畢業(yè)論文冪零矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用

PAGE中圖分類號(hào)：O151.2本科生畢業(yè)論文（或設(shè)計(jì)）（申請(qǐng)學(xué)士學(xué)位）論文題目?jī)缌憔仃嚨男再|(zhì)與應(yīng)用作者姓名數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師2010年

學(xué)號(hào)：5060352044論文答辯日期：2010年6月5日指導(dǎo)教師：（簽字）滁州學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的設(shè)計(jì)（論文）是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。作者簽名：2010目錄摘要 1Abstract 11引言 22預(yù)備知識(shí) 22.1概念 22.1引理 33冪零矩陣的性質(zhì) 43.1冪零矩陣的特性 43.2矩陣是冪零矩陣的幾個(gè)充分必要條件 63.3冪零矩陣和若爾當(dāng)塊 73.4冪零矩陣的其他性質(zhì) 84冪零矩陣的應(yīng)用 124.1冪零矩陣在矩陣求逆中的應(yīng)用 12可求冪零矩陣與單位矩陣和的矩陣的逆 12求主對(duì)角線上元素完全相同的三角矩陣的逆 134.2冪零矩陣在其他方面的應(yīng)用 14結(jié)論 16參考文獻(xiàn) 16致謝 18滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文PAGE18冪零矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用摘要：在高等數(shù)學(xué)中，矩陣是研究和解決問(wèn)題的重要工具,冪零矩陣又是一類特殊的矩陣，在矩陣?yán)碚撝芯哂信e足輕重的地位，實(shí)際應(yīng)用方面也有重要的意義。冪零矩陣具有很多好的性質(zhì)，本文將深入挖掘這些性質(zhì)，并且用不同的方法去分析論證這些性質(zhì)。同時(shí)本文還給出冪零矩陣自身特有的一些性質(zhì)，討論了矩陣是冪零矩陣的充分必要條件，并說(shuō)明其在求矩陣的逆矩陣方面的優(yōu)越性，并通過(guò)例子說(shuō)明其在實(shí)際中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：冪零矩陣；線性變換；逆矩陣；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型；特征值；跡.PropertiesandApplicationsofNilpotentMatricesAbstract:Matrixactsasakeyroleinstudyingandsolvingthequestionsinadvancedmathematics.Asspecialformsofmatrix,nilpotentmatricesplayakeyrolenotonlyinthetheoryofmatrixbutalsoinpracticalapplication.NilpotentMatriceshavemanygoodproperties.Inthepaper,wewillfindandprovewithvariousmethodsthesepropertiesinprofundity.Thepaperwillgivesomeuniquepropertiesofnilpotentmatricesanddiscussesthenecessaryandsufficientconditionofnilpotentmatrices.Thenthepapershowsitssuperiorityinsolvinginversematrix,andexplainsitspracticalapplicationbyexamples.Keywords:Nilpotentmatrix;Lineartransformation;Inversematrix;Jordancanonicalform;Characteristic;Trace.1引言隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，古典的線性代數(shù)知識(shí)已不能滿足現(xiàn)代科技的需要，矩陣的理論和方法已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具。諸如數(shù)值分析、微分方程、力學(xué)、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科領(lǐng)域都與矩陣?yán)碚撚兄芮械穆?lián)系，甚至在經(jīng)濟(jì)管理、金融、保險(xiǎn)、社會(huì)科學(xué)的領(lǐng)域，矩陣?yán)碚撘灿兄种匾淖饔?。冪零矩陣在這些領(lǐng)域中也發(fā)揮著重要的作用，自20世紀(jì)60年代以來(lái)，許多學(xué)者探討了一些冪零矩陣的性質(zhì)，獲得了許多重要的研究成果。1964年Give證明了n階矩陣A是冪零矩陣的充要條件是，近年來(lái)冪零矩陣得到了進(jìn)一步發(fā)展。在我們學(xué)到矩陣的乘法運(yùn)算時(shí)曾給出了冪零矩陣的定義，但對(duì)它的介紹甚少，因此我們將加強(qiáng)這方面的研究與總結(jié)。本文將歸納總結(jié)冪零矩陣的一些性質(zhì)，有其自身所特有的特征，它和線性變換、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形等方面的聯(lián)系，還有其性質(zhì)的具體應(yīng)用，在后面的應(yīng)用中我們提到了一些特殊矩陣的求逆，這體現(xiàn)了冪零矩陣的優(yōu)越性。鄒本強(qiáng)，韓道蘭，羅雁，黃宗文，谷國(guó)梁等在文獻(xiàn)[1-4]中給出了冪零矩陣的一些性質(zhì)，并證明了冪零矩陣的性質(zhì)；姜海勤還在文獻(xiàn)[3]中給出了對(duì)于一些特殊矩陣?yán)脙缌憔仃嚨男再|(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化矩陣求逆的計(jì)算，還有用冪零矩陣的特性求特殊矩陣的高次冪。胡秀玲，張秀福在文獻(xiàn)[5]中證明了對(duì)于維線性空間,必存在的一組基使得由的冪零線性變換生成的冪零代數(shù)中任意元素在該基下的矩陣均為嚴(yán)格上三角矩陣。王兆飛在文獻(xiàn)[6]中利用冪零線性變換的概念，在一般數(shù)域上討論了冪零線性變換一定存在一組基使其在這組基下的矩陣是若當(dāng)形矩陣，從而給出冪零矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。吳險(xiǎn)峰在文獻(xiàn)[7]中利用冪零矩陣的特征值、特征多項(xiàng)式、相似性等性質(zhì)，給出構(gòu)建冪零矩陣的幾種方法。李殿龍，隋思漣在文獻(xiàn)[8]中證明了一般域上的2-冪零矩陣存在Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，并給出其明確表示；同時(shí)也證明了兩個(gè)2-冪零矩陣相似的充要條件是它們的秩相等。楊浩波在文獻(xiàn)[10]中探討數(shù)域上矩陣與冪零矩陣的運(yùn)算聯(lián)系，還證得每個(gè)奇異方陣可寫(xiě)成一個(gè)冪零方陣和兩個(gè)冪零方陣的積之和。2預(yù)備知識(shí)2.1概念定義1.設(shè)為階方陣，若存在正整數(shù)，使，則稱為冪零矩陣。定義2.設(shè)為冪零矩陣，滿足的最小正整數(shù)稱為的冪零指數(shù)，并稱是次冪零矩陣。顯然，階零矩陣是特殊的冪零矩陣，其冪零指數(shù)為1。定義3.設(shè)，稱為的轉(zhuǎn)置，稱為的伴隨矩陣，其中為中元素的代數(shù)余子式。定義4.階矩陣，稱為的跡，記為。顯然，的全體特征值的和等于。定義5.形為的矩陣稱為若當(dāng)塊，其中為復(fù)數(shù)，由若干個(gè)若當(dāng)塊組成和準(zhǔn)對(duì)角稱為若當(dāng)形矩陣。定義6.稱為矩陣的特征多項(xiàng)式。滿足的的值稱為矩陣的特征值。2.1引理引理1.設(shè)，為階方陣，則。引理2.相似矩陣具有相同的特征值。引理3.（哈密爾頓—?jiǎng)P萊定理）設(shè)是階方陣，是的特征多項(xiàng)式，則有。引理4.設(shè)為階矩陣的特征值，則有，且對(duì)任意的多項(xiàng)式有的特征值為。引理5.每一個(gè)階的復(fù)矩陣都與一若當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排序外被矩陣唯一決定的，它稱為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。引理6.若當(dāng)形矩陣的主對(duì)角線上和元素為它的特征值。引理7.階若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為且有。引理8.,為階復(fù)數(shù)域上的矩陣，若，則存在可逆矩陣，使得，3冪零矩陣的性質(zhì)3.1冪零矩陣的特性冪零矩陣作為一種特殊的矩陣，自身具有一些特殊的性質(zhì)。性質(zhì)1.冪零矩陣的行列式值為零，且所有的冪零矩陣都不可逆。證明：設(shè)是任一階冪零矩陣，使得，由行列式的性質(zhì)得，是退化的，不可逆。性質(zhì)2.若為冪零矩陣，則都為冪零矩陣。證明：因?yàn)闉閮缌憔仃?，使得，由引?知所以為冪零矩陣。因?yàn)闉閮缌憔仃?，所以，知的秩只能為或。?dāng)時(shí)，是冪零矩陣；當(dāng)時(shí)，有。由的特征值全為零，存在可逆陣，使，由，知，顯然的特征值全為零，所以是冪零矩陣。又所以是冪零矩陣；因?yàn)樗砸矠閮缌憔仃?。性質(zhì)3.冪零矩陣的相似陣是冪零矩陣。證明:令是冪零矩陣，使得，令是的相似矩陣，則存在可逆陣，使得，有．即也是冪零矩陣。性質(zhì)4.設(shè)為階冪零矩陣，若，則，為冪零矩陣。證明:為階冪零矩陣，令分別為它們的冪零指數(shù),取。由，有當(dāng)時(shí)，，從而，得到當(dāng)時(shí)，顯然有，得到所以，即+是冪零矩陣。取，因?yàn)?，有即也是冪零矩陣。性質(zhì)5.數(shù)域F上的所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似。證明：設(shè)是數(shù)域F上的冪零矩陣，其指數(shù)是-，則。當(dāng)時(shí)，,所以的最小多項(xiàng)式是。故而，特征矩陣的不變因子為，，．由的任意性得知，所有指數(shù)為的冪零矩陣的特征矩陣的不變因子是一致的，即數(shù)域F上的所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似。3.2矩陣是冪零矩陣的幾個(gè)充分必要條件性質(zhì)6.為冪零矩陣的充分必要條件是的特征值全為。證明：（必要性）為冪零矩陣，存在使得，設(shè)為的任一特征值，則存在維列向量，有．即由，所以。又由知，得，即的特征值為。（充分性）由的特征值全為知，的特征多項(xiàng)式為，由引理3得，所以為冪零矩陣。性質(zhì)7.為冪零矩陣的充分必要條件是對(duì)于任何正整數(shù)，跡。證明：（必要性）由是冪零矩陣知，的特征值全為。從而對(duì)于任何正整數(shù)，的特征值也全為，有（充分性）令的特征值為，則的特征值為，，則假設(shè)有不為的特征值，設(shè)為其中的互異的特征值，為相應(yīng)的重?cái)?shù)，有，；將上式視為關(guān)于變量的其次線性方程組，由于知，．與假設(shè)矛盾，故的特征值全為，即為冪零矩陣。3.3冪零矩陣和若爾當(dāng)塊性質(zhì)8.階冪零矩陣的冪零指數(shù)小于等于且冪零指數(shù)等于其若當(dāng)形矩陣中階數(shù)最高的若當(dāng)塊的階數(shù)。證明：令為階冪零矩陣，由引理5知，存在可逆矩陣，使得其中階數(shù)為．且取，則且有即。若令為的冪零指數(shù)，則。若，則且，由式，得這與矛盾。故。性質(zhì)9.若為冪零矩陣，則的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)塊為冪零若當(dāng)塊，且和主對(duì)角線上的元素為。證明：為冪零矩陣，由性質(zhì)6，知的特征值全為。由引理5知，在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得其中階數(shù)為，由引理6知，為和特征值，又與相似，由引理2知與有相同的特征值，所以。即的主對(duì)角線上的元素全為．由引理7知為冪零矩陣。3.4冪零矩陣的其他性質(zhì)性質(zhì)10.相似于對(duì)角形矩陣的冪零矩陣是零矩陣。證明：令是冪零矩陣、是對(duì)角形矩陣，使得，設(shè)與相似，令得則存在逆矩陣，使，有性質(zhì)3知，所以故得知．由性質(zhì)6可推出：對(duì)角形的冪零矩陣為零矩陣。性質(zhì)11.設(shè)為非零的冪零矩陣，且是的冪零指數(shù)，則線性無(wú)關(guān)。證明：反證法假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)，使，兩邊同時(shí)右乘，得，而得知；兩邊同時(shí)右乘，得而，得知；依次下去可得，，與假設(shè)矛盾。所以線性無(wú)關(guān)。性質(zhì)12.若為冪零矩陣，則非退化。證明：令為的特征值.若退化，則有.由引理4得,至少存在為的特征值,又由引理4得,為的一特征值。這與為冪零矩陣矛盾。即為非退化。性質(zhì)13.若為冪零矩陣且，則不可對(duì)角化。證明：為冪零矩陣，存在使得且的特征值全為，為的特征多項(xiàng)式且。令為的最小多項(xiàng)式，則有,從而有。由于，所以又此時(shí)。即的最小多項(xiàng)式有重根，所以不可對(duì)角化。因?yàn)闉殡A方陣，由引理5，知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得其中，階數(shù)為.令，階數(shù)為.則有階數(shù)為。由引理7知,即為冪零矩陣。令，即又為對(duì)角陣，由式知可對(duì)角化。令且取，則有即有可對(duì)角化且為冪零矩陣。性質(zhì)14.若為冪零矩陣且，則有證明：因?yàn)椋约从旨磳?duì)任意，有即有。性質(zhì)15.若為冪零矩陣，則一定不可逆但有。證明：因?yàn)闉閮缌憔仃嚕源嬖谑沟?，從而，一定不可逆。由性質(zhì)6知，的特征值為。由引理4知，的特征值分別為，且有即。4冪零矩陣的應(yīng)用4.1冪零矩陣在矩陣求逆中的應(yīng)用可求冪零矩陣與單位矩陣和的矩陣的逆例1.設(shè)，求。解：其中且有由性質(zhì)14知，例2.設(shè)，求。解：其中，且.由性質(zhì)14知，求主對(duì)角線上元素完全相同的三角矩陣的逆例3.設(shè)，求。解：令，其中由性質(zhì)14得例4.設(shè)，求。解：其中有，由性質(zhì)14得4.2冪零矩陣在其他方面的應(yīng)用例5.若，但，，證明與相似。證明：設(shè)V是數(shù)域F上的維線性空間，是V的一組基，有線性變換，使在下的矩陣為.由，，知，，有，使，但，可得到線性無(wú)關(guān)，可作為V的一組基。易知，在下的矩陣是所以與相似。同理可證，與相似?？傻门c相似。例6.設(shè)為階方陣，為冪零矩陣，且，則有。證明：由是冪零矩陣知，的特征值為.在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得，又因?yàn)榭赡嬷?，由知為的特征值，有，故?.設(shè)為階方陣，其中可對(duì)角化，為冪零矩陣，且，證明。證明：由性質(zhì)9知,存在冪零矩陣，使得可對(duì)角化，即存在可逆，使得即有。由性質(zhì)2知,是冪零矩陣。又與相似知，可對(duì)角化。令，，則有。例8.設(shè)，，C為階方陣，且，證明：存在正整數(shù)，使得。證明：由于，由為冪零矩陣知，，且。結(jié)論：本文的研究是建立在矩陣?yán)碚摶A(chǔ)之上的，在本文第一章，我們首先介紹了冪零矩陣的一些知識(shí)，對(duì)冪零矩陣有了一個(gè)基本了解。在第二章，介紹了下文要用到的一些基礎(chǔ)知識(shí)，其中包括冪零矩陣的定義和一些與冪零矩陣有關(guān)的概念，還有要用到的一些性質(zhì)和定理，我們將這些性質(zhì)和定理命名為引理，以便下文引用。在第三章，重點(diǎn)列舉和證明了冪零矩陣的一些性質(zhì)，如冪零矩陣作為一類特殊的矩陣，自身所具有的一些特殊的性質(zhì)；矩陣是冪零矩陣的充分必要條件說(shuō)明了什么樣的矩陣是冪零矩陣，如何判斷一個(gè)矩陣是冪零矩陣；同時(shí)，還介紹了冪零矩陣和若爾當(dāng)塊的關(guān)系，把若爾當(dāng)塊的理論應(yīng)用的冪零矩陣中；一個(gè)冪零矩陣就是一個(gè)冪零線性變換，還有一些其他性質(zhì)。當(dāng)介紹完冪零矩陣的性質(zhì)理論之后，我們必然要介紹一下這些理論的應(yīng)用，例如在矩陣求逆中的應(yīng)用等，這些應(yīng)用體現(xiàn)了冪零矩陣在一些應(yīng)用領(lǐng)域的優(yōu)越性。盡管如此，本文所介紹的冪零矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用是非常有限的，冪零矩陣還有很多性質(zhì)等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。參考文獻(xiàn)[1]鄒本強(qiáng).冪零矩陣的性質(zhì)[J].威海職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2007,(12):150-155.[2]韓道蘭,羅雁,黃宗文.冪零矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào),2003,(4):1-3.[3]姜海勤.冪零矩陣性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用[J].泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2004,4(1):54-57.[4]谷國(guó)梁.關(guān)于冪零矩陣性質(zhì)的探討[J].銅陵學(xué)院學(xué)報(bào),2001,(4):49-63.[5]胡秀玲,張秀福.冪零矩陣和冪零線性變換[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,24(4):17-18.[6]王兆飛.冪零矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)，2008,24(1):4-7.[7]吳險(xiǎn)峰.n階冪零矩陣的判別及構(gòu)建[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2007,23(4):72-75.[8]李殿龍,隋思漣.2-冪零矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型[J].青島建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào),2001,22(3):83-86.[9]周驚雷,李慶國(guó).一類冪零矩陣冪零指標(biāo)的特征[J].湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2008,22(5):1-4.[10]楊浩波,矩陣的冪零分解[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,8(5):34-337.[11]錢(qián)椿林.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版