定理25極差的分布課件

第一章

統(tǒng)計推斷準(zhǔn)備0.預(yù)備知識0.1大數(shù)定律與中心極限定理闡明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱大數(shù)定律，而研究獨立隨機變量的和的極限分布在什么條件下為正態(tài)分布的一類定理叫中心極限定理。0.1.1車貝雪夫不等式設(shè)隨機變量有期望和方差，則對任意，有第一章統(tǒng)計推斷準(zhǔn)備0.預(yù)備知識0.1.2大數(shù)定律定義：若隨機變量序列，如果存在常數(shù)列使得對任意的有成立，則稱隨機變量序列服從大數(shù)定律.定理1（貝努里大數(shù)定律）設(shè)是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1），則對任意的，有：0.1.2大數(shù)定律定理2（車貝雪夫大數(shù)定律）設(shè)是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量，又設(shè)他們的方差有界，既存在常數(shù)C>0，使有則對任意的，有例1.：設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，均服從參數(shù)為的泊松分布則定理3（辛欽大數(shù)定律）設(shè)是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學(xué)期望存在，則對任意的有定理2（車貝雪夫大數(shù)定律）設(shè)0.1.3.中心極限定理定理1（林德貝格-勒維定理）若是獨立同分布的隨機變量序列，且則隨機變量，其中的分布函數(shù)對一切x，有：即隨機變量漸近地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）設(shè)是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而0<p<1是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則漸近的服從正態(tài)分布，其中q=1-p或0.1.3.中心極限定理例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3米的概率是多少？

例3：某車間有200臺車床，獨立工作，開工率為0.6，開工時耗電各為1000瓦，問供電部門至少要供給這個車間多少電力才能使99.9%的概率保證這個車間不會因為供電不足而影響生產(chǎn)。例4：一加法器，同時收到20個噪聲電壓設(shè)他們是相互獨立的，且在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布的隨機變量，記，求例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)§1基本概念

1.1總體與樣本總體：研究對象的全體，記為X或，是指一個隨機變量。個體：組成總體的每個單元。樣本：就是n個相互獨立且與總體有相同概率分布的隨機變量，i=1，2，…，n，所組成的n維隨機變量樣本值：每一次具體的抽樣所得的數(shù)據(jù)就是n個隨機變量的值（樣本值）用小寫字母表示。注：樣本具有雙重性，即它本身是隨機變量，但一經(jīng)抽取便是一組確定的具體值。定義：若隨機變量相互獨立且每個，i=1，2，…，n，與總體有相同的概率分布，則稱隨機變量為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，稱，i=1，2，…，n為樣本的第i個分量。若有分布密度（或分布函數(shù)）則稱是來自總體（或）的樣本.

1.2統(tǒng)計量定義：設(shè)為總體的一個樣本，為一個實值函數(shù)，如果T中不包含任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。例如：總體，a已知，未知，為的一個樣本，則是統(tǒng)計量，但不是統(tǒng)計量。1.3順序統(tǒng)計量及經(jīng)驗分布1.3.1順序統(tǒng)計量設(shè)為總體，的一個樣本，將其諸分量，i=1，2，…，n，按由小到大的次序重新排列為，即，稱為總體的第k個順序統(tǒng)計量（次序統(tǒng)計量），特別稱為最小項統(tǒng)計量，為最大項統(tǒng)計量。1.2統(tǒng)計量例1.5：設(shè)有一個總體，它以等概率取0，1，2三個值，現(xiàn)從此總體中取容量為2的一個樣本

，列出樣本所有可能取值情況和相應(yīng)的次序統(tǒng)計量的情況。例1.5：設(shè)有一個總體，它以等概率取0，1，2三個值，現(xiàn)從此1.3.2經(jīng)驗分布由給定的樣本定義一個函數(shù)，此函數(shù)的性質(zhì)：（1）當(dāng)樣本固定時，作為x的函數(shù)是一個階梯形的分布函數(shù)，恰為樣本分量不大于x的頻率。（2）當(dāng)x固定時，它是一個統(tǒng)計量，其分布由總體的分布所確定。即 （二項分布）稱為總體對應(yīng)于樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)。1.3.2經(jīng)驗分布1.4常用的一些統(tǒng)計量1.4.1樣本的分位數(shù)設(shè)~為總體，為樣本，為順序統(tǒng)計量，定義稱為樣本的分位數(shù)。當(dāng)=1/2時，稱為樣本的中位數(shù)。（也用表示）

例1.6：若（1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9），則？

1.4.2.樣本的極差稱為樣本的極差1.4常用的一些統(tǒng)計量1.4.3樣本分量的秩若，則稱的秩為j，記作，它表示樣本第個分量，處于順序統(tǒng)計量中的位次。

1.4.4.樣本矩設(shè)為總體取出的容量為n的樣本，統(tǒng)計量叫樣本均值；統(tǒng)計量叫樣本方差（而稱叫修正的樣本方差）；統(tǒng)計量，（r=1，2，…）叫樣本的r階原點矩；統(tǒng)計量，（r=1，2，…）叫作樣本的r階中心矩。1.4.3樣本分量的秩1.4.5二元總體的樣本矩設(shè)為二元隨機變量，，，…，為其樣本，稱為的邊際樣本方差；為的邊際樣本方差；

為樣本的協(xié)方差；為樣本的相關(guān)系數(shù)。1.4.5二元總體的樣本矩§2.常用統(tǒng)計量的抽樣分布2.1順序統(tǒng)計量的分布（次序統(tǒng)計量）2.1.1定義設(shè)（）是來自總體的一個樣本，（）是該樣本的一組觀察值，將它按由小到大的次序排列成，如果規(guī)定的取值為，k=1，2，…，n，則稱為（）的一組次序統(tǒng)計量，而稱為第k個次序統(tǒng)計量。（見1.3.1）

2.1.2連續(xù)型總體次序統(tǒng)計量的分布（僅給出結(jié)論）定理2.1設(shè)總體，，為的一個樣本，則第k個次序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)為：

分布函數(shù)為：§2.常用統(tǒng)計量的抽樣分布特別：當(dāng)k=1時，得樣本極小值的分布密度與分布函數(shù)為：

當(dāng)k=n時，得樣本極大值的分布密度與分布函數(shù)為：特別：定理2.2

設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，為X的一個樣本，則第k個次序統(tǒng)計量與第r個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（k<r）定理2.3設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，為X的一個樣本，則S個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度為定理2.2設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為定理2.4（定理2.3的特殊情形）設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，為X的一個樣本，則前r個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（）特別：當(dāng)r=n時，得n個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為注：n個次序統(tǒng)計量不是相互獨立的，即次序化破壞了簡單隨機樣本的獨立性。定理2.4（定理2.3的特殊情形）設(shè)總體X的分布函數(shù)為

定理2.5（極差的分布）令，則的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

例2.1：設(shè)總體有分布密度為，為從取出的容量為4的樣本的順序統(tǒng)計量，求的分布函數(shù)，

例2.2：設(shè)總體X服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，其分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為：為X的一個樣本，求第k個次序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)。例2.1：設(shè)總體有分布密度為例2.3：設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為：為X的一個樣本，求的密度函數(shù)，的密度函數(shù)，極差=-的密度函數(shù)，的聯(lián)合密度函數(shù)。

例2.4：設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為

是容量為n的樣本的前r個次序統(tǒng)計量，則

都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且相互獨立。

例2.5：在上述條件下，則例2.3：設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布函數(shù)與概率§3n個重要統(tǒng)計量的分布

3.1正交矩陣與正態(tài)分布定理3.1設(shè)相互獨立，且都服從，而A=是n階正交矩陣，，則必相互獨立，且都服從定理3.2設(shè)相互獨立，且，A=是n階正交矩陣，，則必相互獨立，且

§3n個重要統(tǒng)計量的分布

3.2三個重要分布

3.2.1分布定義：稱隨機變量有分布，自由度為n，如果他有密度定理3.3設(shè)相互獨立，且都服從，則

定義：的上側(cè)分位數(shù)，即3.2三個重要分布

的性質(zhì)：(1)

(2)若

，

且X與Y獨立，

則X+Y~注：1.如果

相互獨立且

，則

的上側(cè)

分位數(shù)

，即設(shè)X~

，則對

有即：當(dāng)n很大時，

，或X

的性質(zhì)：4. 當(dāng)n>45時，本書附表中查不到，但可以利用注3求其近似值，即由于~,則：

例如：求，，所以4. 當(dāng)n>45時，本書附表中查不到，但可以利3.2.2t-分布定義：稱隨機變量有t-分布，自由度為n，如果它有密度函數(shù)定理3.4

設(shè)X~，Y~，且X與Y相互獨立，則T=.定義：的上側(cè)分位數(shù)，即注：當(dāng)自由度時，的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)n>45時，3.2.2t-分布3.2.3F-分布定義：稱隨機變量有F-分布，自由度為，如果它有密度定理3.5

設(shè)X~，Y~且X與Y相互獨立，則

注：若X~，則1/X~定義：的上側(cè)分位數(shù)，即，注：=1/3.2.3F-分布3.2.4查表1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表：2. 分布表：3. 分布表：4. 分布表：

3.2.4查表 3.3抽樣分布定理定理4.6（Fisher定理）設(shè)總體服從，為其子樣，子樣的平均值與方差，修正的樣本方差分別記為與及，則（1）~，（2）（3）與（或）獨立推論：設(shè)總體服從，為其子樣，則3.3抽樣分布定理定理3.7設(shè)與分別為取自，的兩個樣本，且這兩個樣本獨立，則1.2.若，則

其中，定理3.7設(shè)與定理3.8（柯赫倫cochran定理）（變量分解定理）設(shè)總體~，為其子樣，且為秩為的關(guān)于的二次型，則，l=1，…，k相互獨立，且~，l=1，2，…，k例3.1：設(shè)總體~，為其子樣，試證： 與相互獨立,且分別服從，定理3.8（柯赫倫cochran定理）（變量分解定理

§4.總體分布的近似描述

4.1格列汶科定理對任意實數(shù)x，當(dāng)時，格里汶科定理表明：在幾乎處處的意義下，當(dāng)n充分大時，對x一致地有F（x）非常接近。由此可見當(dāng)n較大時，用經(jīng)驗分布函數(shù)估計總體分布函數(shù)是合理有效的。

§4.總體分布的近似描述4.2直方圖對于連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)或密度函數(shù)能完整地描述它的取值規(guī)律性，給出分布函數(shù)或密度函數(shù)是等價的。

直方圖能反映總體密度曲線的大致形狀。

4.2直方圖設(shè)X的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別用F(X),f(x)表示：當(dāng)很小時，有

表明：密度函數(shù)在x處的值f(x)近似等于隨機變量X落入含有x的小區(qū)間的概率除以小區(qū)間的長度。概率可以用頻率近似。

設(shè)X的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別用F(X),f(x)表示：設(shè)來自X的樣本觀測值為，考察其中每個值是否屬于看作一次試驗，則即f(x)與單位長度的頻率近似相等，稱單位長度的頻率為頻率密度。設(shè)來自X的樣本觀測值為編制頻數(shù)分布表的一般步驟：1.計算極差：2.計算組距：組距=組上限-組下限3.確定組限：選a（略小于或等于，

定理25極差的分布課件例4.1某廠生產(chǎn)一種25瓦的白熾燈泡，其光通量（單位：流明）用X表示，從這批燈泡中抽取容量為60的樣本，進行觀察得光通量數(shù)據(jù)如下：216203197208206209206208202221206213218207203202194203202193203213211198213208204206204206208209213203206207196201208207213208210208211214220211203216224211209218214219211221211218試編制頻數(shù)分布表，并繪制頻率密度直方圖。例4.1某廠生產(chǎn)一種25瓦的白熾燈泡，其光通量（單位：流明解.1.極差：R=224-193=312.計算組距：d=31/7=4.433.確定組范圍：[190，195),[195，200),[200，205),[205，210),[210，215),[215，220),[220，225].解.1.極差：R=224-193=31按光通量分組頻數(shù)分布表按光通量分組頻數(shù)頻率密度(%)[190,195)20.67[195，200)31[200，205)124[205，210)196.3[210，215)144.7[215，220)62[220，225]41.3合計60按光通量分組頻數(shù)分布表按光通量分組頻數(shù)頻率密度(%)[190頻率密度直方圖(P.18)圖1.6頻率密度分布曲線圖(P.19)圖1.7頻率密度直方圖(P.18)圖1.6§5.雜例例5.1：在總體中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。

例5.2：在總體中取容量為5的樣本，（1）求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率（2）求（3）求例5.3：求總體的容量分別為10，15的兩個獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率。

§5.雜例例5.4：設(shè)為的一個樣本，求例5.5：設(shè) 是來自 的樣本，求

例5.6：已知 ，則

例5.7：設(shè) 為總體X的一個樣本， 求 ，例5.8：設(shè)在總體 中抽取一容量為n的樣本，未知，（1）求 ，；（2）當(dāng)n=16時，求例5.4：設(shè)為例5.9：設(shè) 為總體X的一個樣本， ， ，為第n+1次的觀察結(jié)果，試證：（1）例5.10：設(shè) 是來自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，

則例5.11：設(shè) 是取自正態(tài)總體X~ 的一個樣本，求例5.9：設(shè) 為總體X的一個樣本， ，例5.12.：設(shè)X服從 ， 為來自總體X的簡單隨機樣本，試求常數(shù)C，使CY~ 分布

例5.13：設(shè)總體X在（ ）（ ）上服從均勻分布，為其子樣，求 及極差 的數(shù)學(xué)期望 。

例5.14：設(shè)總體 服從

和分別為樣本均值和樣本方差，又設(shè) 且與

獨立。求統(tǒng)計量 的抽樣分布。例5.12.：設(shè)X服從 ， 為來自總體X的簡單隨機樣本，第一章

統(tǒng)計推斷準(zhǔn)備0.預(yù)備知識0.1大數(shù)定律與中心極限定理闡明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱大數(shù)定律，而研究獨立隨機變量的和的極限分布在什么條件下為正態(tài)分布的一類定理叫中心極限定理。0.1.1車貝雪夫不等式設(shè)隨機變量有期望和方差，則對任意，有第一章統(tǒng)計推斷準(zhǔn)備0.預(yù)備知識0.1.2大數(shù)定律定義：若隨機變量序列，如果存在常數(shù)列使得對任意的有成立，則稱隨機變量序列服從大數(shù)定律.定理1（貝努里大數(shù)定律）設(shè)是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1），則對任意的，有：0.1.2大數(shù)定律定理2（車貝雪夫大數(shù)定律）設(shè)是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量，又設(shè)他們的方差有界，既存在常數(shù)C>0，使有則對任意的，有例1.：設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，均服從參數(shù)為的泊松分布則定理3（辛欽大數(shù)定律）設(shè)是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學(xué)期望存在，則對任意的有定理2（車貝雪夫大數(shù)定律）設(shè)0.1.3.中心極限定理定理1（林德貝格-勒維定理）若是獨立同分布的隨機變量序列，且則隨機變量，其中的分布函數(shù)對一切x，有：即隨機變量漸近地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）設(shè)是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而0<p<1是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則漸近的服從正態(tài)分布，其中q=1-p或0.1.3.中心極限定理例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3米的概率是多少？

例3：某車間有200臺車床，獨立工作，開工率為0.6，開工時耗電各為1000瓦，問供電部門至少要供給這個車間多少電力才能使99.9%的概率保證這個車間不會因為供電不足而影響生產(chǎn)。例4：一加法器，同時收到20個噪聲電壓設(shè)他們是相互獨立的，且在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布的隨機變量，記，求例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)§1基本概念

1.1總體與樣本總體：研究對象的全體，記為X或，是指一個隨機變量。個體：組成總體的每個單元。樣本：就是n個相互獨立且與總體有相同概率分布的隨機變量，i=1，2，…，n，所組成的n維隨機變量樣本值：每一次具體的抽樣所得的數(shù)據(jù)就是n個隨機變量的值（樣本值）用小寫字母表示。注：樣本具有雙重性，即它本身是隨機變量，但一經(jīng)抽取便是一組確定的具體值。定義：若隨機變量相互獨立且每個，i=1，2，…，n，與總體有相同的概率分布，則稱隨機變量為來自總體的容量為n的簡單隨機樣本，稱，i=1，2，…，n為樣本的第i個分量。若有分布密度（或分布函數(shù)）則稱是來自總體（或）的樣本.

1.2統(tǒng)計量定義：設(shè)為總體的一個樣本，為一個實值函數(shù)，如果T中不包含任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。例如：總體，a已知，未知，為的一個樣本，則是統(tǒng)計量，但不是統(tǒng)計量。1.3順序統(tǒng)計量及經(jīng)驗分布1.3.1順序統(tǒng)計量設(shè)為總體，的一個樣本，將其諸分量，i=1，2，…，n，按由小到大的次序重新排列為，即，稱為總體的第k個順序統(tǒng)計量（次序統(tǒng)計量），特別稱為最小項統(tǒng)計量，為最大項統(tǒng)計量。1.2統(tǒng)計量例1.5：設(shè)有一個總體，它以等概率取0，1，2三個值，現(xiàn)從此總體中取容量為2的一個樣本

，列出樣本所有可能取值情況和相應(yīng)的次序統(tǒng)計量的情況。例1.5：設(shè)有一個總體，它以等概率取0，1，2三個值，現(xiàn)從此1.3.2經(jīng)驗分布由給定的樣本定義一個函數(shù)，此函數(shù)的性質(zhì)：（1）當(dāng)樣本固定時，作為x的函數(shù)是一個階梯形的分布函數(shù)，恰為樣本分量不大于x的頻率。（2）當(dāng)x固定時，它是一個統(tǒng)計量，其分布由總體的分布所確定。即 （二項分布）稱為總體對應(yīng)于樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)。1.3.2經(jīng)驗分布1.4常用的一些統(tǒng)計量1.4.1樣本的分位數(shù)設(shè)~為總體，為樣本，為順序統(tǒng)計量，定義稱為樣本的分位數(shù)。當(dāng)=1/2時，稱為樣本的中位數(shù)。（也用表示）

例1.6：若（1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9），則？

1.4.2.樣本的極差稱為樣本的極差1.4常用的一些統(tǒng)計量1.4.3樣本分量的秩若，則稱的秩為j，記作，它表示樣本第個分量，處于順序統(tǒng)計量中的位次。

1.4.4.樣本矩設(shè)為總體取出的容量為n的樣本，統(tǒng)計量叫樣本均值；統(tǒng)計量叫樣本方差（而稱叫修正的樣本方差）；統(tǒng)計量，（r=1，2，…）叫樣本的r階原點矩；統(tǒng)計量，（r=1，2，…）叫作樣本的r階中心矩。1.4.3樣本分量的秩1.4.5二元總體的樣本矩設(shè)為二元隨機變量，，，…，為其樣本，稱為的邊際樣本方差；為的邊際樣本方差；

為樣本的協(xié)方差；為樣本的相關(guān)系數(shù)。1.4.5二元總體的樣本矩§2.常用統(tǒng)計量的抽樣分布2.1順序統(tǒng)計量的分布（次序統(tǒng)計量）2.1.1定義設(shè)（）是來自總體的一個樣本，（）是該樣本的一組觀察值，將它按由小到大的次序排列成，如果規(guī)定的取值為，k=1，2，…，n，則稱為（）的一組次序統(tǒng)計量，而稱為第k個次序統(tǒng)計量。（見1.3.1）

2.1.2連續(xù)型總體次序統(tǒng)計量的分布（僅給出結(jié)論）定理2.1設(shè)總體，，為的一個樣本，則第k個次序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)為：

分布函數(shù)為：§2.常用統(tǒng)計量的抽樣分布特別：當(dāng)k=1時，得樣本極小值的分布密度與分布函數(shù)為：

當(dāng)k=n時，得樣本極大值的分布密度與分布函數(shù)為：特別：定理2.2

設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，為X的一個樣本，則第k個次序統(tǒng)計量與第r個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（k<r）定理2.3設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，為X的一個樣本，則S個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度為定理2.2設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為定理2.4（定理2.3的特殊情形）設(shè)總體X的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，為X的一個樣本，則前r個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（）特別：當(dāng)r=n時，得n個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為注：n個次序統(tǒng)計量不是相互獨立的，即次序化破壞了簡單隨機樣本的獨立性。定理2.4（定理2.3的特殊情形）設(shè)總體X的分布函數(shù)為

定理2.5（極差的分布）令，則的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

例2.1：設(shè)總體有分布密度為，為從取出的容量為4的樣本的順序統(tǒng)計量，求的分布函數(shù)，

例2.2：設(shè)總體X服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，其分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為：為X的一個樣本，求第k個次序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)。例2.1：設(shè)總體有分布密度為例2.3：設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為：為X的一個樣本，求的密度函數(shù)，的密度函數(shù)，極差=-的密度函數(shù)，的聯(lián)合密度函數(shù)。

例2.4：設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為

是容量為n的樣本的前r個次序統(tǒng)計量，則

都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且相互獨立。

例2.5：在上述條件下，則例2.3：設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布函數(shù)與概率§3n個重要統(tǒng)計量的分布

3.1正交矩陣與正態(tài)分布定理3.1設(shè)相互獨立，且都服從，而A=是n階正交矩陣，，則必相互獨立，且都服從定理3.2設(shè)相互獨立，且，A=是n階正交矩陣，，則必相互獨立，且

§3n個重要統(tǒng)計量的分布

3.2三個重要分布

3.2.1分布定義：稱隨機變量有分布，自由度為n，如果他有密度定理3.3設(shè)相互獨立，且都服從，則

定義：的上側(cè)分位數(shù)，即3.2三個重要分布

的性質(zhì)：(1)

(2)若

，

且X與Y獨立，

則X+Y~注：1.如果

相互獨立且

，則

的上側(cè)

分位數(shù)

，即設(shè)X~

，則對

有即：當(dāng)n很大時，

，或X

的性質(zhì)：4. 當(dāng)n>45時，本書附表中查不到，但可以利用注3求其近似值，即由于~,則：

例如：求，，所以4. 當(dāng)n>45時，本書附表中查不到，但可以利3.2.2t-分布定義：稱隨機變量有t-分布，自由度為n，如果它有密度函數(shù)定理3.4

設(shè)X~，Y~，且X與Y相互獨立，則T=.定義：的上側(cè)分位數(shù)，即注：當(dāng)自由度時，的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)n>45時，3.2.2t-分布3.2.3F-分布定義：稱隨機變量有F-分布，自由度為，如果它有密度定理3.5

設(shè)X~，Y~且X與Y相互獨立，則

注：若X~，則1/X~定義：的上側(cè)分位數(shù)，即，注：=1/3.2.3F-分布3.2.4查表1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表：2. 分布表：3. 分布表：4. 分布表：

3.2.4查表 3.3抽樣分布定理定理4.6（Fisher定理）設(shè)總體服從，為其子樣，子樣的平均值與方差，修正的樣本方差分別記為與及，則（1）~，（2）（3）與（或）獨立推論：設(shè)總體服從，為其子樣，則3.3抽樣分布定理定理3.7設(shè)與分別為取自，的兩個樣本，且這兩個樣本獨立，則1.2.若，則

其中，定理3.7設(shè)與定理3.8（柯赫倫cochran定理）（變量分解定理）設(shè)總體~，為其子樣，且為秩為的關(guān)于的二次型，則，l=1，…，k相互獨立，且~，l=1，2，…，k例3.1：設(shè)總體~，為其子樣，試證： 與相互獨立,且分別服從，定理3.8（柯赫倫cochran定理）（變量分解定理

§4.總體分布的近似描述

4.1格列汶科定理對任意實數(shù)x，當(dāng)時，格里汶科定理表明：在幾乎處處的意義下，當(dāng)n充分大時，對x一致地有F（x）非常接近。由此可見當(dāng)n較大時，用經(jīng)驗分布函數(shù)估計總體分布函數(shù)是合理有效的。

§4.總體分布的近似描述4.2直方圖對于連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)或密度函數(shù)能完整地描述它的取值規(guī)律性，給出分布函數(shù)或密度函數(shù)是等價的。

直方圖能反映總體密度曲線的大致形狀。

4.2直方圖設(shè)X的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別用F(X),f(x)表示：