微分幾何 3.4空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)課件

3.4空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)我們研究空間曲線在一點(diǎn)臨近的形狀。在類曲線上取一點(diǎn),為了研究點(diǎn)臨近的形狀，在它臨近再取一點(diǎn)利用泰勒公式有其中為方便研究曲線能否找一簡單與有相同性質(zhì)曲率撓率相同，通過研究來了解的結(jié)構(gòu)由于所以其中

而等表示在點(diǎn)的值。由上式可得在的每一個(gè)分量中只取第一項(xiàng)，則有近似曲線在法平面上的投影是消去參數(shù)后有它是半立方拋物線曲線在從切平面上的投影是消去參數(shù)后，有它是立方拋物線曲線在密切平面上的投影是它是拋物線通過畫出以上三個(gè)投影的立體圖形就可以看出空間曲線在一點(diǎn)鄰近的近似形狀當(dāng)時(shí)參數(shù)和三坐標(biāo)的變化如右圖。1.曲線穿過法平面和密切平面，但不穿過從切平面2.主法向量總是指向曲線凹入的方向，這就是主法向量正向的真正意義。3.當(dāng)時(shí)，曲線在附近是右旋的；當(dāng)時(shí)，曲線在附近是左旋的,這就是撓率的幾何意義。曲線的每一點(diǎn)都有確定的曲率和撓率，如果以弧長為參數(shù)，則有這兩個(gè)關(guān)系式只與曲線本身有關(guān)，而與曲線的剛體運(yùn)動及空間曲線坐標(biāo)變換無關(guān)。我們把稱為空間曲線的自然方程。證明（1）以和為系數(shù)建立微分方程組

（1.23）（2）再作微分方程組：利用（1.23），則上述微分方程組可成為

（1.24）由已知條件在連續(xù)；時(shí)是兩兩正交的右手系的單位向量，即根據(jù)微分方程組解的存在定理，存在唯一的一組解。但是當(dāng)（1.25）

時(shí)方程組（1.24）被滿足，所以它們是（1.24）的一組解。由上述(1.25)可知是兩兩正交的單位向量。于是有但是混合積是的連續(xù)函數(shù)，由于當(dāng)時(shí)它等于+1，所以對于所有的都為+1即成右手系。由此得出是兩兩正交的構(gòu)成右手系的單位向量。（3）由于已得到，把（1.23）中的第一式子兩端積分，利用初始條件即得曲線的方程（1.26）（4）因?yàn)樗曰￠L為即若取則得即為曲線的自然參數(shù)（6）曲線的撓率為由以上可見，由方程（1.26）所確定的曲線是以為自然參數(shù)，為曲率，為撓率的曲線?，F(xiàn)在證明唯一性設(shè)和是兩條曲線，它們在對應(yīng)點(diǎn)有相同的曲率和撓率，經(jīng)過適當(dāng)?shù)膭傮w運(yùn)動，可以使曲線和在對應(yīng)于自然數(shù)為的點(diǎn)連同在這點(diǎn)的基本三棱形相重合。我們設(shè)和為分別對應(yīng)于曲線和的基本向量。兩組向量函數(shù)和都是方程組（1.23）的解，并且這些解具有相同的初始條件，根據(jù)微分方程論的解的存在定理，這兩組解是完全相同的。特別是即，積分后得

唯一性證明二設(shè)和是兩條曲線，它們在對應(yīng)點(diǎn)有相同的曲率和撓率，經(jīng)過適當(dāng)?shù)膭傮w運(yùn)動，可以使曲線和在對應(yīng)于自然數(shù)為的點(diǎn)連同在這點(diǎn)的基本三棱形相重合。我們設(shè)和為分別對應(yīng)于曲線和的基本向量。作即證明了兩曲線對應(yīng)點(diǎn)基本向量重合唯一性證