異面直線所成的角求法-總結(jié)加分析

異面直線所成的角一、平移法：常見(jiàn)三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)）：補(bǔ)形平移法：“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的方法，通過(guò)補(bǔ)形，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來(lái)處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1．在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AB、CD的中點(diǎn)，EF＝，求AD、BC所成角的大?。猓涸O(shè)BD的中點(diǎn)G，連接FG，EG。在△EFG中EF＝FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD與BC成60°的角。2．正ABC的邊長(zhǎng)為a，S為ABC所在平面外的一點(diǎn)，SA＝SB＝SC＝a，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)．求異面直線SA和EF所成角．答案：45°BMANCS3．S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)．求異面直線SM與BNBMANCS證明：連結(jié)CM，設(shè)Q為CM的中點(diǎn)，連結(jié)QN則QN∥SM∴∠QNB是SM與BN所成的角或其補(bǔ)角連結(jié)BQ，設(shè)SC＝a，在△BQN中BN＝NQ＝SM＝aBQ＝∴COS∠QNB＝4．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn)，若BC＝CA＝CC1，求BM與AN解：連接MN，作NG∥BM交BC于G，連接AG，易證∠GNA就是BM與AN所成的角．設(shè)：BC＝CA＝CC1＝2，則AG＝AN＝，GN＝BM＝，cos∠GNA＝。5．如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點(diǎn)．求與所成的角。證明：取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G，因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四邊形GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D設(shè)A1G與AE相交于H，則∠A1HA是AE與D因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn)，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,從而∠A1即直線AE與D1FBB(圖1－28)AABCDCDFE6．如圖1—28的正方體中，E是A′D′的中點(diǎn)(1)圖中哪些棱所在的直線與直線BA′成異面直線?(2)求直線BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直線AE和CC′所成的角的正切值；(4)求直線AE和BA′所成的角的余弦值解：(1)∵A平面BC′，又點(diǎn)B和直線CC′都在平面BC′內(nèi)，且BCC′,∴直線BA′與CC′是異面直線同理，正方體12條棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直線都和直線BA′成異面直線(2)∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的銳角就是BA′和CC′所成的角∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°(3)∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的銳角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是(4)取B′C′的中點(diǎn)F，連EF、BF，則有EFABAB,∴ABFE是平行四邊形，從而B(niǎo)FAE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF與BA′所成的銳角∠A′BF就是AE和BA′所成的角ABFM(圖1－29)ABFM(圖1－29)A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得：cos∠A′BF＝7.長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小。解法一：如圖④，過(guò)B1點(diǎn)作B1E∥BC1交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)。則∠DB1E或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成角，連結(jié)DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=∴∠DB1E=。解法二：如圖⑤，在平面D1DBB1中過(guò)B點(diǎn)作BE∥DB1交D1B1的延長(zhǎng)線于E，則∠C1BE就是異面直線DB1與BC1所成的角，連結(jié)C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。練習(xí)：8.如圖，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD與PC所成角的余切值為。 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，求DB和AC所成角的余弦值.中位線平移法：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，解三角形求之。解法一：如圖①連結(jié)B1C交BC1于0，過(guò)0點(diǎn)作OE∥DB1，則∠BOE為所求的異面直線DB1與BC1所成的角。連結(jié)EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE=∴∠BOE=解法二：如圖②，連DB、AC交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OE∥DB1，過(guò)E點(diǎn)作EF∥C1B，則∠OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過(guò)O點(diǎn)作OM∥DC，連結(jié)MF、OF。則OF=，∠OEF=，∴異面直線B1D與BC1所成的角為。解法三：如圖③，連結(jié)D1B交DB1于O，連結(jié)D1A，則四邊形ABC1D1為平行四邊形。在平行四邊形ABC1D1中過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，則∠DOF或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。課堂練習(xí)在正四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線AE和BD所成角的余弦值。補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：如圖⑥，以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個(gè)高為4的長(zhǎng)方體ABCD-A2B2C2D2，連結(jié)D2B，則DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角，連C1D2，則△C1D2C2為Rt△，∠C1BD2=－，∴異面直線DB1與BC1所成的角是。課堂練習(xí)：求異面直線A1C1與BD1所成的角的余弦值。在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體，將A1C1平移到BE，則∠D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，

二、利用模型求異面直線所成的角模型1 引理：已知平面α的一條斜線a與平面α所成的角為θ1，平面α內(nèi)的一條直線b與斜線a所成的角為θ，與它的射影a′所成的角為θ2。求證：cosθ=cosθ1·cosθ2。 在平面的斜線a上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB，垂足為O、B連接OB，則OB⊥b.在直角△AOP中，.在直角△ABC中，.在直角△ABP中，.所以所以PbABOα證明：設(shè)PA是α的斜線，OAPbABOαOB//b，如圖所示。則∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，過(guò)點(diǎn)O在平面α內(nèi)作OB⊥AB，垂足為B，連結(jié)PB?？芍狿B⊥AB。所以cosθ1=，cosθ=，cosθ2=。所以cosθ=cosθ1·cosθ2。利用這個(gè)模型來(lái)求兩條異面直線a和b所成的角，即引理中的角θ。需：過(guò)a的一個(gè)平面α，以及該平面的一條斜線b以及b在α內(nèi)的射影。如圖，MA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且MA=AB=a，試求異面直線MB與AC所成的角。ABABCDM解：由圖可知，直線MB在平面ABCD內(nèi)的射影為AB，直線MB與平面ABCD所成的角為45°，直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45°，所以直線AC與直MB所成的角為θ，滿足cosθ=cos45°·cos45°=，所以直線AC與MB所成的角為60°。13.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（D）（A）（B）（C）(D)解：設(shè)的中點(diǎn)為D，連結(jié)D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選DPEDFABC14.如圖，在立體圖形P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角，AE⊥PD于PEDFABC解：過(guò)E作AD的平行線EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD可知，直線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AF，直線AE與平面ABCD所成的角為∠DAE，其大小為60°，射影AF與直線CD所成的角為∠CDA，其大小為45°，所以直線與直線所成的角θ滿足cosθ=cos60°·cos45°=，所以其大小為arccos。模型2定理：四面體ADBCD兩相對(duì)棱AC、BD間的夾角為，則有證明：

所以有：長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。

解：連結(jié)BC1、A1B在四面體為，易求得

由定理得：

所以

二、向量法求異面直線所成的角16.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個(gè)點(diǎn)上。BACDFEB1A1D1C1GHSRPBACDFEB1A1D1C1GHSRPQ連結(jié)GH，有GH//A1E。過(guò)F作CD的平行線RS，分別交CC1、DD1于點(diǎn)R、S，連結(jié)SH，連結(jié)GS。由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。在△GHS中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a。GH=a（作直線GQ//BC交BB1于點(diǎn)Q，連QH，可知△GQH為直角三角形），HS=a（連A1S，可知△HA1S為直角三角形），GS=a（作直線GP交BC于點(diǎn)P，連PD，可知四邊形GPDS為直角梯形）?！郈os∠GHS=。BACDFEB1A1D1BACDFEB1A1D1C1解法二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體，所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用向量的方法來(lái)求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，設(shè)BC長(zhǎng)度為2。則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，2，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0，1），點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（0，0，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1，1）；所以向量的坐標(biāo)為（-1，2，1），向量的坐標(biāo)為（2，1，-1），所以這兩個(gè)向量的夾角θ滿足cosθ===-。所以直線A1E與直線B1F所成的角的余弦值為ABCDMN已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分別為BC和AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成的角為ABCDMN解：由已知得，空間向量，，不共面，且兩兩之間的夾角均為60°。由向量的加法可以得到=（+），=+所以向量與向量的夾角θ（即角α或者α的補(bǔ)角）滿足cosθ=，其中·=（+）·（+）=（·+·+（）·+·）=a2（++1）=a2；||2=（+）·（+）=（1+1+1）a2=a2；||2=（+）·（+）=+1a2=a2。所以cosα=|cosθ|=。ABCDEFG已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=ABCDEFG解：取AC上點(diǎn)G，使AG：GC=1：2。連結(jié)EG、FG，可知EG//AB，F(xiàn)G//CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知識(shí)可知=+=+，設(shè)向量和的夾角為θ。則由||2=（+）·（+）=4+1+4cosθ=7，得cosθ=，所以AB和CD所成的角為60°。（思考題）如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱AA1長(zhǎng)為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120°.求：(1)AC1的長(zhǎng)；(2)直線BD1與AC所成的角的余弦值.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.∴BD1與AC所成角的余弦值為.判斷是非：(1)(3)(8)(10)正確，其余錯(cuò)；選擇：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余異面；（6）：(D)，取AB中點(diǎn)M，CC1中點(diǎn)N，連B1E和B1F；（7）答案：(A)，延長(zhǎng)B1A1至M，使A1M＝A1D1，連MA，取AB中點(diǎn)N．8(D)；9(E)；10(D)；三．，取AD中點(diǎn)E，則∠MEN＝90°；四．，取AC中點(diǎn)F，連EF、BF，求得BE＝AD＝5，BF＝AC＝3；五．，分別取AC、B1C1的中點(diǎn)P、Q，則PMQN是矩形，設(shè)CC1＝MQ＝a，則MP＝a；六．，取AC中點(diǎn)F，連EF、BF，則EF＝4，BE＝BF＝3．異面直線所成的角---作業(yè)班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：一、判斷是非(下列命題中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；(2)對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；(3)平行于同一直線的兩直線平行；(4)垂直于同一直線的兩直線平行；(5)兩條直線確定一個(gè)平面；(6)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；(7)無(wú)公共點(diǎn)的兩直線異面；(8)兩異面直線無(wú)公共點(diǎn)；(9)兩異面直線可以同時(shí)平行于一直線；(10)兩異面直線可以同時(shí)垂直于一直線；(11)不同在一個(gè)已知平面內(nèi)的兩直線異面；(12)互相垂直的兩條直線必可確定一平面二、選擇題1.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線的位置關(guān)系是()(A)平行(B)異面(C)平行或異面(D)不能確定2.分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是()(A)異面(B)平行(C)平行或異面(D)平行或異面或相交3.兩條異面直線指的是()(A)在空間不相交的兩條直線(B)某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線(C)分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線(D)不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4.a、b是異面直線，b、c也是異面直線，那么a、c的位置是()(A)異面(B)異面或平行(C)異面或相交(D)相交、平行或異面5.說(shuō)出正方體中各對(duì)線段的位置關(guān)系：(1)AB和CC1；(2)A1C和BD1；(3)A1A和CB(4)A1C1和CB1；(5)A1B1和DC；(6)BD1和6.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是()7.如圖，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三側(cè)面為矩形)，∠BCA=90°，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是8.正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線BC1與(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)異面且垂直(D