桂電線性代數(shù)復(fù)習(xí)題

線性代數(shù)復(fù)習(xí)一.填空設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則AB有意義的條件是____n=s______________。設(shè)C為矩陣,矩陣A、B滿足AC=CB，則A、B分別是__m,n______階矩陣。=______-24________。其常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)-2____，含項(xiàng)的系數(shù)___8____，含項(xiàng)的系數(shù)__-10____。如果，則=___1or-1_____。（正交矩陣，等式兩邊取行列式）設(shè)A為n階矩陣，K為常數(shù)，，則=_________。（利用）設(shè)A為5階方陣，且，則=_________，=_____-1/3___。（利用A*的唯一公式找到A逆和A*的關(guān)系）設(shè)A為3階方陣，=27，，=______1___。（利用A*的唯一公式）設(shè)，則t=____5______時(shí)A不可逆。（用逆和行列式的關(guān)系）設(shè)線性相關(guān),則=_____5_____。（克拉默）巳知A=PQ、P=則A=________，=________。（PQ難算，QP好算）設(shè)A為3階方陣，則=________。（先乘幾次找規(guī)律，或者用對(duì)角化做，或者把A拆成列向量乘以行向量）設(shè)A，B都是n階可逆矩陣，則=_____________。（分塊矩陣考試不考）=______________________________。（分塊矩陣考試不考）若A，B是同階可逆矩陣，C是n階矩陣,C，則=___________=____________=_____________。（分塊矩陣考試不考）設(shè)A是n階矩陣，，則=_________。（利用）矩陣A=的秩是_____________。（階梯型）設(shè)且有則=_______，，=____________________。（轉(zhuǎn)換為方程組求解）若線性無(wú)關(guān)，則_____________。（轉(zhuǎn)換為齊次方程組，用克拉默）若向量組線性無(wú)關(guān),則其任何部分向量組必線性_______關(guān)。（整體無(wú)關(guān)，則部分無(wú)關(guān)；部分相關(guān)，則整體相關(guān)）設(shè)3矩陣其中均為三維向量,且則=____________。（千萬(wàn)別自己發(fā)明，這個(gè)得用行列式的性質(zhì)，注意到，再每列提出一個(gè)2）對(duì)于m個(gè)方程n個(gè)未知量的方程組AX=0,若有則方程組的基礎(chǔ)解糸中有____________個(gè)解向量。（基礎(chǔ)解系向量的個(gè)數(shù)等于自由未知量的個(gè)數(shù)，秩=非自由未知量的個(gè)數(shù)）當(dāng)K=___________時(shí)，線性方程組有非零解。（克拉默）設(shè)則2A=_________,___________。（利用A逆的逆是A和A*的唯一公式）若方陣A滿足關(guān)系式,則=____________。（由已知條件找到A(***)=E）已知矩陣與矩陣相似，則。(利用跡和行列式)若,則X=________。（注意左右順序）=_______________。（這個(gè)實(shí)在太難算）二、選擇題若,則=____D______。（A）（B）（C）A（D）若同階方陣A,B,C滿足ABC=I，則_____A_______成立。（A）BCA=I（B）BAC=I（C）CBA=I（D）以上均不正確。3.若A、B可逆，下列運(yùn)算正確的是_____D_________。（A）（B）（C）（D）4.若同階方陣A,B,C滿足AB=BA，AC=CA，則ABC=____c______。（A）ACB（B）CBA（C）BCA（D）CAB5.設(shè)是的解，是AX=B的解，則______c______。（A）是AX=0的解（B）是AX=B的解（C）是AX=0的解（D）是AX=B的解6.矩陣與對(duì)角陣相似____c______。（A）（B）（C）（D）7.，P為三階非零矩陣且滿足PQ=0，則____c_____。（A）t=6時(shí)，（B）t=6時(shí)，（C）時(shí)，（D）時(shí)，8.n元齊次方程組糸數(shù)陣的秩r<n，則方程組____d_____。（A）有r個(gè)解向量線性相關(guān)（B）的基礎(chǔ)解系由r個(gè)解向量組成（C）的任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量是它的基礎(chǔ)解系（D）必有非零解9.設(shè)A、B均為n階非零矩陣，且則______b_______。（A）必有一個(gè)等于0（B）都小于n（C）一個(gè)小于n一個(gè)等于n（D）都等于n10.己知是非齊次線性方程組AX=B兩個(gè)不同的解，是其導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系，是任意常數(shù)，則AX=B的通解是____b_______。（A）（B）（C）（D）11.設(shè)三階矩陣A=則A的特征值是___c_______。（A）（1,0,1）（B）（1,1,2）（C）（-1,1,2）（D）（1,-1,1）12.設(shè)n元齊次線性方程組AX=0中則AX=0有非零解的充要條件是___b______。（A）r=n（B）r<n（C）（D）r>n13.已知A、B都是n階方陣，且AB=0，則必有______c_________。（A）A=0，或B=0（B）A+B=0（C）或（D）14.若A，B是同階可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是____b____。（A）（B）（C）（D）15.要使都是線性方程組AX=0的解,只要糸數(shù)矩陣A為_(kāi)__a_____。 （A）（-2,1,1）（B）（C）（D）16.已知矩陣則下列運(yùn)算可行的是_____c_____。（A）AC（B）CB（C）ABC（D）AB-BC17.若A、B均為n階非零矩陣，且，則必有____b____。（A）A,B為對(duì)稱矩陣（B）AB=BA（C）A=E（D）B=E18.若向量組線性相關(guān),則一定有_____b______。（A）線性相關(guān)（B）線性相關(guān)（C）線性無(wú)關(guān)（D）線性無(wú)關(guān)19.設(shè)A是n階可逆矩陣，B是n階不可逆矩陣,則______d______。（A）A+B是可逆矩陣（B）A+B是不可逆矩陣（C）AB是可逆矩陣（D）AB是不可逆矩陣20.已知B為可逆矩陣，則a。（A）B（B）（C）（D）三、計(jì)算1.注意用不用方法做一遍以便檢查結(jié)果是否正確2.如果行列式的代數(shù)余子式=0,求代數(shù)余子式。已知A=，B=，C=，求和已知A=，求已知問(wèn)為何值時(shí),β能由A（1）唯一表示（2）無(wú)窮多表示（3）不能表示把線性表示對(duì)等到非齊次方程組的解即可.求的秩和最大無(wú)關(guān)組,并用這個(gè)最大無(wú)關(guān)組表示其余向量。用階梯型求最大無(wú)關(guān)組,用最簡(jiǎn)形求表示其余向量問(wèn)為何值時(shí),方程組（1）有唯一解（2）無(wú)解（3）無(wú)窮多解,并用基礎(chǔ)解糸表示通解。先克拉默法則,再用最簡(jiǎn)形求解判斷齊次線性方程組有否零解,若有,用基礎(chǔ)解糸表示其通解。用最簡(jiǎn)形求解用基礎(chǔ)解糸表示線性方程組：的一般解。用最簡(jiǎn)形求解問(wèn)為何值時(shí),方程組（1）有唯一解（2）無(wú)解（3）無(wú)窮多解,并用基礎(chǔ)解糸表示,先克拉默法則,再用最簡(jiǎn)形求解設(shè)四元方程組AX=B的系數(shù)矩陣A的秩等于3，已知是它的三個(gè)解向量，且,求該非齊次方程組的通解。通過(guò)已知條件構(gòu)造一個(gè)非齊次方程組的解和齊次方程組的解即可(想想為什么都只要一個(gè)?)設(shè)4個(gè)未知數(shù)的非齊次方程組的系數(shù)矩陣的秩等于3，是它的三個(gè)解向量，其中：試求該非齊次方程組的通解。通過(guò)已知條件構(gòu)造一個(gè)非齊次方程組的解和齊次方程組的解即可.(想想為什么都只要一個(gè)?)已知三階矩陣A的特征值是對(duì)應(yīng)的特征向量為，,試問(wèn)A是否能與對(duì)角陣相似,若能則求出P及A,使為對(duì)角陣.注意A能否對(duì)角化取決于能否找到三個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量,此題已經(jīng)有三個(gè)了,故肯定可以對(duì)角化,P就是特征向量構(gòu)成,對(duì)角陣就是特征值構(gòu)成設(shè)A=，求（1）A的特征值，（2）A的特征向量。注意求出特征值后用跡(A的對(duì)角線元素之和等于特征值之和)檢查設(shè)兩個(gè)4階矩陣A=，求R（A）,R（AB）的秩。提示:求秩就是化階梯型沒(méi)矩陣A=，矩陣B=矩陣X滿足AXA+BXB=AXB+BXA+E。E為單位矩陣，求矩陣X。提示:解題注意到左右關(guān)系不能改,注意到矩陣不能出現(xiàn)在分母的地方,注意到矩陣不能和實(shí)數(shù)相加即可.己知問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)向量組線性無(wú)關(guān)。問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)向量組線性相關(guān)。問(wèn)向量組線性相關(guān)時(shí)，是否可由線性表示若能求其線性組合。提示:(1)將相關(guān)性對(duì)等到齊次線性方程組的解,故可以用秩也可用行列式(克拉默法則)判斷相關(guān)性(3)將線性表示對(duì)等到非齊次方程組的解,可用秩判斷能否表示,用最簡(jiǎn)形求表示方法求矩陣A=的秩，其中為參數(shù)。提示:帶a化階梯型,考慮a的取值和秩的關(guān)系設(shè)矩陣A與B相似，且A=，B=求的值。求可逆矩陣P，使。提示:條件只出現(xiàn)特征值,與特征向量就沒(méi)關(guān)系了,所以直接用特征值的性質(zhì)中的(1)行列式和特征值的關(guān)系,(2)跡即可得到兩個(gè)等式,從而得出ab的值20.設(shè),求,的秩和最大無(wú)關(guān)組,并用這個(gè)最大無(wú)關(guān)組表示其余向量。用階梯型求秩和最大無(wú)關(guān)組,用最簡(jiǎn)形求表示其余向量21.已知線性方程組（1）為何值時(shí)方程組有解。（2）方程組有解時(shí),求出導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解糸。方程組有解時(shí),求出方程組的全部解。22.若矩陣A=相似于對(duì)角陣，試求常數(shù)的值，并求可逆矩陣P使提示:a的值只能在求重根的特征向量的時(shí)候確定,因?yàn)橹挥兄馗芊袂蟪鰞蓚€(gè)無(wú)關(guān)的特征向量才能決定A能否對(duì)角化23.確定向量組,使向量組,,與向量組的秩相同，且可由線性表示。求的值及。兩個(gè)未知數(shù)a,b只需找到兩個(gè)方程即可，明顯，一個(gè)是秩，一個(gè)是且可由線性表示24.設(shè),求提示：不可能直接求，需要利用A*的公式轉(zhuǎn)化為求A25.設(shè)矩陣有一特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，求矩陣A。提示：利用特征向量的定義得到