《直角三角形的邊角關(guān)系》專題專練及答案

育星教育網(wǎng)豐富的資源最快的更新優(yōu)質(zhì)的服務(wù)誠(chéng)信的運(yùn)作10/10《直角三角形的邊角關(guān)系》專題專練專題一：銳角三角函數(shù)考點(diǎn)分析：在理解三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，理解并掌握三角函數(shù)有關(guān)的概念及性質(zhì)；典例剖析例1．（2009年湖北省孝感市）如圖1，角的頂點(diǎn)為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點(diǎn)P（3，4），則．分析：先用勾股定理求出第三邊，再利用三角函數(shù)的定義求解解：根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)利用勾股定理可以求得OP==5.圖1所以sin=.圖1點(diǎn)評(píng)：過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸引垂線構(gòu)造直角三角形，利用這點(diǎn)的坐標(biāo)求出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，便可計(jì)算要求的銳角的三角函數(shù)值.例2．在中，，分別是的對(duì)邊，若，則．分析：由于正切與兩條直角邊有關(guān)，故直接利用三角函數(shù)的定義求解解：因?yàn)辄c(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)正切定義的理解和運(yùn)用情況，只要記住定義，就可以把邊的比轉(zhuǎn)化為正切了專練一：1、在△ABC中,∠C=90°,sinA=,則cosB的值為()A.1B.C.D.2、若tana=,且α為銳角,則cosα等于()A.B.C.D.3、在△ABC中,若,則∠C的度數(shù)為()A.30°B.60°C.90°D.120°4、把Rt△ABC的三邊都擴(kuò)大十倍，關(guān)于銳角A的正弦值：甲同學(xué)說(shuō)擴(kuò)大十倍；乙同學(xué)說(shuō)不變；丙同學(xué)說(shuō)縮小十倍.那么你認(rèn)為正確的說(shuō)法應(yīng)是A.甲B.乙C.丙 D.都不正確5、（1）已知,則銳角α的度數(shù)為_____;（2）若,則銳角α的度數(shù)為_____.6、在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝15。（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求sinA、cosA的值；（3）求的值；（4）比較sinA、cosB的大小。7、要求tan30°的值,可構(gòu)造如圖1所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算.圖1作Rt△ABC,使∠C=90°,斜邊AB=2,直角邊AC=1,圖1那么BC=,∠ABC=30°,∴tan30°=.在此圖的基礎(chǔ)上,通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線,可求出tan15°的值,請(qǐng)簡(jiǎn)要寫出你添加的輔助線和求出的tan15°的值.專題二：銳角的三角函數(shù)值考點(diǎn)分析：熟記特殊角的三角函數(shù)值，正確使用計(jì)算器解答銳角三角函數(shù)值和由銳角三角函數(shù)值求角的問(wèn)題；典例剖析例1.（2009年浙江省湖州市）BCA圖4如圖4，在中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）BCA圖4A．B．C．D．【分析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值.由已知可知∠A=30°，∠B=60°，對(duì)照30°、60°的三角函數(shù)值選擇正確答案.【解】根據(jù)以上分析應(yīng)選D.【點(diǎn)評(píng)】熟記特殊角30°、45°、60°的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.本題也可以通過(guò)勾股定理計(jì)算出AC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)定義判斷.例2．（2009·四川省遂寧市）如圖3，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為cm.圖3分析：本題可以根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為邊的比，也可以利用特殊角的三角函數(shù)值求解圖3解：由勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).由52+122=132知△ABC是直角三角形，AC是斜邊，所以BD=AC=cm.點(diǎn)評(píng)：由數(shù)量關(guān)系判斷三角形的形狀，這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).學(xué)習(xí)時(shí)要注意把直角三角形所有的知識(shí)都?xì)w納起來(lái)，從而達(dá)到綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.專練二：1、在Rt△ABC中，∠C＝900，若，則sinA＝（）A、B、C、D、2、若，則銳角的度數(shù)是（）A、200B、300C、400A、6B、5C、4D、23、如圖2，兩條寬度都是1的紙條交叉疊在一起，且它們的夾角為，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（）A、B、C、D、1圖24、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B的對(duì)邊分別是、，且滿足，則tanA等于（）圖2A、1B、C、D、5、李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：tan(α+20°)=1，你猜想銳角α的度數(shù)應(yīng)是A.40°B.30°C.20°D.10°6、在△ABC中，若tanA=1，sinB=，你認(rèn)為最確切的判斷是A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是等腰直角三角形C.△ABC是直角三角形D.△ABC是一般銳角三角形7、在Rt△ABC中，∠C＝900，若AC∶AB＝1∶3，則cotB＝。8、等腰三角形的底邊長(zhǎng)20cm，面積為cm2，求它的各內(nèi)角.9、如圖2，菱形的一個(gè)內(nèi)角為500，較短的對(duì)角線長(zhǎng)為8cm（1）較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)；（精確到0.（2）菱形的面積（精確到1cm2）（其中＝0.4663）圖3圖310、已知如圖4，AB∥DC，∠D＝900，BC＝，AB＝4，＝，求梯形ABCD的面積。圖4圖4專題三：解直角三角形及應(yīng)用考點(diǎn)分析：理解掌握解直角三角形的基本知識(shí)、熟悉直角三角形中的邊角關(guān)系，具有構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題的意識(shí)和能力；能利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，解決測(cè)量、航行、工程技術(shù)等生活中的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能典例剖析ABCDE例1.（2009年山東省德州市、廣東省深圳市）如圖5，斜坡AC的坡度（坡比）為1:，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶AB相連，AB＝14米．ABCDE分析：BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度無(wú)法直接求得，我們可以過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線，結(jié)合坡比這個(gè)條件計(jì)算CE、AE，再計(jì)算BE，從而通過(guò)BE、CE的差求BC.解：延長(zhǎng)BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，圖5AC＝10，由坡比為1︰可知：∠CAE＝30°，圖5∴CE＝AC·sin30°＝10×＝5，AE＝AC·cos30°＝10×＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．答：旗桿的高度為6米．點(diǎn)評(píng)：過(guò)合適的點(diǎn)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)度.37°北北ACB例2.（2009年山東省威海市）如圖6，一巡邏艇航行至海面處時(shí)，得知其正北方向上處一漁船發(fā)生故障．已知港口處在處的北偏西方向上，距處20海里；處在A處的北偏東方向上．求之間的距離（結(jié)果精確到0.1海里）．37°北北ACB參考數(shù)據(jù)：圖6分析：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中利用正弦、圖6余弦函數(shù)計(jì)算BD、AD，在Rt△ACD中利用正切求CD，即可計(jì)算BC的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D．在中，，，．．在中，，∴，（海里）答：之間的距離約為21.6海里．點(diǎn)評(píng)：正確解答這類問(wèn)題，第一步，根據(jù)材料提供背景，畫出幾何圖形，并把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，分析出作為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的已知條件和問(wèn)題。第二步，根據(jù)所給條件運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)正確解答專練三：1、重慶市“舊城改造”中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖8所示的三角形空地上種植某種草皮，以美化環(huán)境。已知這種草皮每平方米售價(jià)元，則購(gòu)買這種草皮至少需要（）A、元B、元C、元D、元圖10圖10圖9圖8圖9圖82、如圖9，某地夏季中午，當(dāng)太陽(yáng)移至房頂上方偏南時(shí)，光線與地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安裝水平擋光板AC，使午間光線不能直接射入室內(nèi)，那么擋光板的寬度AC為A.1.8tan80°m B.1.8cos80°mC.m D.m3、身高相同的三個(gè)小朋友甲、乙、丙放風(fēng)箏，他們放出的線長(zhǎng)分別為300m，250m，200m；線與地面所成的角度分別為30°，45°，60°(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則三人所放的風(fēng)箏A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高4、如圖10，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造階梯AB，使每階高不超過(guò)20cm，則此階梯最少要建_____階.(最后一階的高度不足20c5、在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)河寬，如圖11，某學(xué)生在點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊處有一點(diǎn)C，并測(cè)得圖11∠CAD＝450，在距離A點(diǎn)30米的B處測(cè)得∠CBD＝300，圖11求河寬CD（結(jié)果可帶根號(hào)）。圖126、如圖12：在小山的東側(cè)A處有一熱氣球，以每分鐘28米的圖12速度沿著與垂直方向夾角為300的方向飛行，半小時(shí)后到達(dá)C處，這時(shí)氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正西方向有一處著火點(diǎn)B，5分鐘后，在D處測(cè)得著火點(diǎn)B的府角是150，求熱氣球升空點(diǎn)A與著火點(diǎn)B的距離。（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：，，，）7、一艘輪船從西向東航行，上午10時(shí)航行到點(diǎn)A處，此時(shí)測(cè)得在圖13船北偏東30°上有一燈塔B，到11時(shí)測(cè)得燈塔B正好在船的正北圖13方向，此時(shí)輪船所處位置為C點(diǎn)(如圖13)，若該船的航行速度為每小時(shí)20海里，那么船在C點(diǎn)時(shí)距離燈塔B多遠(yuǎn)？(取1.73) 8、如圖14，河岸護(hù)堤AD、BC互相平行，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩樹A、B的距離，小趙從B點(diǎn)沿垂直AB的BC方向前進(jìn)，他手中有足夠長(zhǎng)的米尺和含有30°角的一塊三角板.(1)請(qǐng)你幫小趙設(shè)計(jì)一下測(cè)量AB長(zhǎng)的具體方案;圖14(2)給出具體的數(shù)值，求出AB的長(zhǎng).圖14參考答案：專練一：1、B；2、A；3、D；4、B；5、（1）60°；（2）30°；6、分析：在Rt△ABC中，已知兩直角邊長(zhǎng)求斜邊長(zhǎng)可應(yīng)用勾股定理，再利用兩直角邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)的比分別求出sinA、cosA的大小，從而便可以計(jì)算出的大小，即可比較sinA與cosB的大小。答案：（1）AB＝13；（2）sinA＝，cosA＝；（3）；（4）sinA＝cosB7、延長(zhǎng)CB到D,使BD=BA,則∠D=∠DAB.又∠D+∠DAB=30°,故∠D=15°.DC=BD+BC=2+,故tan15°=.專練二：1、D；2、A；3、A；4、B；5、D；6、B；7、；8、解：設(shè)等腰三角形底邊上的高為xcm，底角為α，則有x·20=,∴x=.∵tanα==,∴∠α＝30°.頂角為180°－2×30°=120°.∴該等腰三角形三個(gè)內(nèi)角為30°，30°，120°.9、解：如圖，設(shè)BD＝8cm，∠BCD＝500∠BCO＝250，BO＝4在Rt△BCO中，∵∴CO＝＝＝≈8.578（cm）∴AC＝2CO≈17.2（cm）∴＝≈69（cm2）10、解：過(guò)B作BE⊥DC于E，在Rt△BCE中∵∴EC＝3BE又∵∴解得BE＝1，故EC＝3又∵DC＝DE＋EC＝AB＋EC∴DC＝7∴＝＝＝專練二：1、C