第2講相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例練習(xí)含答案

第2講相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例一、選擇題在一組樣本數(shù)據(jù)（X],yj,（x2，y2）,…，（xn，yn）（n±2,x,x2，…，x”不全相TOC\o"1-5"\h\z等）的散點圖中，若所有樣本點g,歹/（=1,2,…，n）都在直線y=*x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（ ）.1A.-1 B.0 C，2 D.1答案D已知x,y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3TOC\o"1-5"\h\z從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關(guān)，且y=0.95x+a,則a=（ ）.A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.801—1解析依題意得，x=6X（0+1+4+5+6+8）=4,y二石^（1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3）二5.25.又直線y二0.95x+a必過樣本中心點（匚,亍），即點（4,5.25），于是有5.25=0.95X4+a，由此解得a二1.45，選B.答案B設(shè)g,y1）,（x2，y2），…，（xn，yn）是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖）,以下結(jié)論正確的是（ ）.直線l過點（x,y）x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同解析由樣本的中心（匚，亍）落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)

表示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在?1到1之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不絕對平均，即無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯．答案A4.某產(chǎn)品的廣告費用4.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:A.A.63.6萬元B.65.5萬元C.C.67.7萬元D.72.0萬元.?當(dāng)x=6（萬元.?當(dāng)x=6（萬元）時，y=9.4X6+9.1=65.5（萬元）.則y對x的線性回歸方程為A.y=x_1B.y=x+1—4+2+3+5 _解析x= 4 =3.5（萬元），-49+26+39+54 _y= 4 =42（萬元），.a二y-bx=42-9.4X3.5=9.1,回歸方程為y=9.4x+9.1,C.y=88+*C.y=88+*xD.y=176解析由題意得x174+176+176+176+178=176（cm），— 175+175+176+177+177y= 5 二176(cm)，由于(x,y)—定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗證知選C.答案C6．下列說法：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；設(shè)有一個回歸方程y=3—5x,變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位;線性回歸方Sy=bx+a必過(x,y)；在一個2X2列聯(lián)表中，由計算得X=13.079,則有99%以上的把握認(rèn)為這兩個變量間有關(guān)系．其中錯誤的個數(shù)是( )．A．0 B．1 C．2 D．3解析只有②錯誤，應(yīng)該是y平均減少5個單位.答案B二、填空題已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如下表,則變量x與變量y是 相關(guān)(填“正”或“負(fù)”).施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455解析因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點圖如圖所示：通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關(guān)．答案正考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為y=1.197x—3.660,由此估計，當(dāng)股骨長度為50cm時，肱骨長度的估計值為 cm.解析根據(jù)線性回歸方Sy=1.197x-3.660，將x=50代入得y二56.19，則肱骨長度的估計值為56.19cm.答案56.199．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2X2列聯(lián)表：理科文科男1310女72050X(13X20-10X7)2X= 23X27X20X30 ?4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系的可能性約為 ．解析??/2=4.844，這表明小概率事件發(fā)生?根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷正確的可能性約為95%.答案95%10.某數(shù)學(xué)老師身高176cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm?因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為 cm.解析由題意父親身高xcm與兒子身高ycm對應(yīng)關(guān)系如下表：x173170176y170176182

173+170+173+170+1763=173,y=170+176+182二176_ _工(xi-x)(yi-y)二(173-173)X(170-176)+(170-173)X(176-176)+i=1(176-173)(182-176)二18,I(xi-匚)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.:b=焉=1.「.a=y-bx=176-173=3.?線性回歸直線方程y=bx+a=x+3.???可估計孫子身高為182+3=185(cm).答案185(1)請完善(1)請完善認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲189不喜歡玩游戲815合計11．某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)如下表：(2)試通過計算說明有多大把握認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)；解(1)認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲18927不喜歡玩游戲81523合計262450n(ad~bc)2⑵將表中的數(shù)據(jù)代入公式X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50X(18X15-8X9)226X24X27X23即說明有95%以上的把握認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系．12.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).X3456y2.5344.5請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx＋a；已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值:3X2.5+4X3+5X4+6X4.5=66.5)解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示.八列能耗：噸標(biāo)準(zhǔn)煤)45 1T:3 45 6兀(產(chǎn)量：噸)4(2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：Zx2=86,i=1X=X=3+4+5+6=4.5（噸）,亍丿5+3+4+4'3.5（噸）.4已知Zx.y.=66.5,iii=1所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為 廠47?-i=1 66.5-4X4.5X3.5b= = =074 _ 86-4X4.52 'Sx2-4x2ii=1a=y—bx=3.5—0.7X4.5=0.35.因此，所求的線性回歸方程為y=0.7x+0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90—(0.7X100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).13．某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x/°C101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a.解(1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A,因為從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，43所以p(A)=1—10=5.(2)由數(shù)據(jù)，求得x=12,y=27.11X25+13X30+12X26=977，112+132+122=434，由公式，求得b=|,a=y—bX=—3.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=|x—3.14.有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30合計1052已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為7?請完成上面的列聯(lián)表；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”；若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號．試求抽到6號或10號的概率．解(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050合計3075105根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到105X(10X30-20X45)2x=