均值、方差、正態(tài)分布-學生用

-.z§12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布1．離散型隨機變量的均值與方差假設離散型隨機變量*的分布列為**1*2…*i…*nPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(*)＝*1p1＋*2p2＋…＋*ipi＋…＋*npn為隨機變量*的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)方差稱D(*)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(*i－E(*))2pi為隨機變量*的方差，它刻畫了隨機變量*與其均值E(*)的平均偏離程度，其算術平方根eq\r(D*)為隨機變量*的標準差．2．均值與方差的性質(1)E(a*＋b)＝aE(*)＋b.(2)D(a*＋b)＝a2D(*)．(a，b為常數(shù))3．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)假設*服從兩點分布，則E(*)＝__p__，D(*)＝p(1－p)．(2)假設*～B(n，p)，則E(*)＝__np__，D(*)＝np(1－p)．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(*)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(*－μ2,2σ2)，*∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ、σ(*)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的性質：①曲線位于*軸上方，與*軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線*＝μ對稱；③曲線在*＝μ處到達峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與*軸之間的面積為__1__；⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著__μ__的變化而沿*軸平移，如圖甲所示；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ__越小__，曲線越“瘦高〞，表示總體的分布越集中；σ__越大__，曲線越“矮胖〞，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量*滿足P(a<*≤b)＝?eq\o\al(b,a)φμ，σ(*)d*，則稱隨機變量*服從正態(tài)分布，記作*～N(μ，σ2)．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間取值的概率值①P(μ－σ<*≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<*≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定．()(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小．()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標準差．()(4)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．()2．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，則D(ξ)等于()A．5B．8C．10D．163．設隨機變量*服從正態(tài)分布N(2,9)，假設P(*>c＋1)＝P(*<c－1)，則c等于()A．1B．2C．3D．44．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，假設*表示取到次品的件數(shù)，則D(*)＝________.5．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果*運發(fā)動罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分*的均值是________．題型一離散型隨機變量的均值、方差例1(2021·)設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分．袋中有20個大小一樣的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標號．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)假設η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．題型二二項分布的均值、方差例2(2021·)*居民小區(qū)有兩個相互獨立的平安防系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為eq\f(1,10)和p.(1)假設在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為eq\f(49,50)，求p的值；(2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ)．假設*班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關閉，且概率均為0.5.記此時教室里敞開的窗戶個數(shù)為*.(1)求*的分布列；(2)假設此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關閉，班長就會將關閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時該教室里敞開的窗戶個數(shù)為Y，求Y的數(shù)學期望．題型三正態(tài)分布的應用例3在*次大型考試中，*班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)該班同學中成績在80～85分的有17人．試計算該班成績在90分以上的同學有多少人．在*次數(shù)學考試中，考生的成績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N(100,100)，總分值為150分．(1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(80,120]的概率；(2)假設這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)．離散型隨機變量的均值與方差問題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小一樣的紅球和白球，甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為eq\f(2,5)，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2.(1)假設m＝10，求甲袋中紅球的個數(shù)；(2)假設將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是eq\f(1,3)，求P2的值；(3)設P2＝eq\f(1,5)，假設從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的分布列和均值．思維啟迪(1)概率的應用，知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個為紅球的概率，求紅球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，關鍵是求ξ的所有可能值及每個值所對應的概率．規(guī)解答解(1)設甲袋中紅球的個數(shù)為*，依題意得*＝10×eq\f(2,5)＝4.[3分](2)由，得eq\f(\f(2,5)m＋2mP2,3m)＝eq\f(1,3)，解得P2＝eq\f(3,10).[6分](3)ξ的所有可能值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(48,125)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,125)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(19,125)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(2,125).[8分]所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(48,125)eq\f(56,125)eq\f(19,125)eq\f(2,125)[10分]所以E(ξ)＝0×eq\f(48,125)＋1×eq\f(56,125)＋2×eq\f(19,125)＋3×eq\f(2,125)＝eq\f(4,5).[12分]求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟：第一步：確定隨機變量的所有可能值．第二步：求每一個可能值所對應的概率．第三步：列出離散型隨機變量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回憶．查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)．溫馨提醒(1)此題重點考察了概率、離散型隨機變量的分布列、均值．(2)此題解答中的典型錯誤是計算不準確以及解答不規(guī)．如第(3)問中，不明確寫出ξ的所有可能值，不逐個求概率，這都屬于解答不規(guī)．方法與技巧1．均值與方差的常用性質．掌握下述有關性質，會給解題帶來方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)假設ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．根本方法(1)隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．3．關于正態(tài)總體在*個區(qū)域取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<*≤μ＋σ)，P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<*≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與*軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關于直線*＝μ對稱，從而在關于*＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．②P(*<a)＝1－P(*≥a)，P(*<μ－a)＝P(*≥μ＋a)．(3)3σ原則在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，取該區(qū)間外的值的概率很小，通常認為一次試驗幾乎不可能發(fā)生．失誤與防1．在沒有準確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對于應用問題，必須對實際問題進展具體分析，一般要將問題中的隨機變量設出來，再進展分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差.A組專項根底訓練一、選擇題1．正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(－1,0)上取值的概率分別為m，n，則()A．m>nB．m<nC．m＝nD．不確定2．*一隨機變量*的分布列如下，且E(*)＝6.3，則a的值為()*4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．83．(2021·)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為*，則*的均值E(*)等于()A.eq\f(126,125)B.eq\f(6,5)C.eq\f(168,125)D.eq\f(7,5)4．*種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為*，則*的數(shù)學期望為()A．100B．200C．300D．4005．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停頓后剩余子彈的數(shù)目*的期望值為()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4二、填空題6．從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有*個紅球，則隨機變量*的分布列為*012P隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k－1)，k＝1,2,3，…，n，則P(2<ξ≤5)＝________.8．*次英語考試的成績*服從正態(tài)分布N(116,64)，則10000名考生中成績在140分以上的人數(shù)為________．三、解答題9．*超市為了響應環(huán)保要求，鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予9.6折優(yōu)惠；對需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購置費，也不享受折扣優(yōu)惠．假設該超市在*個時段購物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現(xiàn)從這36人中隨機抽取兩人．(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；(2)設這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列