2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練34空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征表面積和體積【含答案】

專練34空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，空間幾何體的表面積和體積.[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．[2021·全國(guó)新高考Ⅰ卷]已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)2．[2021·江蘇省學(xué)情調(diào)研]用一平面截正方體，所得截面的面積最大時(shí)，截面的幾何形狀為()A．正六邊形B．五邊形C．長(zhǎng)方形D．三角形3．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為A.1B．2C．3D．44．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π5．[中考真題-全國(guó)卷Ⅰ]已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64πB．48πC．36πD．32π6．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是()A．2πR2B.eq\f(9,4)πR2C.eq\f(8,3)πR2D.eq\f(3,2)πR27．[2021·河北省六校聯(lián)考]已知A，B是球O的表面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．124πB．144πC．156πD．196π8.[2021·云貴川桂四省聯(lián)考]如圖所示的某糧倉(cāng)(糧倉(cāng)的底部位于地面上)是由圓柱和圓錐構(gòu)成的，若圓柱的高是圓錐高的2倍，且圓錐的母線長(zhǎng)是4，側(cè)面積是4π，則制作這樣一個(gè)糧倉(cāng)的用料面積為()A．(eq\r(15)＋4)πB．(2eq\r(15)＋4)πC．(3eq\r(15)＋4)πD．(4eq\r(15)＋4)π9．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)二、填空題10．[中考真題-全國(guó)卷Ⅲ]已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)_______．11．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．12．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為_(kāi)_______．[能力提升]13．[中考真題-全國(guó)卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)14．(多選)[2021·全國(guó)新高考Ⅰ卷]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點(diǎn)P滿足eq\o(BP,\s\up6(→）＝λeq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(BB1,\s\up6(→），其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，則()A．當(dāng)λ＝1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)μ＝1時(shí)，三棱錐P－A1BC的體積為定值C．當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BPD．當(dāng)μ＝eq\f(1,2)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P15．[2021·山東威海模擬]在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑，在體積為eq\f(2,3)的鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝2，CD＝1，則該鱉臑外接球的表面積為_(kāi)_______．16．[2021·山東濰坊階段性監(jiān)測(cè)]在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DCC1D1所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD＝∠MPC，則eq\f(PD,PC)＝________，三棱錐P－BCD的體積最大值是________．

專練34空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積1．B設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則πl(wèi)＝2π×eq\r(2)，解得l＝2eq\r(2).故選B.2．C由題意用一平面截正方體，所得截面可以為正六邊形、五邊形、正方形、長(zhǎng)方形、梯形、三角形．而當(dāng)截面是以面對(duì)角線為長(zhǎng)、正方體棱長(zhǎng)為寬的長(zhǎng)方形時(shí)，可知該截面的面積最大，故選C.3.A如圖，易知V三棱錐A1－D1MN＝V三棱錐D1－A1MN，由正方體的結(jié)構(gòu)特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1為三棱錐D1－A1MN的高．因?yàn)镸，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，所以S△A1MN＝2×2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×1×2－eq\f(1,2)×1×2＝eq\f(3,2)，所以V三棱錐A1－D1MN＝V三棱錐D1－A1MN＝eq\f(1,3)×S△A1MN×D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.4．C過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示．由于V圓柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圓錐＝eq\f(1,3)π·CE2·DE＝eq\f(1,3)π×12×(2－1)＝eq\f(π,3)，所以該幾何體的體積V＝V圓柱－V圓錐＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).5．A如圖，由題知△ABC為等邊三角形，圓O1的半徑r＝2，即O1B＝2，∴BC＝2eq\r(3)＝OO1，在Rt△OO1B中，OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1B2＝16，∴球O的半徑R＝OB＝4，則S球O＝4πR2＝64π.故選A.6．B設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r(0<r<R)，母線長(zhǎng)為h，則eq\f(r,R)＝eq\f(3R－h(huán),3R)，即h＝3R－3r，則該圓柱的全面積為S＝2πr(r＋3R－3r)＝2π(－2r2＋3Rr)，因?yàn)镾＝2π(－2r2＋3Rr)＝2πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(3R,4）)2＋\f(9R2,8）)，所以當(dāng)r＝eq\f(3R,4)時(shí)，內(nèi)接圓柱的全面積的最大值為eq\f(9,4)πR2.7．B如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直平面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O－ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO－ABC＝VC－AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為4πR2＝144π.8．D設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝eq\r(42－1)＝eq\r(15)，圓柱的側(cè)面積為2πr·2h＝4eq\r(15)π，故制作這樣一個(gè)糧倉(cāng)的用料面積為(4eq\r(15)＋4)π.9．C如圖，連接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,)1－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，∴V長(zhǎng)方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).故選C.10.eq\f(\r(2),3)π解析：如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時(shí)的軸截面圖．其中球心為O，設(shè)其半徑為r，AC＝3，O1C＝1，∴AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝2eq\r(2).∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝2eq\r(2)－r，又∵△AMO∽△AO1C，∴eq\f(OM,O1C)＝eq\f(AO,AC)，即eq\f(r,1)＝eq\f(2\r(2)－r,3)，故3r＝2eq\r(2)－r，∴r＝eq\f(\r(2),2).∴該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2）)3＝eq\f(\r(2)π,3).11．8π解析：由題意畫出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故該圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.12.eq\f(1,3)解析：四棱錐的底面BB1D1D為矩形，其面積為1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又點(diǎn)A1到底面BB1D1D的距離，即四棱錐A1－BB1D1D的高為eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱錐A1－BB1D1D的體積為eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).13．C如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)BC＝a，側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM＝h，則正四棱錐的高PO＝eq\r(h2－\f(a2,4），∴以|PO|為邊長(zhǎng)的正方形面積為h2－eq\f(a2,4)，一個(gè)側(cè)面三角形面積為eq\f(1,2)ah，∴h2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ah，∴4h2－2ah－a2＝0，兩邊同除以a2可得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,a）)2－2·eq\f(h,a)－1＝0，解得eq\f(h,a)＝eq\f(1±\r(5),4)，又∵eq\f(h,a)>0，∴eq\f(h,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4).故選C.14．BD易知，點(diǎn)P在矩形BCC1B1內(nèi)部(含邊界)．對(duì)于A，當(dāng)λ＝1時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(BB1,\s\up6(→）＝eq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(CC1,\s\up6(→），即此時(shí)P∈線段CC1，△AB1P周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)μ＝1時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→）＝λeq\o(BC,\s\up6(→）＋eq\o(BB1,\s\up6(→）＝eq\o(BB1,\s\up6(→）＋λeq\o(B1C1,\s\up6(→），故此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，則有P到平面A1BC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(BB1,\s\up6(→），取BC，B1C1中點(diǎn)分別為Q，H，則eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\o(BQ,\s\up6(→）＋μeq\o(QH,\s\up6(→），所以P點(diǎn)軌跡為線段QH，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1），Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，μ），Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0），則eq\o(A1P,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0，μ－1），eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，μ），eq\o(A1P,\s\up6(→）·eq\o(BP,\s\up6(→）＝μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－1）＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)μ＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(BP,\s\up6(→）＝λeq\o(BC,\s\up6(→）＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→），取BB1，CC1中點(diǎn)為M，N.eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\o(BM,\s\up6(→）＋λeq\o(MN,\s\up6(→），所以P點(diǎn)軌跡為線段MN.設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，y0，\f(1,2）)，因?yàn)锳eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0），所以eq\o(AP,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，y0，\f(1,2）)，eq\o(A1B,\s\up6(→）＝eq\b\