等差數(shù)列的前n項和公式的性質(zhì)課件

思（2分鐘）

an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－

an－1＝d（n≥2）在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于n的一次函數(shù).an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.1.等差數(shù)列的遞推公式是什么？2.等差數(shù)列通項公式是什么？結(jié)構(gòu)上它有什么特征？第1頁/共24頁思（2分鐘）an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－13.等差數(shù)列前n項和的兩個基本公式是什么？第2頁/共24頁3.等差數(shù)列前n項和的兩個基本公式是什么？第2頁/共24頁2思考1：若數(shù)列{an}的前n和那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？{an}是等差數(shù)列『知識探究（一）——等差數(shù)列與前n項和的關(guān)系』議（5分鐘）第3頁/共24頁思考1：若數(shù)列{an}的前n和3思考2：將等差數(shù)列前n項和公式看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當d≠0時，Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù).第4頁/共24頁思考2：將等差數(shù)列前n項和公式當d≠0時，Sn是常數(shù)項為零的4思考3：一般地，若數(shù)列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列Sn＝An2＋Bn（2）數(shù)列{an}的前n項和是Sn＝An2＋Bn＋C，則：①若C＝0，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②若C≠0，則數(shù)列{an}從第2項起是等差數(shù)列。第5頁/共24頁思考3：一般地，若數(shù)列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那5思考4：若{an}為等差數(shù)列，那么是什么數(shù)列？數(shù)列{an}是等差數(shù)列為等差數(shù)列

即等差數(shù)列{an}的前n項的平均值組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列，且公差是數(shù)列{an}的公差的一半。第6頁/共24頁思考4：若{an}為等差數(shù)列，那么是什6學以致用2.等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，a1＝－2011，，則S2011的值為(

)A.0B.2011C.－2011D.－2011×2011C第7頁/共24頁學以致用2.等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，a1＝－27『知識探究（二）——等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)』思考1：在等差數(shù)列{an}中，每連續(xù)k項的和組成的數(shù)列，即數(shù)列a1＋a2＋…＋ak，ak+1＋ak+2＋…＋a2k，a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，…

…

是等差數(shù)列嗎？性質(zhì)：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差數(shù)列第8頁/共24頁『知識探究（二）——等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)』思考1：在等差數(shù)8思考3：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，則S偶－S奇與等于什么？S偶－S奇＝nd思考2：在等差數(shù)列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之間有什么關(guān)系？S3n＝3(S2n－Sn)第9頁/共24頁思考3：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)S偶＝a2＋a4＋…＋a2n93.等差數(shù)列{an}中，已知S4＝2，

S8＝7，則S12=_____；學以致用154.等差數(shù)列{an}的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為(

)A.130B.170C.210D.260c第10頁/共24頁3.等差數(shù)列{an}中，已知S4＝2，學以致用154.等10思考4：設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，則等于什么？思考5：在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，

d＜0，則Sn是否存在最值？如何確定其最值？

當ak≥0，ak＋1＜0時，Sk為最大.第11頁/共24頁思考4：設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、思11且，則

.例2：Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項的和，學以致用第12頁/共24頁且，則121.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是(

)A．2B．3C．4D．5『變式探究』D第13頁/共24頁1.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和13【題型分類深度剖析】題型1：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的簡單應用例1：（1）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則該數(shù)列有()項。

A.13 B.12 C.11 D.10A第14頁/共24頁【題型分類深度剖析】題型1：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的簡單應14『變式探究』1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0，則有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差數(shù)列{an}前n項和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，則an＝

.C第15頁/共24頁『變式探究』1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…15題型2：等差數(shù)列最值問題例2：等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9＝S12，該數(shù)列前多少項的和最小？又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11時，Sn取最小值．第16頁/共24頁題型2：等差數(shù)列最值問題例2：等差數(shù)列{an}中，a1<0，16>>第17頁/共24頁>>第17頁/共24頁17小結(jié)：求等差數(shù)列{an}前n項和Sn的最值常用方法：方法1：二次函數(shù)性質(zhì)法，即求出Sn=an2+bn，討論二次函數(shù)的性質(zhì)方法2：討論數(shù)列{an}

的通項，找出正負臨界項。（1）若a1>0，d<0，則Sn有大值，且Sn最大時的n滿足an≥0且an+1<0;（2）若a1<0，d>0，則Sn有小值，且Sn最小時的n滿足an≤0且an+1>0;第18頁/共24頁小結(jié)：求等差數(shù)列{an}前n項和Sn的最值常用方法：方法1：18『變式探究』1.首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，它的前3項和與前11項和相等，則此數(shù)列前________項和最大？2.等差數(shù)列{an}前n項和Sn中，以S7最大，且|a7|<|a8|，則使Sn>0的n的最大值為_____．3.等差數(shù)列{an}中，已知|a7|=|a16|=9，且a14=5，則使

an<0的最大自數(shù)n=（）．

A.10B.11C.12D.13713第19頁/共24頁『變式探究』1.首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，它的前3項和與19例4：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝12n－n2，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.

當n＝1時，a1＝S1＝12－12＝11；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n.∵n＝1時適合上式，∴{an}的通項公式為an＝13－2n.由an＝13－2n≥0，得n≤，即當1≤n≤6(n∈N*)時，an＞0；當n≥7時，an＜0.解析：題型3：求等差數(shù)列的前n項的絕對值之和第20頁/共24頁例4：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝12n－n2，求數(shù)20(1)當1≤n≤6(n∈N*)時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.(2)當n≥7(n∈N*)時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6)＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.第21頁/共24頁(1)當1≤n≤6(n∈N*)時，(2)當n≥7(n∈N*)21『變式探究』1．數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)設(shè)Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，d＝=－2，∴an＝－2n＋10，n∈N*.第22頁/共24頁『變式探究』1．數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足解22②當n≥6，n∈N*時，第23頁/共24頁②當n≥6，n∈N*時，第23頁/共24頁23謝謝您的觀看！第24頁/共24頁謝謝您的觀看！第24頁/共24頁24思（2分鐘）

an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－

an－1＝d（n≥2）在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于n的一次函數(shù).an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.1.等差數(shù)列的遞推公式是什么？2.等差數(shù)列通項公式是什么？結(jié)構(gòu)上它有什么特征？第1頁/共24頁思（2分鐘）an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－253.等差數(shù)列前n項和的兩個基本公式是什么？第2頁/共24頁3.等差數(shù)列前n項和的兩個基本公式是什么？第2頁/共24頁26思考1：若數(shù)列{an}的前n和那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？{an}是等差數(shù)列『知識探究（一）——等差數(shù)列與前n項和的關(guān)系』議（5分鐘）第3頁/共24頁思考1：若數(shù)列{an}的前n和27思考2：將等差數(shù)列前n項和公式看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當d≠0時，Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù).第4頁/共24頁思考2：將等差數(shù)列前n項和公式當d≠0時，Sn是常數(shù)項為零的28思考3：一般地，若數(shù)列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列Sn＝An2＋Bn（2）數(shù)列{an}的前n項和是Sn＝An2＋Bn＋C，則：①若C＝0，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②若C≠0，則數(shù)列{an}從第2項起是等差數(shù)列。第5頁/共24頁思考3：一般地，若數(shù)列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那29思考4：若{an}為等差數(shù)列，那么是什么數(shù)列？數(shù)列{an}是等差數(shù)列為等差數(shù)列

即等差數(shù)列{an}的前n項的平均值組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列，且公差是數(shù)列{an}的公差的一半。第6頁/共24頁思考4：若{an}為等差數(shù)列，那么是什30學以致用2.等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，a1＝－2011，，則S2011的值為(

)A.0B.2011C.－2011D.－2011×2011C第7頁/共24頁學以致用2.等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，a1＝－231『知識探究（二）——等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)』思考1：在等差數(shù)列{an}中，每連續(xù)k項的和組成的數(shù)列，即數(shù)列a1＋a2＋…＋ak，ak+1＋ak+2＋…＋a2k，a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，…

…

是等差數(shù)列嗎？性質(zhì)：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差數(shù)列第8頁/共24頁『知識探究（二）——等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)』思考1：在等差數(shù)32思考3：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，則S偶－S奇與等于什么？S偶－S奇＝nd思考2：在等差數(shù)列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之間有什么關(guān)系？S3n＝3(S2n－Sn)第9頁/共24頁思考3：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)S偶＝a2＋a4＋…＋a2n333.等差數(shù)列{an}中，已知S4＝2，

S8＝7，則S12=_____；學以致用154.等差數(shù)列{an}的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為(

)A.130B.170C.210D.260c第10頁/共24頁3.等差數(shù)列{an}中，已知S4＝2，學以致用154.等34思考4：設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，則等于什么？思考5：在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，

d＜0，則Sn是否存在最值？如何確定其最值？

當ak≥0，ak＋1＜0時，Sk為最大.第11頁/共24頁思考4：設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、思35且，則

.例2：Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項的和，學以致用第12頁/共24頁且，則361.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是(

)A．2B．3C．4D．5『變式探究』D第13頁/共24頁1.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和37【題型分類深度剖析】題型1：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的簡單應用例1：（1）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則該數(shù)列有()項。

A.13 B.12 C.11 D.10A第14頁/共24頁【題型分類深度剖析】題型1：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的簡單應38『變式探究』1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0，則有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差數(shù)列{an}前n項和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，則an＝

.C第15頁/共24頁『變式探究』1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…39題型2：等差數(shù)列最值問題例2：等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9＝S12，該數(shù)列前多少項的和最??？又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11時，Sn取最小值．第16頁/共24頁題型2：等差數(shù)列最值問題例2：等差數(shù)列{an}中，a1<0，40>>第17頁/共24頁>>第17頁/共24頁41小結(jié)：求等差數(shù)列{an}前n項和Sn的最值常用方法：方法1：二次函數(shù)性質(zhì)法，即求出Sn=an2+bn，討論二次函數(shù)的性質(zhì)方法2：討論數(shù)列{an}

的通項，找出正負臨界項。（1）若a1>0，d<0，則Sn有大值，且Sn最大時的n滿足an≥0且an+1<0;（2）若a1<0，d>0，則Sn有小值，且Sn最小時的n滿足an≤0且an+1>0;第18頁/共24頁小結(jié)：求等差數(shù)列{an}前n項和Sn的最值常用方法：方法1：42『變式探究』1.首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，它的前3項和與前11項和相等，則此數(shù)列前________項和最大？2.等差數(shù)列{an}前n項和Sn中，以S7最大，且|a7|<|a8|，則使Sn>0的n的最大值為_____．3.等差數(shù)列{an}中，已知|a7|=|a16|=9，且a14=5，則使

an<0的最大自數(shù)n=（）．

A.10B.11C.12D.13713第19頁/共24頁『變式探究』1.首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，它的前3項和與43例4：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝12n－n2，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.

當n＝1時，a1＝S1＝12－12＝11；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n.∵n＝1時適