畢業(yè)論文數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法的概述2.1常用數(shù)學(xué)證明方法數(shù)學(xué)是一門非常注重學(xué)習(xí)方法的學(xué)科,而數(shù)學(xué)的證明更是將這些方法體現(xiàn)的淋漓盡致，數(shù)學(xué)中研究問題的方法一般有以下分類：2.1.1演繹法演繹法是從一般性原理得出特殊結(jié)論的推理方法，即從一般到特殊的推理方法。演繹法的特點(diǎn)是它從真實(shí)的前提一定能推出真實(shí)的結(jié)論。因此，演繹法是一種必然的推理，它是一種嚴(yán)格的邏輯證明方法。2.1.2歸納法歸納法是由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。根據(jù)推理過程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納法和完全歸納法[2]。不完全歸納法是根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié)論的推理方法。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。在問題探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過對(duì)這些特例的不完全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想。因而學(xué)會(huì)用不完全歸納法對(duì)問題進(jìn)行探索，對(duì)提高數(shù)學(xué)能力十分重要。不完全歸納法又可分為枚舉歸納法和因果歸納法兩類。枚舉歸納法是以某個(gè)對(duì)象的多次重復(fù)作為判斷根據(jù)的歸納方法；因果歸納法歸納法是把一類事物中部分對(duì)象的因果關(guān)系作為判斷的前提而做出一般性猜想的方法[2]。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法。2.2數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式2.2.1數(shù)學(xué)歸納法概念數(shù)學(xué)歸納法概念:數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。2.2.2數(shù)學(xué)歸納法的基本原理在了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理前，我們不妨先來回想一下小時(shí)候?qū)φ麛?shù)的認(rèn)識(shí)過程，首先，父母叫我們數(shù),后來數(shù),有必有，每一個(gè)正整數(shù)后面都有一個(gè)正整數(shù)，于是我們說：會(huì)數(shù)數(shù)了。事實(shí)上，數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個(gè)簡單原理。數(shù)學(xué)歸納法來源于皮亞諾自然公理，自然數(shù)有以下性質(zhì)：(1)是自然數(shù)(2)每一個(gè)確定的自然數(shù),都有一個(gè)確定的隨從，也是自然數(shù)(3)非隨從，即(4)一個(gè)數(shù)只能是某一個(gè)數(shù)的隨從，或者根本不是隨從，即由一定能推得(5)任意一個(gè)自然數(shù)的集合，如果包含，并且假設(shè)包含，也一定包含的隨從,那么這個(gè)集合包含所有的自然數(shù)。后來因?yàn)榘岩沧鳛樽匀粩?shù)，所以公理中的要換成。其中的性質(zhì)(5)是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果：(1)命題當(dāng)時(shí)正確，即正確(2)在假設(shè)正確的前提下，可以證明命題也正確，那么命題對(duì)任意正整數(shù)都是正確的。數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗(yàn)證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理，能否完成對(duì)與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證，即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠，下面我將結(jié)合“正整數(shù)最小原理”，即“任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來驗(yàn)證數(shù)學(xué)歸納法是否正確。命題1：任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)。證明：在這集合里任意取一個(gè)數(shù),大于的不必討論了，我們需要討論的是那些不大于n的自然數(shù)里一定有一個(gè)最小的數(shù)。應(yīng)用歸納法，如果,它本身就是自然數(shù)里的最小的數(shù)，如果這集合里沒有小于的自然數(shù)存在，那么就是最小的，也不必討論了，如果有一個(gè),那么由數(shù)學(xué)歸納法的假設(shè)知道集合里不大于的自然數(shù)一定有一個(gè)最小的數(shù)存在，這個(gè)數(shù)也就是原集合里最小的數(shù)，即得證。反過來，也可以用這個(gè)性質(zhì)來推出數(shù)學(xué)歸納法。假設(shè)對(duì)于某些自然數(shù)是不正確的，那么，一定有一個(gè)最小的自然數(shù)使這個(gè)命題不正確，也就是，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，命題正確，而當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題也不正確，這與歸納法的假定是矛盾的。也許從理論上來看，我們有可能還不是很懂得數(shù)學(xué)歸納法原理的正確性，我們可以從我們生活上的例子比較直觀的理解它。例2.1從袋子里摸球問題如果袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完而得出一個(gè)確定的結(jié)論，但是，當(dāng)東西是無窮的，怎么辦？如果有這樣一個(gè)論證：“當(dāng)你這一次摸出紅玻璃球的時(shí)候，下一次摸出的，也一定是紅玻璃球”，那么，在這樣的保證下，只要第一次摸出的確定是紅玻璃球，就可以不再檢查地作出正確的結(jié)論：“袋里的東西，全部是紅玻璃球”。上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號(hào)碼的數(shù)學(xué)命題，能夠證明第號(hào)命題正確，如果能夠證明在第號(hào)命題正確的時(shí)候，第號(hào)命題也正確，那么，這一批命題就全部正確。2.2.3數(shù)學(xué)歸納法的其它形式數(shù)學(xué)歸納法原理本質(zhì)上來看由兩個(gè)重要步驟構(gòu)成，首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必須的，然后需要一個(gè)一般意義的演繹規(guī)則，按照這個(gè)演繹規(guī)則，反復(fù)應(yīng)用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達(dá)到任意指定的情形，通常，這個(gè)一般的演繹規(guī)則是從所謂的歸納法假設(shè)開始，從較少規(guī)模成立的假設(shè)推導(dǎo)出較大規(guī)模的情形成立，從而建立一個(gè)一般的演繹規(guī)則，因此，從這一本質(zhì)出發(fā)，數(shù)學(xué)歸納法可演繹出豐富的“變著”，概括起來有兩個(gè)方面：一是奠基點(diǎn)的前提或后推，增多或減少：二是遞推跨度和遞推途徑的變通，而正是因?yàn)槭恰白冎钡亩鄻有院蛻?yīng)用技巧的靈活性，才使數(shù)學(xué)歸納法顯示出廣泛的應(yīng)用性。(1)不一定從開始，也就是數(shù)學(xué)歸納法里的兩句話，可以改成：如果當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題是正確的，又從假設(shè)當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，可以推出當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也是正確的，那么這個(gè)命題時(shí)都正確。這是第一數(shù)學(xué)歸納法的“變著”，也叫做跳躍數(shù)學(xué)歸納法。例2.2求證：邊形個(gè)內(nèi)角的和等于，（）。證明：當(dāng)時(shí)，我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和是，所以當(dāng)時(shí)，命題是正確的，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題也是正確的，設(shè)是邊形的頂點(diǎn)，做線段，它把這個(gè)邊形分成兩個(gè)圖形，一個(gè)是邊形,另一個(gè)是三角形,并且邊形內(nèi)角的和等于后面兩個(gè)圖形的內(nèi)角和的和，就是也就是說，當(dāng)時(shí)這個(gè)命題也是正確的，因此，定理得證。第二句話也可以改為“如果當(dāng)適合于時(shí)命題正確，那么當(dāng)時(shí)，命題也正確”，由此同樣可以證明對(duì)于所有命題都正確。這種屬于第二數(shù)學(xué)歸納法的“變著”。例2.3我們知道，對(duì)于任意自然數(shù)，有,反之，若，且,有成立嗎？證明：當(dāng)時(shí)，由及,得。命題成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛钟谑且驗(yàn)樗杂忠驗(yàn)?故解得或所以時(shí)命題也成立，從而對(duì)任意自然數(shù)，命題成立。(3)設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若對(duì)無限多個(gè)自然數(shù)成立；假設(shè)成立可推出成立，則命題一切自然數(shù)都成立。總之，數(shù)學(xué)歸納法原理還隱含著許多“變著”，這便使得數(shù)學(xué)歸納法在證題中發(fā)揮著重要的作用，除此之外，還有其它其實(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，如蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法，雙重?cái)?shù)學(xué)歸納法。3數(shù)學(xué)歸納法的步驟3.1數(shù)學(xué)歸納法的步驟在高中階段，我們把數(shù)學(xué)歸納法的步驟分為三步，但是從實(shí)質(zhì)上來說，數(shù)學(xué)歸納法也可以分為兩個(gè)步驟：（1）當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，（3）證明當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也是正確的。從而推出這個(gè)命題在自然數(shù)中都是成立的。例3.1對(duì)任意正自然數(shù)，有。證明：(1)當(dāng)時(shí)，，，所以等式成立。(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式也成立，則有(3)當(dāng)時(shí)，時(shí)，等式也成立綜上所述，等式對(duì)一切正自然數(shù)都成立。3.2三個(gè)步驟缺一不可在實(shí)際的教學(xué)過程中，重點(diǎn)在于如何利用假設(shè)時(shí)命題的結(jié)論來推出時(shí)命題也成立，因?yàn)橹暗膬刹肯喈?dāng)于第三步而言比較簡單，因此，學(xué)生做題時(shí)往往會(huì)在第三步感到困難，然而，即使學(xué)生經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，能夠一步不漏正確的做下來，學(xué)生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學(xué)生心中疑問：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不是是代個(gè)最簡單的數(shù)字進(jìn)去看看命題對(duì)不對(duì)，這一步會(huì)有多少作用，為什么非要不可。并且用的假設(shè)命題去推的必要性。以上問題都涉及到數(shù)學(xué)歸納法的原理，本質(zhì)，也是它能夠成為一種重要的數(shù)學(xué)證明方法的巧妙之處。其實(shí)，數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟有著十分密切的關(guān)系，三個(gè)步驟缺一不可。下面用例題來說明：例3.2證明：所有的正整數(shù)都相等。這個(gè)命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題是正確的”不管，那么可以用“數(shù)學(xué)歸納法”來“證明”它。這里，第號(hào)命題是：“第個(gè)正整數(shù)等于第個(gè)正整數(shù)”，就是兩邊都加上，就得這就是說，第個(gè)正整數(shù)等于第個(gè)正整數(shù)，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？錯(cuò)誤就在于，我們沒有考慮的情況。例3.3在正自然數(shù)上都是素?cái)?shù)。分析：當(dāng)?shù)臅r(shí)候，式子的值都是素?cái)?shù),即使如此，我們還不能確立是任何正整數(shù)的時(shí)候，這個(gè)式子的值都是素?cái)?shù)，事實(shí)上，只要的時(shí)候它的值就不是素?cái)?shù)。這也就是說，即使我們?cè)嚵舜危阶拥闹刀际撬財(cái)?shù)，我們?nèi)耘f不能斷定這個(gè)命題一般的正確性。這就足夠說明了是遞推的基礎(chǔ),二，三兩步相互循環(huán)論證關(guān)系是遞推的過程，它解決了從特殊值到一般的過渡。這三個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可。如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。所以，用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題大概有兩種類型：能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，證明這類問題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過適當(dāng)變換完成證明，對(duì)于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中比較常見。不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，這類命題解題時(shí)，一般通過下面的兩種途徑為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件,先將代入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學(xué)知識(shí)，建立與的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立，對(duì)于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概率也是很大的。4數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應(yīng)用是十分廣泛的。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、證明整除問題、證明幾何問題以及矩陣問題等。4.1證明恒等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實(shí)現(xiàn)等式左右兩邊相等即可。下面舉例說明．例4.1用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：(1)當(dāng)時(shí)，左邊，右邊∴左邊=右邊(2)假設(shè)時(shí)，等式成立．即當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，等式也成立。由(1)(2)知，等式對(duì)任何都成立。例4.2（2010江蘇卷（理科））已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1）求證：是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)，是有理數(shù)．證明：(1)由、、為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù)。①當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。②假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，由,由①和歸納假設(shè)，知與都是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)，是有理數(shù)。數(shù)學(xué)歸納法最簡單的應(yīng)用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：“從個(gè)不同的元素里，每次取個(gè)，按照一定的順序擺成一排，稱做從個(gè)元素里每次取出個(gè)元素的排列?！迸帕械姆N數(shù)，稱做排列數(shù)。從個(gè)不同的元素里每次取個(gè)元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號(hào)來表示。對(duì)于有下面的公式：定理1現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明它。證明：首先，．這是顯然的．如果再能證明，那么，這個(gè)定理就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明。我們假定個(gè)元素是在每次取出個(gè)元素的種排列法里，以為首的共有種，以為首的同樣也有種，由此即得于是定理得證。4．2證明不等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種．嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對(duì)于非嚴(yán)格不等式，情況略顯復(fù)雜，在證明過程的第一步驗(yàn)證中，對(duì)于“”或“”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，既要驗(yàn)證“”成立，也要說明成立。只有如此，才能更充分地體現(xiàn)非嚴(yán)格不等式成立。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，只要證明或有一個(gè)成立，即可說明非嚴(yán)格不等式成立。從邏輯連接詞的角度，我傾向于后者。事實(shí)上，用數(shù)學(xué)歸納法證明非嚴(yán)格不等式時(shí)，是或的基礎(chǔ)。例4.3求證：證明：（1）當(dāng)時(shí)，不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即那么當(dāng)即當(dāng)時(shí)，命題成立。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)任何都成立。例4.4求證：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊==右邊∴不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即令那么當(dāng)時(shí)，令則有∴由歸納假設(shè)知，，則即當(dāng)時(shí)，命題成立。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)任何都成立。有時(shí)候，我們要證明的不等式無法直接運(yùn)用歸納法解決，這時(shí)，我們則考慮將不等式加強(qiáng)以便運(yùn)用歸納法。而不等式加強(qiáng)的形式是多樣的，其中規(guī)律有法可循——根據(jù)要證不等式的形式進(jìn)行構(gòu)造。例4.5若不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明你的結(jié)論。解：取，令，得，而，所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1）時(shí)，已證結(jié)論正確。2）假設(shè)時(shí)，不等式成立。3）則當(dāng)時(shí)，有因?yàn)樗运约磿r(shí)，結(jié)論成立。由1），2）可知，對(duì)一切，都有故的最大值為。4．3證明整除問題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一。在做這一部分題時(shí)，應(yīng)從整除的基本含義入手，通過添項(xiàng)去項(xiàng)進(jìn)行“配湊”，使之能夠獲證。例4.6證明能被整除。證明：1)時(shí)，能被整除。2)假設(shè)時(shí)，能被整除。3）則當(dāng)時(shí)，有由于能被整除，能被整除所以時(shí)命題成立。即證。4.4證明幾何問題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運(yùn)用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。數(shù)學(xué)家華羅庚曾在其《數(shù)學(xué)歸納法》一書中指出；“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來．”不少與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。例4.7平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)。求證：這個(gè)圓把平面分成個(gè)部分。證明：1）當(dāng)時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，命題成立。2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即個(gè)圓把平面分成個(gè)部分。3）則當(dāng)時(shí)，這個(gè)圓中的個(gè)圓把平面分成個(gè)部分，第個(gè)圓被前個(gè)圓分成條弧，每條弧把它所在部分分成了兩個(gè)部分，這是共增加了個(gè)部分，即個(gè)圓把平面分成即命題成立。4.5行列式與矩陣的證明行列式與矩陣的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。當(dāng)然，任何一個(gè)n階行列式都可以由它的定義去計(jì)算其值。但由定義可知，階行列式的展開式有！項(xiàng)，計(jì)算量很大，一般情況下不用此法。如果選擇好的方法，從而達(dá)到化繁為簡的功效。例4.8證明范得蒙行列式：其中證明：（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立。（2）假設(shè)等式對(duì)階范得蒙行列式成立，即對(duì)n階范得蒙行列式：按第一列展開并提取公因子，得后面的行列式是一個(gè)階范得蒙行列式，由歸納假設(shè)可寫作，代入上式便得.由（1）、（2）可知，對(duì)所有的，命題成立。例4.9求證：證明：（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立（2）假設(shè)命題成立，即當(dāng)取時(shí):由（1）、（2）可知，對(duì)所有的，命題成立。在解決行列式與矩陣問題時(shí)，選擇一種好的方法不僅能達(dá)到事半功倍的效果，更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的功底。計(jì)算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用。在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，再考察它是否能用常用的幾種方法，如果行列式與矩陣中有與自然數(shù)有關(guān)，我們可考慮用數(shù)學(xué)歸納法去證明，再利用它們的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換，然后求解。5運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤分析剛剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)對(duì)步驟把握不清的現(xiàn)象，下面針對(duì)幾種常見錯(cuò)誤進(jìn)行分析。5.1忽略了歸納奠定基礎(chǔ)的必要性錯(cuò)例5.1試證。錯(cuò)證：假設(shè)時(shí)等式成立，即則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等式成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理可知，當(dāng)是任意正整數(shù)時(shí)，等式都成立。評(píng)注：事實(shí)上，。因此錯(cuò)例1的題目是錯(cuò)誤的。上述錯(cuò)證，竟把錯(cuò)誤的結(jié)論“證明”出來了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納奠定這一步。切莫以為歸納奠定這一步就是“當(dāng)時(shí)命題正確”這么一句話，似乎無關(guān)緊要，可有可無。從上例可以看出，不去認(rèn)真地檢驗(yàn)這一步，或者根本沒有這一步，就可能陷入錯(cuò)誤的泥潭。因此，只有歸納遞推、沒有歸納奠定基礎(chǔ)的論證是錯(cuò)誤的。歸納奠基步驟決不能少。5.2弄不清從變化到命題發(fā)生變化時(shí)到底增加了幾項(xiàng)錯(cuò)例5.2求證：（n為自然數(shù)）。當(dāng)時(shí)，左邊為則當(dāng)時(shí)左邊應(yīng)為就增加了括號(hào)中的那部分共項(xiàng)，而往往在此處由于受到前期思維定勢(shì)的影響，判斷為只增加一項(xiàng)，那就錯(cuò)了。5.3在第二步證明中沒有利用歸納假設(shè)比如用數(shù)學(xué)歸納法證明，不少同學(xué)是按下列步驟展開的：證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=2∵左邊右邊∴原不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)（k為整數(shù)）時(shí)不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，∴時(shí)不等式也成立．由（1）、（2）知對(duì)于一切整數(shù)n，命題成立。上述的證明方法表象似乎是“數(shù)學(xué)歸納法”，其實(shí)不是，因?yàn)榈诙接赏茖?dǎo)時(shí)，沒有用到歸納假設(shè)來證明不等式成立，這就好像接力賽跑一樣沒有由前一個(gè)將接力棒傳給。6應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的一些技巧6.1靈活選取“起點(diǎn)”第一步驗(yàn)證時(shí)，一般情況下也總能把命題證明出來，但對(duì)有些問題，則必須根據(jù)題目具體條件，對(duì)第一步做些調(diào)整，靈活選取起點(diǎn)，比如，適當(dāng)?shù)膶⑵瘘c(diǎn)前移或后挪，會(huì)對(duì)問題的解決大有幫助。所謂“起點(diǎn)的前移”是指對(duì)命題，若驗(yàn)證起點(diǎn)（如）比較困難或麻煩，而（如）有意義時(shí)，不妨將起點(diǎn)的驗(yàn)證移至；所謂“起點(diǎn)后挪”是指對(duì)命題，，，…，不能統(tǒng)一到“歸納”過程中去，這時(shí)可將起點(diǎn)后挪至，當(dāng)然，，…，需要用完全歸納法予以一一驗(yàn)證。例6.1若、為正整數(shù)，則能被整除。證明：（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立。假設(shè)時(shí)命題成立。則當(dāng)時(shí)，由假設(shè)知，時(shí)命題成立。綜合（1）、（2）知原命題成立。上例假設(shè)是為正整數(shù)，而我們第一步驗(yàn)證，這時(shí)命題顯然成立，這比直接驗(yàn)證要容易的多。并且這樣選擇的“起點(diǎn)”并不影響后面的遞推步，在這種情形下是允許這樣做的。例6.2試證：對(duì)一切自然數(shù)，都有。分析：不妨先看看第二步，假設(shè)時(shí)，有，即.則當(dāng)時(shí)，。∵,由于，欲使上式大于0，必有，即k3>4。這說明要完成歸納遞推，必須從4開始。因而起點(diǎn)也必須從“后挪”至。此時(shí)第一步就應(yīng)該是：當(dāng)時(shí)，（經(jīng)驗(yàn)證）命題都成立。這里運(yùn)用了“起點(diǎn)后挪”的技巧[7]。6.2恰當(dāng)選取“跨度”在歸納中，有時(shí)采用較大的跨度更為方便，就可以改變跨度，不過應(yīng)注意隨之而起點(diǎn)增多。例6.3試證：任意大于7的自然數(shù)均可表為若干個(gè)3與若干個(gè)5之和（若干個(gè)包括零個(gè)）。證明：（1）當(dāng)=8，9,10時(shí)，命題成立，由8=5+3,9=3+3+3,10=5+3知命題成立。假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，只需再加一個(gè)3即可，顯然成立。綜合（1）、（2）知原命題成立.上例遞推跨度為3，起點(diǎn)驗(yàn)證也需要三個(gè)。例6.4求證對(duì)一切自然數(shù)，不定方程都有正整數(shù)解。證明：當(dāng)時(shí)，??；當(dāng)，取，故知命題在和2時(shí)成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，，就有，知它們恰為方程的一組正整數(shù)解.所以當(dāng)時(shí)，命題也成立。則對(duì)一切自然數(shù)不定方程都有正整數(shù)解。對(duì)上述兩個(gè)例題，如果硬性規(guī)定跨度為1，則作繭自縛，而通過加大跳躍跨度，則大大降低了歸納難度[6]。6.3選取合適的假設(shè)方式同“起點(diǎn)”和“跨度”一樣，歸納法的假設(shè)也可以是“因勢(shì)而異”的，不一定非要拘泥于“假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立”不可。事實(shí)上，“”往往可以用“”或“，”等等來代替。6.3.1以“假設(shè)時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立”例6.5設(shè)數(shù)列{}滿足關(guān)系式：（1），（2），試證數(shù)列的通項(xiàng)公式為。（加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）分析：顯然滿足通項(xiàng)公式，但因，與，，…，都有關(guān)，如果仍設(shè)，就顯得不夠用了。按如果改設(shè)“對(duì)一切，都有”，問題即可解決，因?yàn)橛杉纯芍矟M足通項(xiàng)公式。在上面的論證中，僅僅改變了假設(shè)的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理，相反卻有利歸納過渡，因而是十分可取的。6.3.2以“假設(shè)，時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立”有時(shí)也會(huì)碰到一些問題，它們的歸納需要依賴于前面兩個(gè)命題同時(shí)成立，這時(shí)就應(yīng)當(dāng)用“假設(shè)，時(shí)成立”來代替通常的“假設(shè)時(shí)成立”，不過這樣一來，起點(diǎn)也應(yīng)增多為兩個(gè)，否則，后面所作的假設(shè)就變得沒有依據(jù)，整個(gè)論證也就變得不可信了。例6.6設(shè)與是方程的兩個(gè)根，試證對(duì)任何自然數(shù)，都是整數(shù)，但不是5的倍數(shù)。證明：為了便于使用歸納法，我們先來推導(dǎo)一下遞推關(guān)系式.由韋達(dá)定理知：，因而就有故知，即有.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故知當(dāng)與2時(shí)，都是整數(shù)且不為5的倍數(shù)，現(xiàn)假設(shè)，時(shí)，也都是整數(shù)，于是由遞推關(guān)系式知當(dāng)時(shí)，也是整數(shù).所以對(duì)一切自然數(shù)，都是整數(shù)。為證都不是5的倍數(shù)，以記其被5除所得的余數(shù)，于是由已證部分知，且由遞推公式知。再證{}是一個(gè)循環(huán)數(shù)列，循環(huán)節(jié)是6。事實(shí)上，我們有于是有從而知{}是以6作為循環(huán)節(jié)的循環(huán)數(shù)列.于是可以算出：它們都不為0，這樣我們就證明了對(duì)一切自然數(shù)，都不是5的倍數(shù)。在本例論證的前一部分——是整數(shù)中，就采用了“與時(shí)，是整數(shù)”的假設(shè)形式，以便于利用遞推公式順利進(jìn)行完成歸納過渡。這種假設(shè)形式，在論證數(shù)列問題時(shí)較為常用.但在使用時(shí)應(yīng)注意對(duì)起點(diǎn)數(shù)作相應(yīng)的增多。7數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用數(shù)學(xué)歸納法在討論涉及正數(shù)無限性的問題時(shí)，是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它的地位和作用可以從以下三個(gè)方面來看：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式、二項(xiàng)公式定理等都可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們也常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明它們的正確性。（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)問題，如與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、一些整除問題、一些幾何問題等，既可以開闊眼界，又可以受到推理論證的訓(xùn)練。對(duì)于一些用常規(guī)的分析綜合法不容易證明的題，用數(shù)學(xué)歸納法往往會(huì)得到一些意想不到的好結(jié)果。（3）數(shù)學(xué)歸納法在進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)經(jīng)常用到，因此掌握這種方法可以為今后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。致謝經(jīng)過了數(shù)月的努力，我的畢業(yè)論文終于完成了，此時(shí)，我的心情常激動(dòng)。雖然，本論文還有許多不足之處，但這也是我?guī)讉€(gè)月來努力的成果，以及我的導(dǎo)師曹慧老師對(duì)我孜孜不倦的指導(dǎo)。記得在剛剛確定論文課題的開始，導(dǎo)師就很耐心地幫助我，比個(gè)根據(jù)對(duì)我自身的特點(diǎn)給了我?guī)讉€(gè)比較合適的課題；還有在撰寫論文的過程中，老師也是隨時(shí)地提醒我要注意論文撰寫的進(jìn)度以及一些相關(guān)要求。所以，這篇論文并不僅僅是我個(gè)人的勞動(dòng)成果，假如沒有導(dǎo)師的指導(dǎo)和支持，我的畢業(yè)論文肯定完成得不是那么順利。所以，我要發(fā)自肺腑地感謝我的導(dǎo)師，感謝她這幾個(gè)月來的辛勤知道和陪伴！還有我敬愛的老師們，在我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)生活中，你們的諄諄教誨時(shí)時(shí)刻刻激勵(lì)著我，我之所以能夠很好地學(xué)到科學(xué)文化知識(shí)，全得益于你們的樂于奉獻(xiàn)，所以在此，也要對(duì)你們說聲謝謝！再者，還有我親愛的同學(xué)們，我的生活因?yàn)橛心銈兊呐惆槎辉倏菰锓ξ叮銈兘o我?guī)砹颂嗝篮玫幕貞?，這些回憶值得我永遠(yuǎn)珍藏，所以也要謝謝你們！最后，我要感謝我的家人，有了你們的鼓勵(lì)和支持，我才能夠義無返顧的努力向前，我才能夠順利地完成學(xué)校，在此道一聲：謝謝你們！還要感謝在百忙之中抽出時(shí)間參加我們畢業(yè)論文答辯的老師，你們辛苦了！參考文獻(xiàn)[1]王子興.數(shù)學(xué)方法論[M].長沙：中南大