa27質(zhì)點的速度與加速度：2.2振動的特點§2單自28練習(xí)1

圖示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，已知：彈簧的剛度系數(shù)為k，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m，將質(zhì)量塊緩慢向下移動a0后，在t=0的時刻突然放開。試求質(zhì)量塊的運動規(guī)律。mFig.3kmmOxa0§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動28練習(xí)1圖示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，已知：彈簧的29無阻尼自由振動:慣性體由于任何外力原因離開平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢復(fù)力作用，慣性體將在平衡位置附近按照其固有頻率進(jìn)行簡諧振動。由于沒有能量耗散，系統(tǒng)的機械能保持守恒。振動無限期的進(jìn)行下去。

有阻尼自由振動:對于實際的振動系統(tǒng)，由于不可避免的存在各種阻尼，振動系統(tǒng)的機械能不斷轉(zhuǎn)化為其他形式的能，造成振幅衰減，以致最后振動完全停止。§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動29無阻尼自由振動:慣性體由于任何外力原因離開平衡位置之后30第三節(jié)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動機械振動基礎(chǔ)30第三節(jié)機械振動基礎(chǔ)313.1單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動模型Fig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型l0δstkmmOxmmxFig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxckckm

阻尼§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動313.1單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動模型Fig.132Fig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxck1.阻尼：振動過程中的阻力。－介質(zhì)間摩擦力引起的介質(zhì)阻尼；－材料變形產(chǎn)生的材料內(nèi)阻尼；－接觸面摩擦產(chǎn)生的摩擦阻尼；－電磁作用產(chǎn)生的電磁阻尼。我們將要討論的阻尼類型：粘性阻尼：（粘性）阻尼系數(shù)。3.1單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動模型§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動32Fig.4單自由度系統(tǒng)mOxmxck1.阻尼：振33Fig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxck3.2振動微分方程mmmgF1F2以靜平衡位置為坐標(biāo)原點，x軸向下為正，有（*）（*）式簡化為：整理上式：令：則：其中，

單自由度有阻尼自由振動的微分方程§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動33Fig.4單自由度系統(tǒng)mOxmxck3.2振動微34Fig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxck

振動微分方程的解微分方程的解設(shè)為：，該特征方程的兩個根為：故微分方程的通解為：特征方程可以有三種情況：（1）兩個不等的負(fù)實根；（2）兩個相等的負(fù)實根；（3）一對共軛復(fù)根。系統(tǒng)的特征方程為：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動34Fig.4單自由度系統(tǒng)mOxmxck振動微分方程35臨界阻尼系數(shù)

使特征方程有兩個相等負(fù)實根的阻尼系數(shù)值，稱為臨界阻尼系數(shù)（criticaldampingcoefficient）記為，

特征方程的兩個根為：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動35臨界阻尼系數(shù)使特征方程有兩個相等負(fù)實根的阻尼系數(shù)值，稱36阻尼比

阻尼比,又稱相對阻尼系數(shù)。無量綱,是一個重要的振動參數(shù)。

，表征一個振動系統(tǒng)阻尼的大?。?/p>

，表示大阻尼/超臨界阻尼/強阻尼；，表示臨界阻尼，，表示小阻尼。

36阻尼比37原來的微分方程可以改寫成：特征根：3.3微分方程和解的另一種表達(dá)方式§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動37原來的微分方程38（1），超臨界阻尼/強阻尼的情形.方程的兩個特征根均為實數(shù)，與初始條件有關(guān)，

特征根：3.4討論方程的通解為：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動38（1），超臨界阻尼/強阻尼的情形.39大阻尼系統(tǒng)的運動特點：大阻尼的運動不是振動，而是一種非周期性的指數(shù)衰減。§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動C1C2x(t)tFig.539大阻尼系統(tǒng)的運動特點：大阻尼的運動不是振動，而是一種非周40（2），臨界阻尼的情形.代入初始條件得，

特征根：3.4討論方程的通解為：臨界阻尼系統(tǒng)的運動特點：臨界阻尼下的系統(tǒng)的運動也不是振動，但在相同的條件下，臨界阻尼系統(tǒng)的自由運動最先停止，因此，儀表都將系統(tǒng)的阻尼設(shè)置為臨界阻尼。

§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動40（2），臨界阻尼的情形.代入初始條件41特征方程的根為：（3），小阻尼的情形.令：－有阻尼系統(tǒng)的固有頻率微分方程的解可寫為：特征根：代入初始條件，有§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動41特征方程的根為：（3），小阻尼的情形如圖所示的為衰減振動。在時，物體的運動曲線和曲線相切，在

切點的x值的絕對值

稱為振幅。42

小阻尼的運動曲線123456Fig.6小阻尼振動曲線§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動如圖所示的為衰減振動。在43

小阻尼的周期與頻率頻率：周期：

振幅衰減律§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動43小阻尼的周期與頻率頻率：周期：振幅衰減律§3單自44前后相鄰的任意兩次振動的振幅之比的自然對數(shù)，稱為對數(shù)衰減率，記為：

對數(shù)衰減率δ

當(dāng)?shù)臅r，有.

由于：,可得：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動44前后相鄰的任意兩次振動的振幅之比的自然對數(shù)，稱為對數(shù)衰減45

對數(shù)衰減率δ

的作用

實測和,計算得到：tTdA1A2A3A4A5A6§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動45對數(shù)衰減率δ的作用實測和,46

對數(shù)衰減率δ

的作用

求阻尼比：

實測和,計算得到.

求粘性阻尼系數(shù)：

求無阻尼系統(tǒng)的固有圓頻率或固有頻率：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動46對數(shù)衰減率δ的作用求阻尼比：實測47

對數(shù)衰減率δ

的作用

求阻尼比.

實測和,計算得到.

求粘性阻尼系數(shù).

求無阻尼系統(tǒng)的固有圓頻率或固有頻率

.

求：

求無阻尼系統(tǒng)的固有周期：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動47對數(shù)衰減率δ的作用求阻尼比.實測48機械振動基礎(chǔ)THEEND.Happynewyeartoyou!48機械振動基礎(chǔ)THEEND.Happynewyea49機械振動基礎(chǔ)主講：姜芳電話：62338144-118郵箱：jf0620@機械振動基礎(chǔ)1機械振動基礎(chǔ)主講：姜芳機械振動基礎(chǔ)50

圖示機構(gòu)(13-16.swf)，物塊質(zhì)量為m，用不計質(zhì)量的細(xì)繩跨過滑輪與彈簧相聯(lián)。彈簧原長為l0，剛度系數(shù)為k，質(zhì)量不計?；喌陌霃綖镽，轉(zhuǎn)動慣量為J。不計軸承摩擦。

試建立:系統(tǒng)的運動微分方程。例12-11

§12-4

功率·功率方程·機械效率2圖示機構(gòu)(解：設(shè)彈簧由自然位置(原長)伸長任一長度s?；?，物塊，則有：

§12-4功率、功率方程、機械效率彈其中，解：設(shè)彈簧由自然位置(原長)伸長任一長度s?；?，代入功率方程，即整理，得相對于坐標(biāo)s

的運動微分方程為：

§12-4功率、功率方程、機械效率系統(tǒng)自由振動微分方程代入功率方程，即整理，得相對于坐標(biāo)s的運動微分方程為：平衡位置以平衡位置為參考點，物體下降x時彈簧的伸長量為：令系統(tǒng)平衡時彈簧的伸長量為，則。即系統(tǒng)自由振動微分方程對坐標(biāo)s的運動微分方程：代入上述方程中，得平衡位置以平衡位置為參考點，令系統(tǒng)平衡時彈簧的伸長量為54（1）相對于彈簧原長伸長s，系統(tǒng)的運動微分方程為：

§13-4

功率、功率方程、機械效率（2）相對于系統(tǒng)平衡狀態(tài)伸長x，系統(tǒng)的運動微分方程為：平衡位置√6（1）相對于彈簧原長伸長s，系統(tǒng)的運動微分方程為：§1355756主要內(nèi)容1、機械振動概述；2、單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動；3、單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動。機械振動基礎(chǔ)8主要內(nèi)容1、機械振動概述；機械振動基礎(chǔ)57第一節(jié)機械振動概述機械振動基礎(chǔ)9第一節(jié)機械振動基礎(chǔ)581.1機械振動概述振動是是自然界中常見的現(xiàn)象！1.1機械振動概述

心臟的搏動、耳膜和聲帶的振動等汽車、火車、飛機及機械設(shè)備的振動家用電器、鐘表的振動地震以及聲、電、磁、光的波動等

股市的升跌和振蕩等101.1機械振動概述振動是是自然界中常見的現(xiàn)象！1.59振動的嚴(yán)格定義：圍繞某一固定位置來回往復(fù)運動，并隨時間變化的運動。機械振動：力學(xué)量隨時間的變化來回往復(fù)地運動。振動？機械振動？1.1機械振動概述11振動？機械振動？1.1機械振動概述60

運載工具的振動；噪聲；機械設(shè)備以及結(jié)構(gòu)的破壞；地震；降低機器及儀表的精度。振動的災(zāi)害12運載工具的振動；振動的災(zāi)害61

琴弦振動；振動的利用

振動沉樁、振動拔樁以及振動搗固等;

振動壓路機;

振動成型機、給料機等。13琴弦振動；振動的利用振動沉樁、振動拔樁1.2振動系統(tǒng)

振動系統(tǒng):

可以產(chǎn)生機械振動的力學(xué)系統(tǒng)。任何具有彈性和慣性的力學(xué)系統(tǒng)均可以產(chǎn)生機械振動。

振動系統(tǒng)的三要素:

激勵、系統(tǒng)和響應(yīng)1.2振動系統(tǒng)系統(tǒng)激勵輸入響應(yīng)輸出1.2振動系統(tǒng)

振動系統(tǒng):可以產(chǎn)生機械振動的力學(xué)系63振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）√已知：外界激勵和系統(tǒng)參數(shù)，1．響應(yīng)分析√?1.3

振動系統(tǒng)的三類問題求：系統(tǒng)的響應(yīng)。位移、速度、加速度等1.2振動系統(tǒng)15振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）√已知：外界激勵和系統(tǒng)參642．系統(tǒng)設(shè)計和系統(tǒng)辨識系統(tǒng)已經(jīng)存在，需要根據(jù)測量獲得的激勵和響應(yīng)識別系統(tǒng)參數(shù)，以便更好地研究系統(tǒng)的特性.系統(tǒng)尚不存在，需要設(shè)計合理的系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)在已知激勵下達(dá)到給定的響應(yīng)水平.1.2振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）求:系統(tǒng)參數(shù)。？已知:

系統(tǒng)的激勵和響應(yīng);√√162．系統(tǒng)設(shè)計和系統(tǒng)辨識系統(tǒng)已經(jīng)存在，需要根據(jù)測量獲得的激65振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）3．環(huán)境預(yù)測已知:

系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)響應(yīng)，確定:

系統(tǒng)的激勵.?√√1.2振動系統(tǒng)17振動系統(tǒng)激勵（輸入）響應(yīng)（輸出）3．環(huán)境預(yù)測已知:系統(tǒng)66

振動的物理模型：（1）單自由度系統(tǒng)；（2）多自由度系統(tǒng)；（3）連續(xù)體系統(tǒng)。

振動的分類（按振動產(chǎn)生的原因）：（1）自由振動：（2）受迫振動：1.3振動模型與分類自由度

:確定系統(tǒng)在振動過程中任何瞬時的幾何位置所需的獨立坐標(biāo)的數(shù)目.1.3振動模型系統(tǒng)在持續(xù)外激勵作用下的振動。系統(tǒng)僅受初始激勵產(chǎn)生的振動；18振動的物理模型：（1）單自由度系統(tǒng)；振動的分類（按振67第二節(jié)單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動機械振動基礎(chǔ)19第二節(jié)機械振動基礎(chǔ)68無阻尼自由振動自由振動：系統(tǒng)僅受到初始條件（初始力、初始的位移）的激勵而產(chǎn)生的振動。系統(tǒng)的無阻尼自由振動是對實際問題的理論抽象，是一種理想條件，實際的系統(tǒng)都有阻尼。如果現(xiàn)實世界沒有阻止運動能力的話，整個世界將處于無休止的振動中?！?

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動20無阻尼自由振動自由振動：系統(tǒng)僅受到初始條件（初始力、初始69Fig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型l0δstkmmOx2.1振動模型mmmgFmmxkm

mmmgFNm

§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動21Fig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型l0δstk702.2振動微分方程以靜平衡位置為坐標(biāo)原點，由牛頓第二定律，有其中，（*）（*）式簡化為：即：令：則：

單自由度無阻尼自由振動的微分方程

，固有圓頻率l0δstkmmOxmmmgFmmxFig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動222.2振動微分方程以靜平衡位置為坐標(biāo)原點，由牛頓第712.1振動微分方程——

固有圓頻率

單自由度無阻尼自由振動的微分方程方程的解：其中，為積分常數(shù)，由運動初始條件確定。簡諧振動或位移可以表示為時間的簡諧函數(shù)（正弦或余弦）l0δstkmmOxmmx§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動232.1振動微分方程——固有圓頻率單自由度無阻72三角公式推導(dǎo)根據(jù)三角函數(shù)公式令：則：令：24三角公式推導(dǎo)根據(jù)三角函數(shù)公式令：則：令：73§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.2振動的特點

周期函數(shù)：

周期，單位為秒（s）。

頻率，單位為赫茲（Hz）。單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。

：表示秒內(nèi)振動的次數(shù)。

，系統(tǒng)的固有圓頻率。－圓頻率2.1振動微分方程：§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動25§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.2振動的特74

振幅：－相對于振動中心O點的最大位移。

相位（相位角）：

初相位：說明：為待定積分常數(shù)，由初始條件確定。2.2振動的特點§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.1振動微分方程：§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動初始條件26振幅：－相對于振動中心O點的最大位移。相位（相位角）75

質(zhì)點的速度與加速度：2.2振動的特點§2單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動2.1振動微分方程：§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動75vtxa2468101214-1-0.50.51Fig.2vxa27質(zhì)點的速度與加速度：2.2振動的特點§2單自76練習(xí)1

圖示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，已知：彈簧的剛度系數(shù)為k，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m，將質(zhì)量塊緩慢向下移動a0后，在t=0的時刻突然放開。試求質(zhì)量塊的運動規(guī)律。mFig.3kmmOxa0§2

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動28練習(xí)1圖示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，已知：彈簧的77無阻尼自由振動:慣性體由于任何外力原因離開平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢復(fù)力作用，慣性體將在平衡位置附近按照其固有頻率進(jìn)行簡諧振動。由于沒有能量耗散，系統(tǒng)的機械能保持守恒。振動無限期的進(jìn)行下去。

有阻尼自由振動:對于實際的振動系統(tǒng)，由于不可避免的存在各種阻尼，振動系統(tǒng)的機械能不斷轉(zhuǎn)化為其他形式的能，造成振幅衰減，以致最后振動完全停止?！?

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動29無阻尼自由振動:慣性體由于任何外力原因離開平衡位置之后78第三節(jié)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動機械振動基礎(chǔ)30第三節(jié)機械振動基礎(chǔ)793.1單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動模型Fig.1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動模型l0δstkmmOxmmxFig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxckckm

阻尼§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動313.1單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動模型Fig.180Fig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxck1.阻尼：振動過程中的阻力。－介質(zhì)間摩擦力引起的介質(zhì)阻尼；－材料變形產(chǎn)生的材料內(nèi)阻尼；－接觸面摩擦產(chǎn)生的摩擦阻尼；－電磁作用產(chǎn)生的電磁阻尼。我們將要討論的阻尼類型：粘性阻尼：（粘性）阻尼系數(shù)。3.1單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動模型§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動32Fig.4單自由度系統(tǒng)mOxmxck1.阻尼：振81Fig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxck3.2振動微分方程mmmgF1F2以靜平衡位置為坐標(biāo)原點，x軸向下為正，有（*）（*）式簡化為：整理上式：令：則：其中，

單自由度有阻尼自由振動的微分方程§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動33Fig.4單自由度系統(tǒng)mOxmxck3.2振動微82Fig.4單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動模型mOxmxck

振動微分方程的解微分方程的解設(shè)為：，該特征方程的兩個根為：故微分方程的通解為：特征方程可以有三種情況：（1）兩個不等的負(fù)實根；（2）兩個相等的負(fù)實根；（3）一對共軛復(fù)根。系統(tǒng)的特征方程為：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動34Fig.4單自由度系統(tǒng)mOxmxck振動微分方程83臨界阻尼系數(shù)

使特征方程有兩個相等負(fù)實根的阻尼系數(shù)值，稱為臨界阻尼系數(shù)（criticaldampingcoefficient）記為，

特征方程的兩個根為：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動35臨界阻尼系數(shù)使特征方程有兩個相等負(fù)實根的阻尼系數(shù)值，稱84阻尼比

阻尼比,又稱相對阻尼系數(shù)。無量綱,是一個重要的振動參數(shù)。

，表征一個振動系統(tǒng)阻尼的大小：

，表示大阻尼/超臨界阻尼/強阻尼；，表示臨界阻尼，，表示小阻尼。

36阻尼比85原來的微分方程可以改寫成：特征根：3.3微分方程和解的另一種表達(dá)方式§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動37原來的微分方程86（1），超臨界阻尼/強阻尼的情形.方程的兩個特征根均為實數(shù)，與初始條件有關(guān)，

特征根：3.4討論方程的通解為：§3單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動38（1），超臨界阻尼/強阻尼的情形.87大阻尼系統(tǒng)的運動特點：大阻尼的運動不是振動，而是一種非周期性的指數(shù)衰減?！?單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動C1C2x