高中數學北師大必修1課件：36-指數函數冪函數對數函數增長的比較

§6

指數函數、冪函數、對數函數增長的比較§6指數函數、冪函數、對數函數增長的比較高中數學北師大必修1課件：36-指數函數冪函數對數函數增長的比較指數函數、對數函數、冪函數增長速度的比較當a>1時,指數函數y=ax是增函數,并且當a越大時,其函數值的增長就越快.當a>1時,對數函數y=logax是增函數,并且當a越小時,其函數值的增長就越快.當x>0,n>1時,冪函數y=xn顯然也是增函數,并且當x>1時,n越大,其函數值的增長就越快.指數函數、對數函數、冪函數增長速度的比較【做一做】

四個函數在第一象限中的圖像如圖所示,a,b,c,d所表示的函數可能是(

)解析:根據冪函數、指數函數、對數函數的性質和圖像的特點,a,c對應的函數分別是冪指數大于1和冪指數大于0小于1的冪函數.b,d對應的函數分別為底數大于1和底數大于0小于1的指數函數.答案:C【做一做】四個函數在第一象限中的圖像如圖所示,a,b,c,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是增函數,且它們的增長速度是一樣的.(

)(2)函數y=2x與函數y=x3的圖像有且只有兩個交點.(

)(3)指數函數一定比對數函數增長的快.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×思考辨析探究一探究二探究三函數增長快慢的比較【例1】

已知函數f(x)=2x和g(x)=x3的圖像如圖,設兩個函數的圖像相交于點A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應哪一個函數;(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由.分析:(1)由指數函數和冪函數不同的增長速度可判斷曲線所對應的函數;(2)通過計算比較函數值的大小關系,求出a,b的值.探究一探究二探究三函數增長快慢的比較探究一探究二探究三解:(1)根據指數函數與冪函數的增長速度知:C1對應函數g(x)=x3,C2對應函數f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個函數的函數值相等的自變量x的值.當x<x1時,2x>x3,即f(x)>g(x);當x1<x<x2時,f(x)<g(x);當x>x2時,f(x)>g(x).因為f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因為f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.綜上可知,a=1,b=9.探究一探究二探究三解:(1)根據指數函數與冪函數的增長速度知探究一探究二探究三比較函數增長快慢的方法:(1)利用指數函數、冪函數、對數函數的不同的增長特點比較函數增長的快慢;(2)借助函數圖像,通過圖像特點以及變化趨勢來比較函數的增長快慢;(3)通過計算相同區(qū)間上函數值的增量的大小來比較函數增長的快慢.探究一探究二探究三比較函數增長快慢的方法:(1)利用指數函數探究一探究二探究三變式訓練1(1)下列所給函數,增長最快的是

(

)A.y=5x B.y=x5C.y=log5x D.y=5x(2)以下是三個函數y1,y2,y3隨x變化的函數值列表:其中關于x成指數函數變化的函數是

.

解析:(1)在一次函數、冪函數、對數函數和指數函數中,增長最快的是指數函數y=5x,故選D.(2)指數函數中的增長量是成倍增加的,函數y1中增長量分別為6,18,54,162,486,1

458,4

374,…,是成倍增加的,因而y1呈指數變化.答案:(1)D

(2)y1探究一探究二探究三變式訓練1(1)下列所給函數,增長最快的是探究一探究二探究三根據函數的不同增長特點比較大小【例2】比較下列各組數的大小:分析:先觀察各組數值的特點,再考慮構造適當的函數,利用函數的性質或圖像進行求解.探究一探究二探究三根據函數的不同增長特點比較大小分析:先觀察探究一探究二探究三(2)令函數y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐標系內作出上述三個函數的圖像如圖,然后作直線x=0.3,此直線必與上述三個函數圖像相交.由圖像知log20.3<0.32<20.3.探究一探究二探究三(2)令函數y1=x2,y2=log2x,探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三1.比較函數值大小的關鍵在于構造恰當的函數,若指數相同而底數不同,則考慮冪函數;若指數不同而底數相同,則考慮指數函數;若底數不同,指數也不同,則需引入中間量.2.將函數值涉及的函數的圖像在同一直角坐標系中畫出來,通過圖像位置之間的關系比較大小.探究一探究二探究三1.比較函數值大小的關鍵在于構造恰當的函數探究一探究二探究三A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c解析:由已知結合對數函數圖像和指數函數圖像得到a<0,0<c<1,而b=log23>1,因此選B.答案:B探究一探究二探究三A.a<b<c B.a<c<b探究一探究二探究三函數不同增長特點在實際問題中的應用【例3】

某公司為了實現1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型符合該公司要求?探究一探究二探究三函數不同增長特點在實際問題中的應用探究一探究二探究三解:借助計算器或計算機作出函數y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的圖像如圖所示:觀察圖像發(fā)現,在區(qū)間[10,1

000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖像都有一部分在y=5的上方,這說明只有按模型y=log7x+1進行獎勵才符合公司要求,下面通過計算確認上述判斷.探究一探究二探究三解:借助計算器或計算機作出函數y=5,y=探究一探究二探究三首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬元.對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1

000]上是單調遞增的,當x∈(20,1

000]時,y>5,因此該模型不符合要求.對于模型y=1.002x,利用計算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函數,故當x∈(806,1

000]時,y>5,因此,也不符合要求.對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1

000]上是增加的,且當x=1

000時,y=log71

000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.探究一探究二探究三首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬元.探究一探究二探究三再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金是否超過利潤x的25%,即當x∈[10,1

000]時,利用計算器或計算機作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像(圖略),由圖像可知f(x)在[10,1

000]上是減少的,因此f(x)<f(10)≈-0.316

7<0,即log7x+1<0.25x.所以當x∈[10,1

000]時,y<0.25x.這說明,按模型y=log7x+1進行獎勵,獎金不超過利潤的25%.綜上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.探究一探究二探究三再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金探究一探究二探究三1.在實際問題中,選擇函數模型時,首先要明確各種不同函數在增長快慢上的差異,其次要根據問題的實際需要,輔之以必要的數據計算,從而選擇最恰當的函數模型.2.從這個例題可以看到,底數大于1的指數函數模型比一次項系數為正數的一次函數模型增長速度要快得多,而后者又比真數大于1的對數函數模型增長速度要快,從而我們可以體會到對數增長、直線上升、指數爆炸等不同函數類型增長的含義.探究一探究二探究三1.在實際問題中,選擇函數模型時,首先要明探究一探究二探究三變式訓練3某同學高三階段12次數學考試的成績呈現前幾次與后幾次均連續(xù)上升,中間幾次連續(xù)下降的趨勢.現有三種函數模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q為正常數,且q>2).若要較準確反映數學成績與考試次序關系,應選

作為模擬函數;若f(1)=4,f(3)=6,則所選函數f(x)的解析式為

.

解析:由于指數函數增長迅速,而對數型函數增長緩慢,因此滿足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)·(x-q)2+p,當x=1時,y=4且x=3時,y=6,答案:③

f(x)=(x-1)(x-4)2+4探究一探究二探究三變式訓練3某同學高三階段12次數學考試的成1234561.當x越來越大時,下列函數中,增長速度最快的應該是

(

)A.y=100x B.y=log100xC.y=x100

D.y=100x解析:由于指數型函數的增長是爆炸式增長,則當x越來越大時,函數y=100x的增長速度最快.答案:D1234561.當x越來越大時,下列函數中,增長速度最快的應123456A.f(x)的增減速度越來越慢,g(x)的增減速度越來越快B.f(x)的增減速度越來越快,g(x)的增減速度越來越慢C.f(x)的增減速度越來越慢,g(x)的增減速度越來越慢D.f(x)的增減速度越來越快,g(x)的增減速度越來越快解析:由圖像可知兩個函數的增減速度都是越來越慢的.答案:C123456A.f(x)的增減速度越來越慢,g(x)的增減速1234563.為了治理沙塵暴,A市政府大力加強環(huán)境保護,其周邊草場綠色植被面積每年都比上一年增長10.4%,那么經過x年綠色植被的面積為y,則y=f(x)的圖像大致為

(

)解析:由已知條件可得函數關系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a為草場綠色植被的初始面積,故選D.答案:D1234563.為了治理沙塵暴,A市政府大力加強環(huán)境保護,其1234564.若a>1,n>0,則當x足夠大時,ax,xn,logax中最大的是

.

解析:由指數函數、冪函數和對數函數增長快慢的差別易知,當x足夠大時,ax>xn>logax.答案:ax1234564.若a>1,n>0,則當x足夠大時,ax,xn1234565.已知y隨x的變化關系如下表:則函數y隨x呈

型增長趨勢.

解析:根據表格中給出的數據作出函數的大致圖像(圖略),由圖像可知,y隨x呈指數型函數的增長趨勢.答案:指數1234565.已知y隨x的變化關系如下表:則函數y隨x呈123456解析:在同一直角坐標系中作出函數y=f(x)和y=m的圖像如圖所示,易知當m>1時,y=f(x)與y=m有兩個不同的交點.答案:(1,+∞)123456解析:在同一直角坐標系中作出函數y=f(x)和y§6

指數函數、冪函數、對數函數增長的比較§6指數函數、冪函數、對數函數增長的比較高中數學北師大必修1課件：36-指數函數冪函數對數函數增長的比較指數函數、對數函數、冪函數增長速度的比較當a>1時,指數函數y=ax是增函數,并且當a越大時,其函數值的增長就越快.當a>1時,對數函數y=logax是增函數,并且當a越小時,其函數值的增長就越快.當x>0,n>1時,冪函數y=xn顯然也是增函數,并且當x>1時,n越大,其函數值的增長就越快.指數函數、對數函數、冪函數增長速度的比較【做一做】

四個函數在第一象限中的圖像如圖所示,a,b,c,d所表示的函數可能是(

)解析:根據冪函數、指數函數、對數函數的性質和圖像的特點,a,c對應的函數分別是冪指數大于1和冪指數大于0小于1的冪函數.b,d對應的函數分別為底數大于1和底數大于0小于1的指數函數.答案:C【做一做】四個函數在第一象限中的圖像如圖所示,a,b,c,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是增函數,且它們的增長速度是一樣的.(

)(2)函數y=2x與函數y=x3的圖像有且只有兩個交點.(

)(3)指數函數一定比對數函數增長的快.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×思考辨析探究一探究二探究三函數增長快慢的比較【例1】

已知函數f(x)=2x和g(x)=x3的圖像如圖,設兩個函數的圖像相交于點A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應哪一個函數;(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由.分析:(1)由指數函數和冪函數不同的增長速度可判斷曲線所對應的函數;(2)通過計算比較函數值的大小關系,求出a,b的值.探究一探究二探究三函數增長快慢的比較探究一探究二探究三解:(1)根據指數函數與冪函數的增長速度知:C1對應函數g(x)=x3,C2對應函數f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個函數的函數值相等的自變量x的值.當x<x1時,2x>x3,即f(x)>g(x);當x1<x<x2時,f(x)<g(x);當x>x2時,f(x)>g(x).因為f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因為f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.綜上可知,a=1,b=9.探究一探究二探究三解:(1)根據指數函數與冪函數的增長速度知探究一探究二探究三比較函數增長快慢的方法:(1)利用指數函數、冪函數、對數函數的不同的增長特點比較函數增長的快慢;(2)借助函數圖像,通過圖像特點以及變化趨勢來比較函數的增長快慢;(3)通過計算相同區(qū)間上函數值的增量的大小來比較函數增長的快慢.探究一探究二探究三比較函數增長快慢的方法:(1)利用指數函數探究一探究二探究三變式訓練1(1)下列所給函數,增長最快的是

(

)A.y=5x B.y=x5C.y=log5x D.y=5x(2)以下是三個函數y1,y2,y3隨x變化的函數值列表:其中關于x成指數函數變化的函數是

.

解析:(1)在一次函數、冪函數、對數函數和指數函數中,增長最快的是指數函數y=5x,故選D.(2)指數函數中的增長量是成倍增加的,函數y1中增長量分別為6,18,54,162,486,1

458,4

374,…,是成倍增加的,因而y1呈指數變化.答案:(1)D

(2)y1探究一探究二探究三變式訓練1(1)下列所給函數,增長最快的是探究一探究二探究三根據函數的不同增長特點比較大小【例2】比較下列各組數的大小:分析:先觀察各組數值的特點,再考慮構造適當的函數,利用函數的性質或圖像進行求解.探究一探究二探究三根據函數的不同增長特點比較大小分析:先觀察探究一探究二探究三(2)令函數y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐標系內作出上述三個函數的圖像如圖,然后作直線x=0.3,此直線必與上述三個函數圖像相交.由圖像知log20.3<0.32<20.3.探究一探究二探究三(2)令函數y1=x2,y2=log2x,探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三1.比較函數值大小的關鍵在于構造恰當的函數,若指數相同而底數不同,則考慮冪函數;若指數不同而底數相同,則考慮指數函數;若底數不同,指數也不同,則需引入中間量.2.將函數值涉及的函數的圖像在同一直角坐標系中畫出來,通過圖像位置之間的關系比較大小.探究一探究二探究三1.比較函數值大小的關鍵在于構造恰當的函數探究一探究二探究三A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c解析:由已知結合對數函數圖像和指數函數圖像得到a<0,0<c<1,而b=log23>1,因此選B.答案:B探究一探究二探究三A.a<b<c B.a<c<b探究一探究二探究三函數不同增長特點在實際問題中的應用【例3】

某公司為了實現1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型符合該公司要求?探究一探究二探究三函數不同增長特點在實際問題中的應用探究一探究二探究三解:借助計算器或計算機作出函數y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的圖像如圖所示:觀察圖像發(fā)現,在區(qū)間[10,1

000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖像都有一部分在y=5的上方,這說明只有按模型y=log7x+1進行獎勵才符合公司要求,下面通過計算確認上述判斷.探究一探究二探究三解:借助計算器或計算機作出函數y=5,y=探究一探究二探究三首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬元.對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1

000]上是單調遞增的,當x∈(20,1

000]時,y>5,因此該模型不符合要求.對于模型y=1.002x,利用計算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函數,故當x∈(806,1

000]時,y>5,因此,也不符合要求.對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1

000]上是增加的,且當x=1

000時,y=log71

000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.探究一探究二探究三首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬元.探究一探究二探究三再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金是否超過利潤x的25%,即當x∈[10,1

000]時,利用計算器或計算機作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像(圖略),由圖像可知f(x)在[10,1

000]上是減少的,因此f(x)<f(10)≈-0.316

7<0,即log7x+1<0.25x.所以當x∈[10,1

000]時,y<0.25x.這說明,按模型y=log7x+1進行獎勵,獎金不超過利潤的25%.綜上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.探究一探究二探究三再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金探究一探究二探究三1.在實際問題中,選擇函數模型時,首先要明確各種不同函數在增長快慢上的差異,其次要根據問題的實際需要,輔之以必要的數據計算,從而選擇最恰當的函數模型.2.從這個例題可以看到,底數大于1的指數函數模型比一次項系數為正數的一次函數模型增長速度要快得多,而后者又比真數大于1的對數函數模型增長速度要快,從而我們可以體會到對數增長、直線上升、指數爆炸等不同函數類型增長的含義.探究一探究二探究三1.在實際問題中,選擇函數模型時,首先要明探究一探究二探究三變式訓練3某同學高三階段12次數學考試的成績呈現前幾次與后幾次均連續(xù)上升,中間幾次連續(xù)下降的趨勢.現有三種函數模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q為正常數,且q>2).若要較準確反映數學成績與考試次序關系,應選

作為模擬函數;若f(1)=4,f(3)=6,則所選函數f(x)的解析式為

.

解析:由于指數函數增長迅速,而對數型函數增長緩慢,因此滿足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)·(x-q)2+p,當x=1時,y=4且x=3時,y=6,答案:③

f