求級數(shù)和論文

NUM②例23．計算.解：構(gòu)造傅立葉函數(shù)=,其中作偶延拓得:=,由此可知傅立葉系數(shù)為：，其中，，（其中）.由狄利克雷收斂條件可知：，其中現(xiàn)在令得：，進(jìn)而可得：.說明：有了以上結(jié)果數(shù)項(xiàng)級數(shù)的關(guān)于就可以套用公式了，下面例題就是直接利用了。例24．計算，，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因?yàn)榧墧?shù)收斂，所以題目中級數(shù)在（0，1）上一致收斂.，，因?yàn)?，所以帶入上面式子可得級?shù)和為.2.7三角級數(shù)對應(yīng)復(fù)數(shù)求級數(shù)和為了求三角級數(shù)互或的和，常把它們視為復(fù)數(shù)域內(nèi)冪級數(shù)和的實(shí)部和虛部的系數(shù)．例25.計算.解：由復(fù)數(shù)域上冪級數(shù)的麥克勞林展式可知：，及，由，對應(yīng)實(shí)部得，其中，.2.8利用三角公式化簡級數(shù)三角級數(shù)還可以利用三角公式化簡三角級數(shù)，化簡后的級數(shù)可能比原級數(shù)容易求解些，通常復(fù)雜級數(shù)求和都是要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為能求和的方向.例26．計算.解：由三角函數(shù)的積化和差公式可知：原級數(shù)=，其中未知數(shù)滿足：.2.9針對2.7的延伸在此對2.8的延伸，并不是意味著2.8是個通用的級數(shù)和式子，只是看見了另外的一個題可以運(yùn)用2.8，在此列出是為了表明在求級數(shù)和的過程中一些復(fù)雜級數(shù)可以由另外一些級數(shù)求和的，因此遇見復(fù)雜級數(shù)求和的時候要多注意平常積累的例子，想想平時有沒有遇見類似的級數(shù)求和問題.例27．計算.解：令，由2.8可知=其中未知數(shù)滿足，令，.有，由，當(dāng)時，有，于是.2.10添加項(xiàng)處理系數(shù)例28．計算，其中.解：令，當(dāng)時，=，其中，當(dāng):時，，于是：.2.11應(yīng)用留數(shù)定理計算級數(shù)和定理：若函數(shù)滿足以下兩個條件：（1）在復(fù)平面具有孤立奇點(diǎn)，，…，且這些孤立奇點(diǎn)不為整數(shù)及，除去上述奇點(diǎn)外在其它各處都解析；（2）.證明：研究圍道積分又由函數(shù)滿足留數(shù)定理的條件，則根據(jù)定理我們可以得到如下的等式：（1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，兩邊取極限得即：，所以，對（1）式取極限得到0=.所以.證明完畢.例29．求級數(shù)（不為0）的和.解：令，當(dāng)不為零時，滿足定理的兩個條件，那么.即：，當(dāng)趨近于零時，將上式變形可得：容易證得等式左邊的兩個級數(shù)是收斂的.故上式兩端取極限可得上述級數(shù)和,2.12利用函數(shù)求級數(shù)和定理1：設(shè)為自然數(shù)，為實(shí)數(shù)，且，則.定理2：設(shè)為自然數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，是實(shí)數(shù)，大于，，有.定理3：設(shè)為自然數(shù)，級數(shù)在[0,1]上一致收斂于函數(shù),則.這三個定理的證明涉及函數(shù)，此處證明從略.只說明這三個定理應(yīng)用于求解級數(shù)和的問題.分析這三個定理可以看它們用于解決一些自然數(shù)連續(xù)性相乘且置于分母的級數(shù)和.將級數(shù)和中某些數(shù)賦予給定理中的相應(yīng)的、、，再將按定理套用，可以將定理左邊的級數(shù)化為右邊的積分求解.運(yùn)用定理的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出、、，只要這項(xiàng)工作完成，那么剩下的就是積分的問題.例30：計算.解：對應(yīng)上述三個定理，此級數(shù)根據(jù)定理1，將置為-1，置為3，為置1則可以將級數(shù)化為積分式子，求解具體過程從略.3.運(yùn)用特殊級數(shù)的和求和法這種方法的基本思想是:將待求和的級數(shù)用一些已知級數(shù)來表示,通過代入已知級數(shù)求得待求級數(shù)的和.以下運(yùn)用例子來說明該方法.例31.求.解:原式可以用級數(shù)表示如下.考慮級數(shù),其收斂半徑為1,故當(dāng)時收斂,設(shè)其和函數(shù)為,下面在區(qū)間內(nèi)求.由于,所以令,即得.例32.(1)求級數(shù)的和;(2)求級數(shù)的和.解:(1)由于所以,故.(2)因?yàn)?所以,從而.例33.求下列級數(shù)的和:(1);(2).解:(1)由于,令,得的和,因此.(2)由于當(dāng)時,有,故令即得,于是有.例33.求下列常數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和:(1);(2);(3).解:將在內(nèi)展開為正弦級數(shù)有,,所以.(1)當(dāng)時,有.(2)當(dāng)時,有.(3)當(dāng)時,有.例34.求的和.解:將函數(shù).令,則.例35.求和.解:令,則.因?yàn)?按實(shí)部和虛部分別相等的關(guān)系,即得.利用四則運(yùn)算等將所給級數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程再求解,這種思維方式和求解方法與錯位相減法類似,只不過在錯位相減法中兩邊同乘的是等比級數(shù)的公比,在這里則需依具體情況而定,同乘以關(guān)于的某個代數(shù)式再兩式相減以得化簡.例36.求級數(shù)的和.解:因?yàn)樵摷墧?shù)的收斂半徑,又因?yàn)楫?dāng).,則,(5),(6)(5)式減去(6)得,故.轉(zhuǎn)化為微分方程求解,即研究它的導(dǎo)數(shù)或其與它本身有何特點(diǎn)及相關(guān)聯(lián)系,看其是否滿足某微分方程及定解條件.找出求和級數(shù)所滿足的微分方程及定解條件,再解該方程.參考文獻(xiàn)：[1]

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊)(第四版)[M]北京：高等教育出版社,

[2]數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法裴禮文（第二版）北京：高等教育出版社

[3]

王艷萍.

無窮級數(shù)和的幾種求法[J].

高等數(shù)學(xué)研究,2005,8(1):42-46

[4]

鄒家富.

關(guān)于級數(shù)的求和方法[J].

工科數(shù)學(xué),

1998,14(1):161-167

[5]

董漢芬.

無窮級數(shù)求和的幾種常用方法[J].

湖北成人教育學(xué)院學(xué)報2005,11(5):67-68

[6]

李偉斌.

級數(shù)求和方法的探究[J].

學(xué)科教學(xué),2009,10:111-113

[7]《吉米多維奇習(xí)題集全解》，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽人民出版社[8]李永樂，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書》（理工