計(jì)量學(xué)1-自回歸移動(dòng)平均模型分析課件

自回歸移動(dòng)平均模型分析1自回歸移動(dòng)平均模型分析1本章介紹自回歸移動(dòng)平均模型分析，包括平穩(wěn)時(shí)間序列的自回歸移動(dòng)平均模型分析的思路、模型識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)，以及非平穩(wěn)時(shí)間序列的自回歸求積移動(dòng)平均模型分析。2本章介紹自回歸移動(dòng)平均模型分析，包括平穩(wěn)時(shí)間序列的自回歸移動(dòng)第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型

第二節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的識(shí)別

第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的估計(jì)

第四節(jié)ARMA模型檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)3第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型

3第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型一、時(shí)間序列分析的BJ方法論Box和Jenkins在《時(shí)間序列分析：預(yù)測(cè)和控制》中提出，時(shí)間序列的本質(zhì)特征就是相鄰觀測(cè)值的依賴性，大部分平穩(wěn)時(shí)間序列可以用一系列自回歸移動(dòng)平均隨機(jī)過程加以模擬。這引出了時(shí)間序列分析的一種重要思路——通過時(shí)間序列數(shù)據(jù)背后生成數(shù)據(jù)的自回歸移動(dòng)平均過程模型進(jìn)行分析。這種時(shí)間序列分析方法被稱為“BJ方法論”，屬于時(shí)域分析方法，是現(xiàn)代時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)最重要的方法論之一。4第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型一、時(shí)間序列分析的BJ方法論4時(shí)間序列分析BJ方法論的理論基礎(chǔ)時(shí)間序列數(shù)據(jù)可以看作由一些離散型隨機(jī)過程生成的，是特定離散型隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，時(shí)間序列數(shù)據(jù)的性質(zhì)由生成它們的隨機(jī)過程決定，因此可以通過識(shí)別和分析時(shí)間序列背后的隨機(jī)過程模型，進(jìn)行時(shí)間序列數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測(cè)。5時(shí)間序列分析BJ方法論的理論基礎(chǔ)5運(yùn)用BJ方法論進(jìn)行應(yīng)用分析包括四個(gè)步驟：1、識(shí)別根據(jù)各種時(shí)間序列模型的理論特征，對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定適當(dāng)?shù)某醪侥Ｐ?，包括模型類型及其階數(shù)，就是找出ARMA模型適當(dāng)?shù)膒、q值；2、估計(jì)用適當(dāng)?shù)膮?shù)估計(jì)方法，估計(jì)初步設(shè)定模型的相關(guān)參數(shù)值，包括自回歸和移動(dòng)平均系數(shù)和白噪聲的方差等；6運(yùn)用BJ方法論進(jìn)行應(yīng)用分析包括四個(gè)步驟：63、診斷對(duì)模型進(jìn)行校驗(yàn)，包括檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度，檢驗(yàn)設(shè)定模型的合理性和階數(shù)是否正確等，并進(jìn)一步調(diào)整修改模型，確定模型和精確估計(jì)參數(shù)；4、預(yù)測(cè)和控制利用所得到的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，包括靜態(tài)預(yù)測(cè)和動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，多步預(yù)測(cè)等，利用模型進(jìn)行控制。預(yù)測(cè)本身也是對(duì)模型的進(jìn)一步檢驗(yàn)。73、診斷7二、自回歸移動(dòng)平均模型（一）移動(dòng)平均模型（movingaverageprocess,MA）移動(dòng)平均過程就是一個(gè)白噪聲過程不同時(shí)間隨機(jī)變量的加權(quán)和。最簡(jiǎn)單的移動(dòng)平均過程是當(dāng)期和前一期白噪聲的加權(quán)和：這種移動(dòng)平均過程稱為“一階移動(dòng)平均過程”，記為MA(1)。8二、自回歸移動(dòng)平均模型8較復(fù)雜的移動(dòng)平均過程可以包括多個(gè)甚至無限個(gè)滯后項(xiàng)的加權(quán)和，例如：這些模型分別記為MA(2)、MA(q)和MA(∞)。9較復(fù)雜的移動(dòng)平均過程可以包括多個(gè)甚至無限個(gè)滯后項(xiàng)的加權(quán)和，例引進(jìn)滯后算子L（），移動(dòng)平均模型可分別表示為：10引進(jìn)滯后算子L（（二）自回歸模型

（autoregressiveprocess，AR）時(shí)間序列的當(dāng)前值取決于其自身若干期或無限期前期水平。自回歸過程同樣有一階、二階、階或無窮階自回歸模型，分別記為AR(1)、AR(2)、AR()和AR(∞)，表達(dá)式分別為11（二）自回歸模型

（autoregressiveproce引進(jìn)滯后算子表示方法，上述AR模型則可以分別表示為：12引進(jìn)滯后算子表示方法，上述AR模型則可以分別表示為：12（三）自回歸滑動(dòng)平均模型既包含一系列白噪聲擾動(dòng)的加權(quán)平均，也包含時(shí)間序列本身滯后項(xiàng)加權(quán)平均的混合時(shí)間序列過程。這樣的過程稱為“自回歸移動(dòng)平均過程”，記為ARMA。最簡(jiǎn)單的自回歸移動(dòng)平均過程包括一階自回歸項(xiàng)和一階移動(dòng)平均項(xiàng)，即記為ARMA(1,1)。13（三）自回歸滑動(dòng)平均模型13一般的自回歸移動(dòng)平均過程包括p階自回歸和q階移動(dòng)平均，即也可以寫成其中，記為ARMA(p,q)。14一般的自回歸移動(dòng)平均過程包括p階自回歸和q階移動(dòng)平均，即14（四）自回歸求積移動(dòng)平均模型（autoregressiveintegratedmovingaverageprocess,ARIMA）對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列，可以先利用單積（差分）方法把它們轉(zhuǎn)化成平穩(wěn)序列，然后再利用平穩(wěn)時(shí)間序列的ARMA模型進(jìn)行分析。一個(gè)經(jīng)單位根檢驗(yàn)確定為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，運(yùn)用單積分析判定經(jīng)d次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的，那么該經(jīng)過d次差分得到的序列就可進(jìn)一步用ARMA(p,q)中某一種模型來表示。這時(shí)原時(shí)間序列被記為ARIMA(p,d,q)，其中d是單積階數(shù)，p是自回歸階數(shù)，q是移動(dòng)平均階數(shù)。15（四）自回歸求積移動(dòng)平均模型（autoregressive三、ARMA模型平穩(wěn)和可逆的條件（一）移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)和可逆條件1、MA(1)模型（1）平穩(wěn)性條件根據(jù)MA(1)模型的定義和白噪聲序列的性質(zhì)，很容易知道對(duì)MA(1)模型滿足：16三、ARMA模型平穩(wěn)和可逆的條件16MA(1)的均值、方差和和時(shí)自協(xié)方差都是不隨時(shí)間變化的常數(shù)。根據(jù)時(shí)間序列的平穩(wěn)性可知，MA(1)模型是協(xié)方差平穩(wěn)的。1717（2）可逆性移動(dòng)平均過程的可逆性指移動(dòng)平均過程的擾動(dòng)，可以反過來用時(shí)間序列的當(dāng)前和過去水平表示，從而移動(dòng)平均過程可以轉(zhuǎn)化為自回歸過程。把MA(1)模型改寫成：或18（2）可逆性18通過迭代可得到也可以寫成：只有當(dāng)時(shí)，上述MA(1)模型才能把擾動(dòng)表示成時(shí)間序列當(dāng)前和過去水平的形式，或者把MA(1)模型表示成自回歸形式，也就是MA(1)模型才是可逆的。19通過迭代可得到192、MA(q)模型（1）平穩(wěn)性根據(jù)MA(q)的定義得到：202、MA(q)模型20（2）可逆性MA(q)模型可以用滯后算子寫成：由于只有當(dāng)?shù)母悸湓趩挝粓A之外，確?？梢愿鶕?jù)滯后算子多項(xiàng)式的逆運(yùn)算得到：21（2）可逆性21也就是把MA(q)模型表示成了AR(∞)形式，因此上述滯后算子多項(xiàng)式方程的根都在單位圓之外，就是MA(q)模型可逆性的條件。22223、無限項(xiàng)移動(dòng)平均過程MA(∞)這種時(shí)間序列過程不是無條件平穩(wěn)的。可以證明當(dāng)系數(shù)序列滿足平方可加性()或絕對(duì)可加性()（后者強(qiáng)于前者，隱含前者）時(shí)，MA(∞)是協(xié)方差平穩(wěn)的。平方可加性和絕對(duì)可加性的實(shí)質(zhì)是，間隔時(shí)間較長(zhǎng)的擾動(dòng)的影響會(huì)很快下降，很快趨向于0。233、無限項(xiàng)移動(dòng)平均過程MA(∞)23當(dāng)系數(shù)序列絕對(duì)可加時(shí)，MA(∞)過程的均值、方差和協(xié)方差，都可以從MA(∞)的相應(yīng)結(jié)果簡(jiǎn)單推廣得到：24當(dāng)系數(shù)序列絕對(duì)可加時(shí)，MA(∞)過程的均值、方差和協(xié)方差，都當(dāng)移動(dòng)平均模型參數(shù)滿足絕對(duì)（或平方）可加性時(shí)，上述期望和方差、協(xié)方差都是與時(shí)間無關(guān)的有限數(shù)。因此對(duì)于移動(dòng)平均過程來說，只要階數(shù)有限則肯定平穩(wěn)，若階數(shù)無限必須滿足上述絕對(duì)（或平方）可加性時(shí)才平穩(wěn)。一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列過程不可能由不滿足上述系數(shù)條件的無限移動(dòng)平均過程產(chǎn)生。25當(dāng)移動(dòng)平均模型參數(shù)滿足絕對(duì)（或平方）可加性時(shí)，上述期望和方差[例]討論下列移動(dòng)平均過程模型的平穩(wěn)性和可逆性：首先因?yàn)橛邢揠A移動(dòng)平均模型都是平穩(wěn)的，因此該模型肯定是平穩(wěn)的。其次，該模型的特征多項(xiàng)式為兩個(gè)根分別為4.19和1.19，都在單位圓之外，因此也是可逆的。26[例]討論下列移動(dòng)平均過程模型的平穩(wěn)性和可逆性：26（二）自回歸模型的平穩(wěn)性條件1、AR(1)模型時(shí)，AR(1)不是協(xié)方差平穩(wěn)的。AR(1)模型通過迭代可以轉(zhuǎn)換成了一個(gè)MA(∞)模型：27（二）自回歸模型的平穩(wěn)性條件27若令，，則AR(1)模型轉(zhuǎn)化為：與MA(∞)模型完全一致。根據(jù)MA(∞)模型的平穩(wěn)性條件，不難知道AR(1)模型平穩(wěn)的條件為有絕對(duì)可加性。當(dāng)或時(shí)，絕對(duì)可加性都不成立，因此是AR(1)模型平穩(wěn)的條件。28若令，，則AR(1)模型轉(zhuǎn)化利用上面的迭代得到的移動(dòng)平均表達(dá)式，可得到平穩(wěn)AR(1)過程的均值、方差等如下：29利用上面的迭代得到的移動(dòng)平均表達(dá)式，可得到平穩(wěn)AR(1)過程30302、AR(2)模型AR(2)過程的標(biāo)準(zhǔn)形式為利用滯后算子可寫為：312、AR(2)模型31平穩(wěn)性條件根據(jù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，平穩(wěn)的條件為上述差分方程的特征方程的根都落在單位圓之外。因?yàn)檫@時(shí)該滯后算子多項(xiàng)式分解成的兩個(gè)一階差分因子都是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的。32平穩(wěn)性條件32性質(zhì)33性質(zhì)333、AR(p)模型AR(p)模型為：或343、AR(p)模型34平穩(wěn)性條件如果AR(p)模型的特征方程的根全部在單位圓之外，則可以證明AR(p)模型有協(xié)方差平穩(wěn)形式：35平穩(wěn)性條件35性質(zhì)36性質(zhì)36[例]討論下列自回歸模型AR(2)的平穩(wěn)性：

因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式的兩個(gè)根分別為5和10/9=1.11，都在單位圓之外，因此該模型是平穩(wěn)的。37[例]討論下列自回歸模型AR(2)的平穩(wěn)性：37（三）自回歸移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)性可逆性條件1、平穩(wěn)性討論MA(q)肯定是平穩(wěn)的，但AR(p)可能不平穩(wěn)。兩個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列過程的和是平穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)的平穩(wěn)性取決于AR(p)的平穩(wěn)性。只要滿足特征方程的根都在單位圓之外（假設(shè)已知），那么上述ARMA(p,q)過程就是平穩(wěn)的。38（三）自回歸移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)性可逆性條件38性質(zhì)在ARMA(p,q)滿足平穩(wěn)性的條件下，利用滯后算子，ARMA(p,q)模型也可以寫為：39性質(zhì)39（1）均值實(shí)際上就是的均值。40（1）均值40（2）協(xié)方差模型的離差形式兩邊同乘以再求期望，得到自協(xié)方差41（2）協(xié)方差41其中是Y和之間的協(xié)方差函數(shù)因此當(dāng)時(shí)，ARMA(p,q)的自協(xié)方差與自回歸模型AR(p)的自協(xié)方差完全相同，是不斷下降的。但在時(shí)，也就是ARMA(p,q)的前q個(gè)自協(xié)方差要稍微復(fù)雜一些，因?yàn)榘瑑深愡^程的共同影響。42其中2、可逆性問題ARMA(p,q)模型的可逆性事實(shí)上取決于其中MA(q)部分的可逆性，也就是的根必須都落在單位圓之外。432、可逆性問題43第二節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的識(shí)別ARMA模型分析最關(guān)鍵的是識(shí)別時(shí)間序列數(shù)據(jù)的ARMA模型類型，以及自回歸和移動(dòng)平均的階數(shù)。識(shí)別ARMA模型的基本方法是利用時(shí)間序列數(shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征。44第二節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的識(shí)別ARMA模型分析最關(guān)鍵的是識(shí)一、自相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)系數(shù)等于自協(xié)方差除以它們的方差

因?yàn)樵撟韵嚓P(guān)系數(shù)是的函數(shù)，因此也被稱為“自相關(guān)函數(shù)”（autocorrelationfunction，ACF）。45一、自相關(guān)函數(shù)45（一）移動(dòng)平均模型的自相關(guān)函數(shù)MA(1)模型的自相關(guān)函數(shù)MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)46（一）移動(dòng)平均模型的自相關(guān)函數(shù)46MA模型的自相關(guān)函數(shù)的特征：在兩個(gè)隨機(jī)變量的時(shí)期之差超過模型階數(shù)時(shí)，MA模型的自相關(guān)系數(shù)下降為0。MA模型自相關(guān)函數(shù)的這個(gè)重要特征通常被稱為“截尾”，對(duì)于識(shí)別模型是否MA以及判斷模型的移動(dòng)平均階數(shù)非常重要。47MA模型的自相關(guān)函數(shù)的特征：47[例]計(jì)算下列移動(dòng)平均模型的自相關(guān)函數(shù)并給出自相關(guān)函數(shù)的圖形。（1）；（2）自相關(guān)函數(shù)（1）：（2）：48[例]計(jì)算下列移動(dòng)平均模型的自相關(guān)函數(shù)并給出自相關(guān)函數(shù)的圖形

4949（二）自回歸模型的自相關(guān)函數(shù)1、AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)因?yàn)?，因此?dāng)k不斷增大時(shí)，不斷減小，趨向于0，但在如何有限的k都不等于0。的這種變化趨勢(shì)稱為“拖尾”。50（二）自回歸模型的自相關(guān)函數(shù)50[例]計(jì)算AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)給出圖形：（1）；（2）自相關(guān)函數(shù)（1）：（2）：51[例]計(jì)算AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)給出圖形：5152522、AR(2)的自相關(guān)函數(shù)對(duì)于AR(2)模型來說，根據(jù)自協(xié)方差公式，兩邊除以方差，可得到如下與原模型相似的差分方程把k=1,2分別代入上述方程，并利用和自相關(guān)系數(shù)的對(duì)稱性，可得到方程組532、AR(2)的自相關(guān)函數(shù)53該方程組稱為“尤勒——沃克方程”（Yule-Walkerequations）。解該方程組可得到再利用不斷迭代可得到5454由于平穩(wěn)性要求，根據(jù)迭代公式不難發(fā)現(xiàn)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)也是隨著不斷下降的，有拖尾的性質(zhì)。3、AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)用與AR(2)模型相似的方法不難得到AR(p)的自相關(guān)函數(shù)55由于平穩(wěn)性要求，根據(jù)迭代公式不難發(fā)現(xiàn)可以得到尤勒——沃克方程：從這個(gè)方程組中可以解出，并可迭代出其他自相關(guān)函數(shù)等。56可以得到尤勒——沃克方程：56不難看出AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)也是拖尾的，即隨k下降，開始時(shí)迅速下降，但隨后保持小數(shù)，不斷衰減（指數(shù)衰減）。AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的圖形與AR(1)是相似的。57不難看出AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)也是拖尾的，即隨k自回歸移動(dòng)平均模型分析58自回歸移動(dòng)平均模型分析1本章介紹自回歸移動(dòng)平均模型分析，包括平穩(wěn)時(shí)間序列的自回歸移動(dòng)平均模型分析的思路、模型識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)，以及非平穩(wěn)時(shí)間序列的自回歸求積移動(dòng)平均模型分析。59本章介紹自回歸移動(dòng)平均模型分析，包括平穩(wěn)時(shí)間序列的自回歸移動(dòng)第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型

第二節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的識(shí)別

第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的估計(jì)

第四節(jié)ARMA模型檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)60第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型

3第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型一、時(shí)間序列分析的BJ方法論Box和Jenkins在《時(shí)間序列分析：預(yù)測(cè)和控制》中提出，時(shí)間序列的本質(zhì)特征就是相鄰觀測(cè)值的依賴性，大部分平穩(wěn)時(shí)間序列可以用一系列自回歸移動(dòng)平均隨機(jī)過程加以模擬。這引出了時(shí)間序列分析的一種重要思路——通過時(shí)間序列數(shù)據(jù)背后生成數(shù)據(jù)的自回歸移動(dòng)平均過程模型進(jìn)行分析。這種時(shí)間序列分析方法被稱為“BJ方法論”，屬于時(shí)域分析方法，是現(xiàn)代時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)最重要的方法論之一。61第一節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型一、時(shí)間序列分析的BJ方法論4時(shí)間序列分析BJ方法論的理論基礎(chǔ)時(shí)間序列數(shù)據(jù)可以看作由一些離散型隨機(jī)過程生成的，是特定離散型隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，時(shí)間序列數(shù)據(jù)的性質(zhì)由生成它們的隨機(jī)過程決定，因此可以通過識(shí)別和分析時(shí)間序列背后的隨機(jī)過程模型，進(jìn)行時(shí)間序列數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測(cè)。62時(shí)間序列分析BJ方法論的理論基礎(chǔ)5運(yùn)用BJ方法論進(jìn)行應(yīng)用分析包括四個(gè)步驟：1、識(shí)別根據(jù)各種時(shí)間序列模型的理論特征，對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定適當(dāng)?shù)某醪侥Ｐ?，包括模型類型及其階數(shù)，就是找出ARMA模型適當(dāng)?shù)膒、q值；2、估計(jì)用適當(dāng)?shù)膮?shù)估計(jì)方法，估計(jì)初步設(shè)定模型的相關(guān)參數(shù)值，包括自回歸和移動(dòng)平均系數(shù)和白噪聲的方差等；63運(yùn)用BJ方法論進(jìn)行應(yīng)用分析包括四個(gè)步驟：63、診斷對(duì)模型進(jìn)行校驗(yàn)，包括檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合程度，檢驗(yàn)設(shè)定模型的合理性和階數(shù)是否正確等，并進(jìn)一步調(diào)整修改模型，確定模型和精確估計(jì)參數(shù)；4、預(yù)測(cè)和控制利用所得到的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，包括靜態(tài)預(yù)測(cè)和動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，多步預(yù)測(cè)等，利用模型進(jìn)行控制。預(yù)測(cè)本身也是對(duì)模型的進(jìn)一步檢驗(yàn)。643、診斷7二、自回歸移動(dòng)平均模型（一）移動(dòng)平均模型（movingaverageprocess,MA）移動(dòng)平均過程就是一個(gè)白噪聲過程不同時(shí)間隨機(jī)變量的加權(quán)和。最簡(jiǎn)單的移動(dòng)平均過程是當(dāng)期和前一期白噪聲的加權(quán)和：這種移動(dòng)平均過程稱為“一階移動(dòng)平均過程”，記為MA(1)。65二、自回歸移動(dòng)平均模型8較復(fù)雜的移動(dòng)平均過程可以包括多個(gè)甚至無限個(gè)滯后項(xiàng)的加權(quán)和，例如：這些模型分別記為MA(2)、MA(q)和MA(∞)。66較復(fù)雜的移動(dòng)平均過程可以包括多個(gè)甚至無限個(gè)滯后項(xiàng)的加權(quán)和，例引進(jìn)滯后算子L（），移動(dòng)平均模型可分別表示為：67引進(jìn)滯后算子L（（二）自回歸模型

（autoregressiveprocess，AR）時(shí)間序列的當(dāng)前值取決于其自身若干期或無限期前期水平。自回歸過程同樣有一階、二階、階或無窮階自回歸模型，分別記為AR(1)、AR(2)、AR()和AR(∞)，表達(dá)式分別為68（二）自回歸模型

（autoregressiveproce引進(jìn)滯后算子表示方法，上述AR模型則可以分別表示為：69引進(jìn)滯后算子表示方法，上述AR模型則可以分別表示為：12（三）自回歸滑動(dòng)平均模型既包含一系列白噪聲擾動(dòng)的加權(quán)平均，也包含時(shí)間序列本身滯后項(xiàng)加權(quán)平均的混合時(shí)間序列過程。這樣的過程稱為“自回歸移動(dòng)平均過程”，記為ARMA。最簡(jiǎn)單的自回歸移動(dòng)平均過程包括一階自回歸項(xiàng)和一階移動(dòng)平均項(xiàng)，即記為ARMA(1,1)。70（三）自回歸滑動(dòng)平均模型13一般的自回歸移動(dòng)平均過程包括p階自回歸和q階移動(dòng)平均，即也可以寫成其中，記為ARMA(p,q)。71一般的自回歸移動(dòng)平均過程包括p階自回歸和q階移動(dòng)平均，即14（四）自回歸求積移動(dòng)平均模型（autoregressiveintegratedmovingaverageprocess,ARIMA）對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列，可以先利用單積（差分）方法把它們轉(zhuǎn)化成平穩(wěn)序列，然后再利用平穩(wěn)時(shí)間序列的ARMA模型進(jìn)行分析。一個(gè)經(jīng)單位根檢驗(yàn)確定為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，運(yùn)用單積分析判定經(jīng)d次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的，那么該經(jīng)過d次差分得到的序列就可進(jìn)一步用ARMA(p,q)中某一種模型來表示。這時(shí)原時(shí)間序列被記為ARIMA(p,d,q)，其中d是單積階數(shù)，p是自回歸階數(shù)，q是移動(dòng)平均階數(shù)。72（四）自回歸求積移動(dòng)平均模型（autoregressive三、ARMA模型平穩(wěn)和可逆的條件（一）移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)和可逆條件1、MA(1)模型（1）平穩(wěn)性條件根據(jù)MA(1)模型的定義和白噪聲序列的性質(zhì)，很容易知道對(duì)MA(1)模型滿足：73三、ARMA模型平穩(wěn)和可逆的條件16MA(1)的均值、方差和和時(shí)自協(xié)方差都是不隨時(shí)間變化的常數(shù)。根據(jù)時(shí)間序列的平穩(wěn)性可知，MA(1)模型是協(xié)方差平穩(wěn)的。7417（2）可逆性移動(dòng)平均過程的可逆性指移動(dòng)平均過程的擾動(dòng)，可以反過來用時(shí)間序列的當(dāng)前和過去水平表示，從而移動(dòng)平均過程可以轉(zhuǎn)化為自回歸過程。把MA(1)模型改寫成：或75（2）可逆性18通過迭代可得到也可以寫成：只有當(dāng)時(shí)，上述MA(1)模型才能把擾動(dòng)表示成時(shí)間序列當(dāng)前和過去水平的形式，或者把MA(1)模型表示成自回歸形式，也就是MA(1)模型才是可逆的。76通過迭代可得到192、MA(q)模型（1）平穩(wěn)性根據(jù)MA(q)的定義得到：772、MA(q)模型20（2）可逆性MA(q)模型可以用滯后算子寫成：由于只有當(dāng)?shù)母悸湓趩挝粓A之外，確?？梢愿鶕?jù)滯后算子多項(xiàng)式的逆運(yùn)算得到：78（2）可逆性21也就是把MA(q)模型表示成了AR(∞)形式，因此上述滯后算子多項(xiàng)式方程的根都在單位圓之外，就是MA(q)模型可逆性的條件。79223、無限項(xiàng)移動(dòng)平均過程MA(∞)這種時(shí)間序列過程不是無條件平穩(wěn)的?？梢宰C明當(dāng)系數(shù)序列滿足平方可加性()或絕對(duì)可加性()（后者強(qiáng)于前者，隱含前者）時(shí)，MA(∞)是協(xié)方差平穩(wěn)的。平方可加性和絕對(duì)可加性的實(shí)質(zhì)是，間隔時(shí)間較長(zhǎng)的擾動(dòng)的影響會(huì)很快下降，很快趨向于0。803、無限項(xiàng)移動(dòng)平均過程MA(∞)23當(dāng)系數(shù)序列絕對(duì)可加時(shí)，MA(∞)過程的均值、方差和協(xié)方差，都可以從MA(∞)的相應(yīng)結(jié)果簡(jiǎn)單推廣得到：81當(dāng)系數(shù)序列絕對(duì)可加時(shí)，MA(∞)過程的均值、方差和協(xié)方差，都當(dāng)移動(dòng)平均模型參數(shù)滿足絕對(duì)（或平方）可加性時(shí)，上述期望和方差、協(xié)方差都是與時(shí)間無關(guān)的有限數(shù)。因此對(duì)于移動(dòng)平均過程來說，只要階數(shù)有限則肯定平穩(wěn)，若階數(shù)無限必須滿足上述絕對(duì)（或平方）可加性時(shí)才平穩(wěn)。一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列過程不可能由不滿足上述系數(shù)條件的無限移動(dòng)平均過程產(chǎn)生。82當(dāng)移動(dòng)平均模型參數(shù)滿足絕對(duì)（或平方）可加性時(shí)，上述期望和方差[例]討論下列移動(dòng)平均過程模型的平穩(wěn)性和可逆性：首先因?yàn)橛邢揠A移動(dòng)平均模型都是平穩(wěn)的，因此該模型肯定是平穩(wěn)的。其次，該模型的特征多項(xiàng)式為兩個(gè)根分別為4.19和1.19，都在單位圓之外，因此也是可逆的。83[例]討論下列移動(dòng)平均過程模型的平穩(wěn)性和可逆性：26（二）自回歸模型的平穩(wěn)性條件1、AR(1)模型時(shí)，AR(1)不是協(xié)方差平穩(wěn)的。AR(1)模型通過迭代可以轉(zhuǎn)換成了一個(gè)MA(∞)模型：84（二）自回歸模型的平穩(wěn)性條件27若令，，則AR(1)模型轉(zhuǎn)化為：與MA(∞)模型完全一致。根據(jù)MA(∞)模型的平穩(wěn)性條件，不難知道AR(1)模型平穩(wěn)的條件為有絕對(duì)可加性。當(dāng)或時(shí)，絕對(duì)可加性都不成立，因此是AR(1)模型平穩(wěn)的條件。85若令，，則AR(1)模型轉(zhuǎn)化利用上面的迭代得到的移動(dòng)平均表達(dá)式，可得到平穩(wěn)AR(1)過程的均值、方差等如下：86利用上面的迭代得到的移動(dòng)平均表達(dá)式，可得到平穩(wěn)AR(1)過程87302、AR(2)模型AR(2)過程的標(biāo)準(zhǔn)形式為利用滯后算子可寫為：882、AR(2)模型31平穩(wěn)性條件根據(jù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，平穩(wěn)的條件為上述差分方程的特征方程的根都落在單位圓之外。因?yàn)檫@時(shí)該滯后算子多項(xiàng)式分解成的兩個(gè)一階差分因子都是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的。89平穩(wěn)性條件32性質(zhì)90性質(zhì)333、AR(p)模型AR(p)模型為：或913、AR(p)模型34平穩(wěn)性條件如果AR(p)模型的特征方程的根全部在單位圓之外，則可以證明AR(p)模型有協(xié)方差平穩(wěn)形式：92平穩(wěn)性條件35性質(zhì)93性質(zhì)36[例]討論下列自回歸模型AR(2)的平穩(wěn)性：

因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式的兩個(gè)根分別為5和10/9=1.11，都在單位圓之外，因此該模型是平穩(wěn)的。94[例]討論下列自回歸模型AR(2)的平穩(wěn)性：37（三）自回歸移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)性可逆性條件1、平穩(wěn)性討論MA(q)肯定是平穩(wěn)的，但AR(p)可能不平穩(wěn)。兩個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列過程的和是平穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)的平穩(wěn)性取決于AR(p)的平穩(wěn)性。只要滿足特征方程的根都在單位圓之外（假設(shè)已知），那么上述ARMA(p,q)過程就是平穩(wěn)的。95（三）自回歸移動(dòng)平均模型的平穩(wěn)性可逆性條件38性質(zhì)在ARMA(p,q)滿足平穩(wěn)性的條件下，利用滯后算子，ARMA(p,q)模型也可以寫為：96性質(zhì)39（1）均值實(shí)際上就是的均值。97（1）均值40（2）協(xié)方差模型的離差形式兩邊同乘以再求期望，得到自協(xié)方差98（2）協(xié)方差41其中是Y和之間的協(xié)方差函數(shù)因此當(dāng)時(shí)，ARMA(p,q)的自協(xié)方差與自回歸模型AR(p)的自協(xié)方差完全相同，是不斷下降的。但在時(shí)，也就是ARMA(p,q)的前q個(gè)自協(xié)方差要稍微復(fù)雜一些，因?yàn)榘瑑深愡^程的共同影響。99其中2、可逆性問題ARMA(p,q)模型的可逆性事實(shí)上取決于其中MA(q)部分的可逆性，也就是的根必須都落在單位圓之外。1002、可逆性問題43第二節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的識(shí)別ARMA模型分析最關(guān)鍵的是識(shí)別時(shí)間序列數(shù)據(jù)的ARMA模型類型，以及自回歸和移動(dòng)平均的階數(shù)。識(shí)別ARMA模型的基本方法是利用時(shí)間序列數(shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征。101第二節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型的識(shí)別ARMA模型分析最關(guān)鍵的是識(shí)一、自相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)系數(shù)等于自協(xié)方差除以它們的方差