回歸模型的函數(shù)形式課件

第五章

回歸模型的函數(shù)形式第五章

回歸模型的函數(shù)形式到目前為止，我們考慮的都是參數(shù)線性，同時又是變量線性的模型。本章將考慮參數(shù)線性，但變量不一定是線性的模型。1.雙對數(shù)模型或不變彈性模型2.半對數(shù)模型3.倒數(shù)模型所有這些模型的一個重要特征是，它們都是參數(shù)線性模型，但變量卻不一定是線性的。到目前為止，我們考慮的都是參數(shù)線性，同時又是變量線性的模型。一、雙對數(shù)模型1.模型假設(shè)有如下函數(shù)從模型可知，就我們目前的知識，無法用普通最小二乘法估計這樣的模型。但我們可以把以上模型作如下變化，得到：繼而，如果令，則有：以上模型稱為雙對數(shù)模型，或雙對數(shù)線性模型。一、雙對數(shù)模型1.模型

如果我們將和都看作單獨的變量，那么就可以將雙對數(shù)模型變?yōu)樽兞烤€性模型。試作如下變換，，得到：如果上式滿足古典線性回歸模型的基本假定，則很容易用普通最小二乘法估計，從而得到BLUE估計量。2.雙對數(shù)模型系數(shù)的特殊含義

與變量線性回歸模型不同，雙對數(shù)模型的斜率系數(shù)度量了Y對X的彈性，即X的變動引起Y變動的百分比。如果用符號代表Y的一個微小變動，代表X的一個微小變動，則彈性E定義為：如果我們將和都看作單獨的變量，那么就從圖形上看，變量線性的回歸模型的圖形是一條直線，而雙對數(shù)模型的圖形是一條曲線，并且對于不同的X值來說，都具有相同的彈性。所以，雙對數(shù)模型又稱為不變彈性模型。不變彈性模型從圖形上看，變量線性的回歸模型的圖形是一條直線，而雙對數(shù)模型例子：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（見P23）該例子主要關(guān)注美國S.A.T大學(xué)入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績與家庭收入之間的關(guān)系。即：考察數(shù)學(xué)成績與家庭收入之間的回歸關(guān)系。例子：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（見P23）該例子主要關(guān)注美國S.A.T大學(xué)入３.雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗

雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗與線性模型沒有任何不同。在隨機(jī)誤差項服從正態(tài)分布的假設(shè)下，估計的回歸系數(shù)服從自由度為（n-k）的t分布，其中k為包括截距在內(nèi)的參數(shù)個數(shù)。4.比較線性和雙對數(shù)回歸模型（一個經(jīng)驗問題）

對于數(shù)學(xué)成績支出一例來說，線性支出模型和雙對數(shù)模型哪個更合適？

1.作散點圖，通過散點圖來判斷。（這種方式只適合雙變量模型）

2.比較兩個模型的值。該方法要求應(yīng)變量的形式必須是相同的。

3.即使兩個模型中的應(yīng)變量相同，兩個值可以直接比較，我們也建議不要根據(jù)最高值這一標(biāo)準(zhǔn)選擇模型。而應(yīng)該首先考慮進(jìn)入模型中的解釋變量之間的相關(guān)性、解釋變量系數(shù)的預(yù)期符號、統(tǒng)計顯著性以及類似彈性系數(shù)這樣的度量工具。３.雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗5.多元對數(shù)線性回歸模型

對于三變量對數(shù)線性模型來說：模型中的偏斜率系數(shù)、又稱為偏彈性系數(shù)。因此，度量了不變條件下，對的彈性，即在為常量時，每變動1%引起的變化的百分比。類似地，度量了不變條件下對的彈性。二、如何測度增長率：半對數(shù)模型

1.半對數(shù)模型先看一個例子：根據(jù)下表中的美國人口數(shù)據(jù)求1975-2007年美國的人口增長率?？紤]如下復(fù)利計算公式：5.多元對數(shù)線性回歸模型將上式作如下變形，等式兩邊取對數(shù)，得：

如果令因此，可得：將上式變化成為經(jīng)濟(jì)計量模型，得到：形如上式的回歸模型稱為半對數(shù)模型或者增長模型、對數(shù)-線性模型。利用OLS方法估計美國一例的半對數(shù)模型，得到：將上式作如下變形，等式兩邊取對數(shù)，得：美國人口增長一例估計的樣本回歸線美國人口增長一例估計的樣本回歸線美國人口一例估計的半對數(shù)模型中，斜率0.0107表示，平均而言，美國人口的年增長率為0.0107。截距5.36的反對數(shù)（為212.576）可以表示1974年的人口值。2.瞬時增長率與復(fù)合增長率

由可知于是：在美國人口增長率一例中，有：此處要注意的是，通過對半對數(shù)模型估計所得到的斜率的值為0.0107，該值為美國人口的瞬時增長率，而通過計算而得到的值0.010757稱為復(fù)合增長率。3.線性趨勢模型

形如如下形式的模型稱為線性趨勢模型：美國人口一例估計的半對數(shù)模型中，斜率0.0107表示，平均而對美國人口增長率一例線性趨勢模型的OLS估計結(jié)果如下：回歸結(jié)果表明，在樣本區(qū)間內(nèi)，美國人口每年以2.757(百萬)的絕對速度增長。因而美國人口表現(xiàn)出向上的趨勢。截距表明美國1969年的人口數(shù)為210（百萬）。４.線性－對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式考慮如下例子：個人總消費支出與服務(wù)支出的關(guān)系（1993.1～1998.3,1992年美元價，10億美元），數(shù)據(jù)見下表：

回歸模型的函數(shù)形式課件1993.1～1998.3個人總消費支出與各類支出的季度數(shù)據(jù)（10億美元）1993.1～1998.3個人總消費支出與各類支出的季度數(shù)據(jù)以個人總消費支出X與服務(wù)支出Y的關(guān)系為例，得到線性－對數(shù)模型如下：利用最小二乘法估計以上模型，回歸結(jié)果如下：在以上回歸結(jié)果中，斜率系數(shù)表示，如果個人總消費支出增加1個百分點，則平均服務(wù)支出將增加24.32(10億）美元。作出這一解釋是因為，線性-對數(shù)模型中的斜率系數(shù)可以表示為：以個人總消費支出X與服務(wù)支出Y的關(guān)系為例，得到線性－對數(shù)模型而上式又可以表示為：所以，線性-對數(shù)模型中的斜率系數(shù)可以解釋為，解釋變量的相對變化所引起的應(yīng)變量的絕對變化量。三、倒數(shù)模型

形如下式的模型稱為倒數(shù)模型（reciprocalmodel）：倒數(shù)模型的一個顯著特征是，隨著的無限增大，趨于零，接近漸進(jìn)值或極限值。因此，當(dāng)變量無限增大時，倒數(shù)模型中的應(yīng)變量的取值將逐漸靠近其漸進(jìn)線或極值。而上式又可以表示為：下圖描繪了倒數(shù)模型的一些曲線形狀：倒數(shù)模型：下圖描繪了倒數(shù)模型的一些曲線形狀：倒數(shù)模型：上圖ａ）中，若Ｙ表示生產(chǎn)的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表產(chǎn)出，則根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，隨著產(chǎn)出的不斷增加，平均固定成本將逐漸降低，最終接近產(chǎn)出軸。上圖ｂ）中的曲線可用來表示恩格爾消費曲線。該曲線表明消費者在某一個商品上的支出與其總收入或總消費支出的關(guān)系。若Ｙ表示消費者在某一個商品上的消費支出，Ｘ表示消費者的總收入，則該商品具有如下特征(1)收入有一個臨界值，在此臨界值下，不能購買某商品。在圖ｂ）中，收入的臨界值是。(2)消費有一個滿足水平，在此水平之上，無論消費者的收入有多高，也不會再有任何消費。上圖Ｃ）中可以用來表示宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的菲利普斯曲線。菲利普斯根據(jù)英國貨幣工資變化的百分比(Y)與失業(yè)率(X)的數(shù)據(jù)，得到了形如圖Ｃ）的曲線。圖中，工資隨著失業(yè)水平的變化是不對稱的。當(dāng)失業(yè)率低于時，工資隨失業(yè)率單位變化的變化比失業(yè)率高于時更快，經(jīng)濟(jì)學(xué)家稱為自然失業(yè)率。上圖ａ）中，若Ｙ表示生產(chǎn)的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表產(chǎn)出例1：美國1958-1969年的菲利普斯曲線（p113）利用Eviews得到如下回歸結(jié)果：樣本回歸方程為：例1：美國1958-1969年的菲利普斯曲線（p113）樣本例2：共同基金收取的咨詢費下表給出了美國共同基金支付給投資顧問管理資產(chǎn)的費用。支付的費用與基金的凈資產(chǎn)有關(guān)。共同基金的管理費用例2：共同基金收取的咨詢費共同基金的管理費用首先作上表的散點圖管理費用與資產(chǎn)規(guī)模的散點圖

由散點圖可知，兩個變量之間的關(guān)系是非線性的，具有一定的倒數(shù)關(guān)系。所以考慮采用倒數(shù)模型。首先作上表的散點圖管理費用與資產(chǎn)規(guī)模的散點圖由利用如下的倒數(shù)模型采用最小二乘法得到回歸結(jié)果如下：DependentVariable:FEE Method:LeastSquares Date:10/29/08Time:11:21 Sample:112 Includedobservations:12

Variable CoefficientStd.Error t-StatisticProb. C 0.4204120.012858 32.69715 0.0000 DASSET0.0549300.022099 2.485610 0.0322 R-squared 0.381886 Meandependentvar 0.432317 AdjustedR-squared 0.320075 S.D.dependentvar 0.050129 S.E.ofregression 0.041335 Akaikeinfocriterion-3.383185 Sumsquaredresid 0.017086 Schwarzcriterion -3.302367 Loglikelihood 22.29911 F-statistic 6.178255 Durbin-Watsonstat 0.551052 Prob(F-statistic) 0.032232 利用如下的倒數(shù)模型DependentVariable:F第五章

回歸模型的函數(shù)形式第五章

回歸模型的函數(shù)形式到目前為止，我們考慮的都是參數(shù)線性，同時又是變量線性的模型。本章將考慮參數(shù)線性，但變量不一定是線性的模型。1.雙對數(shù)模型或不變彈性模型2.半對數(shù)模型3.倒數(shù)模型所有這些模型的一個重要特征是，它們都是參數(shù)線性模型，但變量卻不一定是線性的。到目前為止，我們考慮的都是參數(shù)線性，同時又是變量線性的模型。一、雙對數(shù)模型1.模型假設(shè)有如下函數(shù)從模型可知，就我們目前的知識，無法用普通最小二乘法估計這樣的模型。但我們可以把以上模型作如下變化，得到：繼而，如果令，則有：以上模型稱為雙對數(shù)模型，或雙對數(shù)線性模型。一、雙對數(shù)模型1.模型

如果我們將和都看作單獨的變量，那么就可以將雙對數(shù)模型變?yōu)樽兞烤€性模型。試作如下變換，，得到：如果上式滿足古典線性回歸模型的基本假定，則很容易用普通最小二乘法估計，從而得到BLUE估計量。2.雙對數(shù)模型系數(shù)的特殊含義

與變量線性回歸模型不同，雙對數(shù)模型的斜率系數(shù)度量了Y對X的彈性，即X的變動引起Y變動的百分比。如果用符號代表Y的一個微小變動，代表X的一個微小變動，則彈性E定義為：如果我們將和都看作單獨的變量，那么就從圖形上看，變量線性的回歸模型的圖形是一條直線，而雙對數(shù)模型的圖形是一條曲線，并且對于不同的X值來說，都具有相同的彈性。所以，雙對數(shù)模型又稱為不變彈性模型。不變彈性模型從圖形上看，變量線性的回歸模型的圖形是一條直線，而雙對數(shù)模型例子：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（見P23）該例子主要關(guān)注美國S.A.T大學(xué)入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績與家庭收入之間的關(guān)系。即：考察數(shù)學(xué)成績與家庭收入之間的回歸關(guān)系。例子：數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（見P23）該例子主要關(guān)注美國S.A.T大學(xué)入３.雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗

雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗與線性模型沒有任何不同。在隨機(jī)誤差項服從正態(tài)分布的假設(shè)下，估計的回歸系數(shù)服從自由度為（n-k）的t分布，其中k為包括截距在內(nèi)的參數(shù)個數(shù)。4.比較線性和雙對數(shù)回歸模型（一個經(jīng)驗問題）

對于數(shù)學(xué)成績支出一例來說，線性支出模型和雙對數(shù)模型哪個更合適？

1.作散點圖，通過散點圖來判斷。（這種方式只適合雙變量模型）

2.比較兩個模型的值。該方法要求應(yīng)變量的形式必須是相同的。

3.即使兩個模型中的應(yīng)變量相同，兩個值可以直接比較，我們也建議不要根據(jù)最高值這一標(biāo)準(zhǔn)選擇模型。而應(yīng)該首先考慮進(jìn)入模型中的解釋變量之間的相關(guān)性、解釋變量系數(shù)的預(yù)期符號、統(tǒng)計顯著性以及類似彈性系數(shù)這樣的度量工具。３.雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗5.多元對數(shù)線性回歸模型

對于三變量對數(shù)線性模型來說：模型中的偏斜率系數(shù)、又稱為偏彈性系數(shù)。因此，度量了不變條件下，對的彈性，即在為常量時，每變動1%引起的變化的百分比。類似地，度量了不變條件下對的彈性。二、如何測度增長率：半對數(shù)模型

1.半對數(shù)模型先看一個例子：根據(jù)下表中的美國人口數(shù)據(jù)求1975-2007年美國的人口增長率。考慮如下復(fù)利計算公式：5.多元對數(shù)線性回歸模型將上式作如下變形，等式兩邊取對數(shù)，得：

如果令因此，可得：將上式變化成為經(jīng)濟(jì)計量模型，得到：形如上式的回歸模型稱為半對數(shù)模型或者增長模型、對數(shù)-線性模型。利用OLS方法估計美國一例的半對數(shù)模型，得到：將上式作如下變形，等式兩邊取對數(shù)，得：美國人口增長一例估計的樣本回歸線美國人口增長一例估計的樣本回歸線美國人口一例估計的半對數(shù)模型中，斜率0.0107表示，平均而言，美國人口的年增長率為0.0107。截距5.36的反對數(shù)（為212.576）可以表示1974年的人口值。2.瞬時增長率與復(fù)合增長率

由可知于是：在美國人口增長率一例中，有：此處要注意的是，通過對半對數(shù)模型估計所得到的斜率的值為0.0107，該值為美國人口的瞬時增長率，而通過計算而得到的值0.010757稱為復(fù)合增長率。3.線性趨勢模型

形如如下形式的模型稱為線性趨勢模型：美國人口一例估計的半對數(shù)模型中，斜率0.0107表示，平均而對美國人口增長率一例線性趨勢模型的OLS估計結(jié)果如下：回歸結(jié)果表明，在樣本區(qū)間內(nèi)，美國人口每年以2.757(百萬)的絕對速度增長。因而美國人口表現(xiàn)出向上的趨勢。截距表明美國1969年的人口數(shù)為210（百萬）。４.線性－對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式考慮如下例子：個人總消費支出與服務(wù)支出的關(guān)系（1993.1～1998.3,1992年美元價，10億美元），數(shù)據(jù)見下表：

回歸模型的函數(shù)形式課件1993.1～1998.3個人總消費支出與各類支出的季度數(shù)據(jù)（10億美元）1993.1～1998.3個人總消費支出與各類支出的季度數(shù)據(jù)以個人總消費支出X與服務(wù)支出Y的關(guān)系為例，得到線性－對數(shù)模型如下：利用最小二乘法估計以上模型，回歸結(jié)果如下：在以上回歸結(jié)果中，斜率系數(shù)表示，如果個人總消費支出增加1個百分點，則平均服務(wù)支出將增加24.32(10億）美元。作出這一解釋是因為，線性-對數(shù)模型中的斜率系數(shù)可以表示為：以個人總消費支出X與服務(wù)支出Y的關(guān)系為例，得到線性－對數(shù)模型而上式又可以表示為：所以，線性-對數(shù)模型中的斜率系數(shù)可以解釋為，解釋變量的相對變化所引起的應(yīng)變量的絕對變化量。三、倒數(shù)模型

形如下式的模型稱為倒數(shù)模型（reciprocalmodel）：倒數(shù)模型的一個顯著特征是，隨著的無限增大，趨于零，接近漸進(jìn)值或極限值。因此，當(dāng)變量無限增大時，倒數(shù)模型中的應(yīng)變量的取值將逐漸靠近其漸進(jìn)線或極值。而上式又可以表示為：下圖描繪了倒數(shù)模型的一些曲線形狀：倒數(shù)模型：下圖描繪了倒數(shù)模型的一些曲線形狀：倒數(shù)模型：上圖ａ）中，若Ｙ表示生產(chǎn)的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表產(chǎn)出，則根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，隨著產(chǎn)出的不斷增加，平均固定成本將逐漸降低，最終接近產(chǎn)出軸。上圖ｂ）中的曲線可用來表示恩格爾消費曲線。該曲線表明消費者在某一個商品上的支出與其總收入或總消費支出的關(guān)系。若Ｙ表示消費者在某一個商品上的消費支出，Ｘ表示消費者的總收入，則該商品具有如下特征(1)收入有一個臨界值，在此臨界值下，不能購買某商品。在圖ｂ）中，收入的臨界值是。(2)消費有一個滿足水平，在此水平之上，無論消費者的收入有多高，也不會再有任何消費。上圖Ｃ）中可以用來表示宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的菲利普斯曲線。菲利普斯根據(jù)英國貨幣工資變化的百分比(Y)與失業(yè)率(X)的數(shù)據(jù)，得到了形如圖Ｃ）的曲線。圖中，工資隨著失業(yè)水平的變化是不對稱的。當(dāng)失業(yè)率低于時，工資隨失業(yè)率單位變化的變化比失業(yè)率高于時更快，經(jīng)濟(jì)學(xué)家稱為自然失業(yè)率。上圖ａ）中，若Ｙ表示生產(chǎn)的平均固定成本(AFC)，Ｘ代表產(chǎn)出例1：美國1958-1969年的菲利普斯曲線（p113）利用Eviews得到如下回歸結(jié)果：樣本回歸方程為：例1：美國1958-1969年的菲利普斯曲線（p113）樣本例2：共同基金收取的咨詢費下表給出了美國共同基金支付給投資顧問管理資產(chǎn)的費用。支付的費用與基金的凈資產(chǎn)有關(guān)。共同基金的管理費用例2：共同基金收取的咨詢費共同基金的管理費用首先作上表的散點圖管理費用與資產(chǎn)規(guī)模的散點圖

由散點圖可知，兩個變量之