系統(tǒng)根軌跡和頻域分析實驗

實驗三MATLAB系統(tǒng)根軌跡和頻域分析實驗一、實驗目的1．學習使用MATLAB求特征多項式的根，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性學習使用MATLAB由傳遞函數(shù)求零點和極點學習使用MATLAB繪制根軌跡掌握由根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法；5．學習使用MATLAB繪制Bode圖和Nyquist圖；6．掌握使用Bode圖和Nyquist圖分析系統(tǒng)性能的方法。二、實驗儀器計算機三、實驗內容3.1特征多項式求解直接求特征多項式的根設P為特征多項式的系數(shù)矢量，用MATLAB函數(shù)roots()可直接求出方程P=0在復數(shù)范圍內的解，該函數(shù)的調用格式為：v=roots(p)例二十三已知系統(tǒng)的特征多項式為：特征方程的解可由下面的MATLAB命令得出：p=[1,0,3,2,1,1]v=roots(p)結果顯示：v=0.3202+1.7042i-0.72090.0402+0.6780i利用多項式求根函數(shù)roots()，可方便的求出系統(tǒng)的零點和極點，然后根據(jù)零極點分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和其他性能。由根創(chuàng)建多項式如果已知多項式的因式分解式或特征根，可由MATLAB函數(shù)poly()直接得出特征多項式系數(shù)矢量，其調用格式為：p=poly(v)。如上題中：v=[0.3202+1.7042i；；-0.7209；0.0402+0.6780i；0.0402-0.6780i]；p=poly(v)結果顯示：p=1.0000-0.00003.00002.00001.00001.0000由此可見，函數(shù)roots()與函數(shù)poly()互為逆運算。多項式求值在MALAB中通過函數(shù)polyval()可求得多項式在給定點的值，該函數(shù)的調用格式為：polyval(p,v)。對于上題中的p值，求取多項式在x點的值，可輸入如下命令：p=[1,0,3,2,1,1]；x=1polyval(p,x)結果顯示：ans=8由傳遞函數(shù)求零點和極點在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，給出了由傳遞函數(shù)對象G求系統(tǒng)零點和極點的函數(shù)，其調用格式分別為：Z=tzero(G)P=pole(G)注意：上式中要求的G必須是零極點模型對象。例二十四已知傳遞函數(shù)為輸入如下命令：num=[6.8,61.2,95.2]；den=[1,7.5,22,19.5,0]；G=tf(num,den)；G1=zpk(G)；Z=tzero(G)；P=pole(G)；結果為：Z=-7-2P=0-3.0000+2.0000i-3.0000-2.0000i-1.5000零極點分布圖在MATLAB中，可利用pzmap()函數(shù)繪制連續(xù)系統(tǒng)的零、極點圖，從而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該函數(shù)調用格式為：pzmap(num,den)。例二十五給定傳遞函數(shù)：利用下列命令可自動打開一個圖形窗口，顯示該系統(tǒng)的零、極點分布圖。用鼠標點擊圖中零、極點可自動顯示其坐標值。num=[3,2,5,4,6]den=[1,3,4,2,7,2]pzmap(num,den)title(‘Pole-ZeroMap’)

%圖形標題3.2根軌跡法控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確定，而系統(tǒng)過渡過程的基本特性，則與閉環(huán)零極點在s平面的位置有關。根軌跡法就是在已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)零極點分部的基礎上，研究某些參數(shù)變化時控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點分布影響的一種圖解方法。利用根軌跡法，能夠分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應特性以及參數(shù)變化對瞬態(tài)響應特性的影響。也可以根據(jù)對瞬態(tài)響應的要求去確定可變參數(shù)或調整零極點的位置和個數(shù)。因此，根軌跡法可以用于解決線性系統(tǒng)的分析和綜合問題。求系統(tǒng)根軌跡rlocus命令可求得系統(tǒng)的根軌跡格式：[r，k]=rlocus（num，den）[r，k]=rlocus（num，den，k）不帶輸出變量時則繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，帶輸出變量時給出一組r，k的對應數(shù)據(jù)。若給定了k的取值范圍，則該命令將按要求繪出圖形或數(shù)組或者輸出指定增益k所對應的r值。每條根軌跡都以不同的顏色區(qū)別。例二十六某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：要繪制系統(tǒng)的根軌跡，則輸入：n=2d=[1320]rlocus(n,d)執(zhí)行后得到下面圖形。若要得到指定增益k值對應的r值則輸入：n=2d=[1320][r，k]=rlocus（n，d，5）結果如下：r=-3.30890.1545+1.7316i0.1545-1.7316ik=5求根軌跡增益rlocfind命令可求得給定根的根軌跡增益。格式：[k，poles]=rlocfind（n，d）[k，poles]=rlocfind（num，den，p）當代有輸出變量時，可得到所有極點的座標數(shù)據(jù)和增益值。不帶輸出時只得到所選點的座標和增益值。注意：在執(zhí)行這條命令前最好先執(zhí)行一次根軌跡的繪圖命令，這樣就可直接在根軌跡圖上選取我們感興趣的點。其中的p是系統(tǒng)的根，由此可得到對應的增益值。繪制ξ和wn格sgrid命令是在圖形中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格，其阻尼系數(shù)從0～1，步長為0.1。命令格式：sgridsgrid（z，wn）例二十七繪制系統(tǒng)帶柵格的根軌跡圖則執(zhí)行：n=[11]d=[123]rlocus(n,d)sgrid%加入柵格當該命令帶有指定的z（ξ），w（）時，則將按指定的參數(shù)繪制有關圖形。例二十八在上題中繪制ξ=0.8，=2的根軌跡圖執(zhí)行：n=[1，1]；d=[1，2，3]；rlocus（n，d）z=0.8；w=2；%加入指定的柵格sgrid（z，w）得到所需圖形。3.3頻域法頻域分析法是利用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種方法。頻率特性是指系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對于頻率的關系。在控制系統(tǒng)的頻域分析法中常用到的坐標系統(tǒng)是極坐標系和對數(shù)坐標系。在分析方法中常用的有三種：Bode圖、Nyquist曲線和Nichols圖。波特圖法bode命令可獲得連續(xù)系統(tǒng)的波特圖或有關數(shù)據(jù)組。命令格式：[mag，phase，w]=bode（num，den）[mag，phase，w]=bode（num，den，w）當不帶輸出變量時則直接繪出圖形。而帶有輸出變量時則得到一組相關數(shù)據(jù)。其中的w是頻率的取值范圍，若缺省則該項由函數(shù)自動確定。繪圖時的橫坐標是以對數(shù)分度的。為了指定頻率的范圍，可采用以下命令格式：logspace(d1,d2)①或ogspace(d1,d2,n)②①式是在指定頻率范圍內按對數(shù)距離分成50等份的，即在兩個十進制數(shù)w1=10d1和w2=10d2之間產生一個由50個點組成的分量，矢量中的點數(shù)50是一個默認值。例如要在w1＝0.1rad/s與w2＝100rad/s之間的頻區(qū)畫伯德圖，則輸入命令時，d1=log10(w1),d2=log10(w2),在此頻區(qū)按對數(shù)距離等分成50個頻率點，返回到工作空間中，即：w=logspace(-1,2)要對計算點數(shù)進行人工設定，則采用公式②。例如要在w1=1與w2=1000之間產生100個對數(shù)等分點，可輸入以下命令：w=logspace(0,3,100)利用波特圖我們可以分析系統(tǒng)的幅、相裕度、帶寬、穩(wěn)定性、擾動抑制能力等問題。利用波特圖分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法如下：a：相角裕量r＞0，幅值裕量k＞0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。b：r=0；k=0，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。c：r＜0；k＜0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例二十九繪制系統(tǒng)的bode圖并判斷系統(tǒng)閉環(huán)后是否穩(wěn)定？則執(zhí)行：n=[1,1]d=[4,3,2,0]bode(n,d),grid（繪制波特圖并加柵格）繪圖時的頻率范圍是自動確定的，從0.01rad/s-1000rad/s,且幅值取分貝值，w軸取對數(shù)，圖形分成兩個子圖，均是自動完成的。執(zhí)行后可以在上圖中觀察得到r＞0，k＞0，因此閉環(huán)后系統(tǒng)是穩(wěn)定的。求增益和相位裕度從前面的例題中可以看出要求系統(tǒng)的相位和增益裕度的準確值直接調用bode命令是不太容易的。而使用margin命令則可以較容易的得到所需值。margin可求出開環(huán)系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度，其格式為:margin(num,den)[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)margin(num,den)可計算系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度，并繪制出Bode圖。margin(mag,phase,w)可以由幅值裕度和相角裕度繪制出Bode圖，其中，mag、phase和w是由bode得到的幅值裕度、相角裕度和頻率。當帶輸出變量引用函數(shù)時，僅計算幅值裕度、相角裕度及幅值穿越頻率wcg和相角穿越頻率wcp，不繪制Bode圖。例三十：求例二十九中系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的相對穩(wěn)定裕度。執(zhí)行：n=[11]；d=[4320]；margin（n，d）執(zhí)行后得到相應圖形和有關數(shù)據(jù)k=15.6dbr=46.4°奈奎斯特法奈奎斯特法是利極坐標圖對系統(tǒng)進行分析的一種方法。頻率特性的極坐標圖是當w由零變化到無窮大時，表示在極坐標上的幅與相角的關系圖，采用極坐標圖，可以在一張圖紙上描繪出整個頻域的頻率響應。奈奎斯特穩(wěn)定數(shù)據(jù)如下：（1）開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，如果曲線不包圍（）點，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則為不穩(wěn)定的。（2）開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，如果曲線反時針方向環(huán)繞（）點的次數(shù)N等于右半平面內的極點數(shù)p，那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。nyquist命令可以求得連續(xù)系統(tǒng)的奈奎斯特曲線。命令格式：[re，im，w]=nyquist（num，den）[re，im，w]=nyquist（num，den，w）當帶有輸出變量時，可得到相應的一組數(shù)據(jù)，不帶輸出變量時，則繪出奈奎斯特曲線。也可用指定頻率向量w指定所要繪制的曲線范圍。例三十一：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪出系統(tǒng)的奈奎斯特圖并判斷系統(tǒng)閉環(huán)后是否穩(wěn)定。輸入：n=1；d=[1210.5]；nyquist（n，d）執(zhí)行后可得到所需圖形。從圖形上可以看出由于曲線不包圍（）點，因此閉環(huán)后系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在某些場合我們需要在奈奎斯特曲線上加上單位圓幫助我們了解相位，幅值裕量的粗值。下面的方法可以使我們獲得帶單位圓的奈奎斯特圖，同時還可獲得不同增益下的奈奎斯特圖。例三十二：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制k=10，26，50時的帶單位圓的奈奎斯特圖，并估算系統(tǒng)的增僧裕量。單位圓的繪制是通過繪tjw的實部與虛部的軌跡而獲得。輸入：n=10;%取k=10時的值d=conv([12],[125]);w=[0:0.01:10];%確定頻率范圍e=exp(j*w);%給出指數(shù)函數(shù)ejwr=real(e);%求指數(shù)函數(shù)的實部，結果不顯示i=imag(e);%求函數(shù)ejw的虛部，結果不顯示[a,b]=nyquist(n,d,w);%求指定頻率范圍內的奈氏值，不顯示結果n1=26;%取k=26d1=d;%保留原分母矢量[a1,b1]=nyquist(n1,d1,w);%求k=0.5時的奈氏值，結果不顯示n2=50;%取k=50d2=d;%分母保留[a2,b2]=nyquist(n2,d2,w);plot(r,i,a,b,a1,b1,a2,b2),grid%繪出：r，i；a，b；a1，b1；a2，b2；的對應圖形并加上柵格。執(zhí)行以上程序后可在上圖上得k=10，26，50并加有單位圓的奈奎斯特圖。一般來說由于此列的關系顯示的圖形不是一個正規(guī)的圓。從圖形上我們可以看出開環(huán)增益對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。當值變化時，幅頻特性成比例變化，而相頻特性不受影響