空間向量及其運(yùn)算（重難點(diǎn)突破） 高二數(shù)學(xué)上學(xué)期對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

空間向量及其運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理（一）、空間向量及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：空間向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2．幾類常見(jiàn)的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識(shí)點(diǎn)2：空間向量的線性運(yùn)算(1)、向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識(shí)點(diǎn)3：共線問(wèn)題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識(shí)點(diǎn)4：向量共面問(wèn)題共面向量(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。知識(shí)點(diǎn)5：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識(shí)點(diǎn)6：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0.知識(shí)點(diǎn)七：夾角問(wèn)題1.定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦。知識(shí)點(diǎn)7：空間向量的長(zhǎng)度定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線段的長(zhǎng)度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來(lái)求解。（二）、空間向量的基本定理知識(shí)點(diǎn)8：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.知識(shí)點(diǎn)9：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.知識(shí)點(diǎn)10：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立（三）、空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示知識(shí)點(diǎn)11、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)12、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.2.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是.知識(shí)點(diǎn)13、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間兩點(diǎn)的距離公式若，則①即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或.知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，則即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（5）空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則(1).(2).（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.重難點(diǎn)題型突破重難點(diǎn)1空間向量的概念及其線性運(yùn)算例1．（1）、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．零向量沒(méi)有方向B．空間向量不可以平行移動(dòng)C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量【答案】D【分析】根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定C、D.【詳解】對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.故選：D.（2）、（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，用表示，即可知正確選項(xiàng).【詳解】連接.故選：A（3）、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列結(jié)論正確的是（

）A．三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們不共面B．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線C．若，是兩個(gè)不共線的向量，且，且，則，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，，四點(diǎn)共面【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷出各個(gè)選項(xiàng)的正誤．【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則三個(gè)非零向量不共面，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B：三個(gè)非零向量不共面，則此三個(gè)向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這三個(gè)向量共面，則已知的兩個(gè)向量共線，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：、且、，，，共面，不能構(gòu)成基底，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：、、共起點(diǎn)，若、、、四點(diǎn)不共面，則必能作為空間的一個(gè)基底，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD．【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）有下列命題：①若與平行，則與所在的直線平行；②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；④若與是平面上互不平行的向量，點(diǎn)，點(diǎn)，則與、一定不共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共線、共面及基本定理判斷即可；【詳解】解：①若向量，平行，則向量，所在的直線平行或重合，因此①不正確；②若向量，所在的直線為異面直線，則向量，是共面向量，因此②不正確；③若三個(gè)向量，，兩兩共面，則向量，，不一定共面，可能是空間三個(gè)不共面的向量，如空間直角坐標(biāo)系中軸、軸、軸方向上的單位向量，因此③不正確；④若與是平面上互不平行的向量，即與可以作為平面上的一組基底，點(diǎn)，點(diǎn)，但是直線可以平行平面，則與、共面，故④錯(cuò)誤．故選：A【變式訓(xùn)練1-2】、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在斜三棱柱中，M為BC的中點(diǎn)，N為靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，，，則用，，表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】故選：A【變式訓(xùn)練1-3】、（2021·江蘇·周市高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）(多選題)下列說(shuō)法正確的是（

）A．空間中任意兩非零向量共面B．直線的方向向量是唯一確定的C．若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面D．在四面體中，E，F(xiàn)為，中點(diǎn)，G為中點(diǎn)，則【答案】AC【分析】由空間中任意兩個(gè)向量都共面判斷A；由直線的方向向量定義判斷B；由共面定理的推理判斷C；根據(jù)向量的平行四邊形法則判斷D.【詳解】對(duì)于A，空間中任意兩個(gè)向量都共面，故A正確；對(duì)于B，空間直線的方向用一個(gè)與該直線平行的非零向量來(lái)表示，該向量稱為這條直線的一個(gè)方向向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镋，F(xiàn)為，中點(diǎn)，G為中點(diǎn)，所以，，故D錯(cuò)誤；故選：AC重難點(diǎn)2空間向量的基本定理例2．（1）、為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋怨裁?，不能?gòu)成基底，排除A，對(duì)于B，因?yàn)?，所以共面，不能?gòu)成基底，排除B，對(duì)于D，，所以共面，不能構(gòu)成基底，排除D，對(duì)于C，若共面，則，則共面，與為空間向量的一組基底相矛盾，故可以構(gòu)成空間向量的一組基底，故選C（2）、（2021·浙江省杭州第二中學(xué)高二期中）（多選題）已知是空間中的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，，使得B．對(duì)空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得C．在，，中，能與，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的只有D．不存在另一個(gè)基底，使得【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量基底概念分別判斷即可．【詳解】對(duì)于A，若存在不全為零的實(shí)數(shù)，，，使得，，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以A錯(cuò)；對(duì)于B，因?yàn)?，，?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以對(duì)空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得，所以B對(duì)；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，，不能與，構(gòu)成空間另一個(gè)基底；又因?yàn)樵O(shè)，，若，所以與，構(gòu)成空間另一個(gè)基底；所以在，，中，能與，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的只有，所以C對(duì)；對(duì)于D，存在，根據(jù)向量運(yùn)算幾何意義，表示以為頂點(diǎn)，以，，為相鄰三邊的長(zhǎng)方體對(duì)角線，繞此對(duì)角線長(zhǎng)方體旋轉(zhuǎn)，基底也變?yōu)榱硪换?，，，都滿足，所以D錯(cuò)誤．故選：BC【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）若向量{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A．，，2 B．，，C．，， D．2，，【答案】ABD【分析】直接利用向量的基底和向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于A：由于向量{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，且滿足，故A正確；對(duì)于B：由于，故B正確；對(duì)于C：由于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由于，故D正確．故選：ABD．【變式訓(xùn)練2-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）若是空間的一個(gè)基底，則下列向量組也可以作為空間一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ACD【分析】結(jié)合空間向量基底的概念逐項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)論.【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作為一個(gè)基底；B選項(xiàng)：設(shè)，即，令，此時(shí)等式成立，即，，共面，故不可以作為一個(gè)基底；C選項(xiàng)：設(shè)，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作為一個(gè)基底；D選項(xiàng)：設(shè)，即，不存在使得等式成立，因此，，不共面，故可以作為一個(gè)基底.故選：ACD.重難點(diǎn)3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系例3．（1）、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)算式：______．【答案】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意得.故答案為：.（2）、（2021·吉林油田高級(jí)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）若向量，，則______．【答案】19【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得答案.【詳解】∵，，∴，∴,故答案為：19（3）、（2021·吉林油田高級(jí)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘以及減法運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】,故選:D．【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，=___________.【答案】【分析】利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及模長(zhǎng)公式即求.【詳解】∵空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，∴，∴.故答案為：.【變式訓(xùn)練3-2】、（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知向量，下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)條件可得出，然后可看出選項(xiàng)A的等式的左邊是向量，右邊是實(shí)數(shù)，顯然該等式不成立；進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)B，C都正確；根據(jù)和即可判斷選項(xiàng)D正確．【詳解】，∴，A：，∴該等式錯(cuò)誤；B：，，∴該等式正確；C：，∴該等式正確；D：，，∴，∴該等式正確．故選：BCD．【變式訓(xùn)練3-3】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則向量與的夾角為（

）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【分析】結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換化簡(jiǎn)求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)椋?，故向量與的夾角為，故選：A.重難點(diǎn)4平行與垂直例4．（1）、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】利用列方程，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得?故選：C（2）、（2022·江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】由題意，，，，因?yàn)?，所以，．故選：A．【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知平面的法向量是，平面的法向量是，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___．【答案】或##或【分析】利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)的值【詳解】，，，解得或．故答案為：或．【變式訓(xùn)練4-2】、（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知空間向量，，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A、B分別根據(jù)向量平行和垂直的等價(jià)條件轉(zhuǎn)換計(jì)算；對(duì)于C、D分別代向量的模的公式及夾角公式計(jì)算可得.【詳解】向量，對(duì)于A.若，則，所以，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B.若，，則，故此選項(xiàng)正確；對(duì)于C.若，則，則，故此選項(xiàng)正確；對(duì)于D.若，則，所以，故此選項(xiàng)正確；故答案為：BCD例5．（2021·吉林油田高級(jí)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知空間中三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，且，．(1)求向量與夾角的余弦值；(2)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得向量與的坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案；（2）表示出與的坐標(biāo)，根據(jù)與互相垂直可得關(guān)于k的方程，即可求得答案.（1），，所以．（2）因?yàn)?，，且與互相垂直，所以，解得．例6．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知：，，，求：(1)；(2)與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，求出，由求出，得出答案；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和夾角公式可得出答案.(1)，，解得，故又因?yàn)?，所以，即，解得，?2)由(1)可得設(shè)向量與所成的角為，，則．

課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）1、（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若是空間的一個(gè)基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面D．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線【答案】B【分析】根據(jù)基底的含義，非零向量不在同一平面內(nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，即可判斷【詳解】因?yàn)闉榛?，所以非零向量不在同一平面?nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，所以A、C、D選項(xiàng)說(shuō)法正確，B錯(cuò)誤．故選：B2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)，，，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量是線性運(yùn)算法則，計(jì)算即可得答案.【詳解】由題意得=.故選：A3．（2022·全國(guó)·高二）設(shè)，向量，且，則（