高考試題-數(shù)學(xué)理（四川卷）解析版

PAGE2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）解析：四川省成都市新都一中肖宏本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至10頁．滿分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.[來第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．答第1卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上.2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．不能答在試卷上．3。本試卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面積公式P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑P(A·B)=P(A)·P(B)球的體積公式如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中R表示球的半徑選擇題：（1）i是虛數(shù)單位，計(jì)算i＋i2＋i3＝（A）－1（B）1（C）（D）解析：由復(fù)數(shù)性質(zhì)知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1答案：A（2）下列四個(gè)圖像所表示的函數(shù)，在點(diǎn)處連續(xù)的是（A）（B）（C）（D）解析：由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)知，D正確.答案：D（3）2log510＋log50.25＝（A）0（B）1（C）2（D）4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2答案：C（4）函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是（A）（B）（C）（D）解析：函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的對(duì)稱軸為x＝－于是－＝1m＝－2答案：A（5）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，則（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由＝16，得|BC|＝4＝4而故2答案：C（6）將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是（A）（B）（C）（D）解析：將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為y＝sin(x－)再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是.答案：Cy0x70488070(15,55)（7）某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品.甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4y0x70488070(15,55)（A）甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱（B）甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱（C）甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱（D）甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱解析：設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱則目標(biāo)函數(shù)z＝280x＋300y結(jié)合圖象可得：當(dāng)x＝15,y＝55時(shí)z最大本題也可以將答案逐項(xiàng)代入檢驗(yàn).答案：B（8）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，則（A）0（B）（C）1（D）2解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2a1故{an}是公比為2的等比數(shù)列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1則答案：B（9）橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而|FA|＝|PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴又e∈(0,1)故e∈答案：D（10）由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（A）72（B）96（C）108（D）144解析：先選一個(gè)偶數(shù)字排個(gè)位，有3種選法①若5在十位或十萬位，則1、3有三個(gè)位置可排，3＝24個(gè)②若5排在百位、千位或萬位，則1、3只有兩個(gè)位置可排，共3＝12個(gè)算上個(gè)位偶數(shù)字的排法，共計(jì)3(24＋12)＝108個(gè)答案：C（11）半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，是平面內(nèi)邊長為的正三角形，線段、分別與球面交于點(diǎn)M，N，那么M、N兩點(diǎn)間的球面距離是（A）（B）（C）（D）解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝cos∠BAC＝連結(jié)OM，則△OAM為等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD而AC＝R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝，連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝所以M、N兩點(diǎn)間的球面距離是答案：A（12）設(shè)，則的最小值是（A）2（B）4（C）（D）5解析：＝＝≥0＋2＋2＝4當(dāng)且僅當(dāng)a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1時(shí)等號(hào)成立如取a＝,b＝,c＝滿足條件.答案：B

第Ⅱ卷填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.（13）的展開式中的第四項(xiàng)是.解析：T4＝答案：－（14）直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則.解析：方法一、圓心為(0,0)，半徑為2圓心到直線的距離為d＝故得|AB|＝2EQ\r(3)答案：2EQ\r(3)（15）如圖，二面角的大小是60°，線段.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是.解析：過點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線.垂足為D連結(jié)AD，有三垂線定理可知AD⊥l，CD故∠ADC為二面角的平面角，為60°CD又由已知，∠ABD＝30°連結(jié)CB，則∠ABC為與平面所成的角設(shè)AD＝2，則AC＝，CD＝1AB＝＝4∴sin∠ABC＝答案：（16）設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對(duì)任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集.其中真命題是（寫出所有真命題的序號(hào)）解析：直接驗(yàn)證可知①正確.當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤－y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確對(duì)于集合S＝{0}，顯然滿足素有條件，但S是有限集,③錯(cuò)誤取S＝{0}，T＝{0,1}，滿足,但由于0－1＝－1T，故T不是封閉集，④錯(cuò)誤答案：①②解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料。（Ⅰ）求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）求中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.解：（1）設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒有中獎(jiǎng)的概率為……6分（2）ξ的可能值為0,1,2,3P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)所以中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列為ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=………………12分（18）（本小題滿分12分）已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，點(diǎn)M是棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線BD'的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大?。唬á螅┣笕忮FM－OBC的體積.本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法一：（1）連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)K，則K為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OK因?yàn)镸是棱AA’的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD’的中點(diǎn)所以AM所以MO由AA’⊥AK，得MO⊥AA’因?yàn)锳K⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’所以AK⊥BD’所以MO⊥BD’又因?yàn)镺M是異面直線AA’和BD’都相交故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線（2）取BB’中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN⊥平面BCC’B’過點(diǎn)N作NH⊥BC’于H，連結(jié)MH則由三垂線定理得BC’⊥MH從而,∠MHN為二面角M-BC’-B’的平面角MN=1,NH=Bnsin45°=在Rt△MNH中，tan∠MHN=故二面角M-BC’-B’的大小為arctan2(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’內(nèi)點(diǎn)O到平面MA’D’距離h＝VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=解法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA’的中點(diǎn),點(diǎn)O是BD’的中點(diǎn)所以M(1,0,),O(,,),=(0,0,1),=(-1,-1,1)=0,+0=0所以O(shè)M⊥AA’,OM⊥BD’又因?yàn)镺M與異面直線AA’和BD’都相交故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線.………………4分(2)設(shè)平面BMC'的一個(gè)法向量為=(x,y,z)=(0,-1,),＝(－1,0,1)即取z＝2,則x＝2,y＝1，從而=(2,1,2)取平面BC'B'的一個(gè)法向量為＝(0,1,0)cos由圖可知，二面角M-BC'-B'的平面角為銳角故二面角M-BC'-B'的大小為arccos………………9分(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝設(shè)平面OBC的一個(gè)法向量為＝(x1,y1,z1)＝(－1,－1,1),＝(－1,0,0)即取z1＝1,得y1＝1，從而＝(0,1,1)點(diǎn)M到平面OBC的距離d＝VM－OBC＝…………12分（19）（本小題滿分12分）（Ⅰ）eq\o\ac(○,1)證明兩角和的余弦公式；eq\o\ac(○,2)由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.（Ⅱ）已知△ABC的面積，且，求cosC.本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)算能力。解：(1)①如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P4.則P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……4分②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosαsin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……6分(2)由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c則S＝bcsinA＝＝bccosA＝3＞0∴A∈(0,),cosA＝3sinA又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝由題意，cosB＝,得sinB＝∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………12分（20）（本小題滿分12分）已知定點(diǎn)A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由.本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推理運(yùn)算能力.解：(1)設(shè)P(x,y)，則化簡得x2－=1(y≠0)………………4分(2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由題意知3－k2≠0且△＞0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(＋4)＝因?yàn)閤1、x2≠－1所以直線AB的方程為y＝(x＋1)因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為(),同理可得因此＝＝0②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)AB的方程為y＝x＋1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()，同理可得因此＝0綜上＝0，即FM⊥FN故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F………………12分（21）（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對(duì)任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列；（Ⅲ）設(shè)cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.解：(1)由題意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………2(2)當(dāng)n∈N*時(shí)，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列………………5分(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首項(xiàng)為b1＝a3－a1＝6,公差為8的等差數(shù)列則bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n于是cn＝2nqn－1.當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.兩邊同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.上述兩式相減得(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋q