剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題解答

第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一選擇題1.一繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，某時(shí)刻的角速度為，角加速度為，則其轉(zhuǎn)動(dòng)加快的依據(jù)是：（）A.>0B.>0，>0C.<0，>0D.>0，<解：答案是B。2.用鉛和鐵兩種金屬制成兩個(gè)均質(zhì)圓盤，質(zhì)量相等且具有相同的厚度，則它們對過盤心且垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（）A.相等；B.鉛盤的大；C.鐵盤的大；D.無法確定誰大誰小解：答案是C。簡要提示：鉛的密度大，所以其半徑小，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：。3.一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的光滑固定軸O以角速度w按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)。若將兩個(gè)大小相等、方向相反但不在同一條直線的力F1和F2沿盤面同時(shí)作用到圓盤上，則圓盤的角速度w的大小在剛作用后不久（）?選擇題3圖A.?選擇題3圖B.必然減少C.不會(huì)改變D.如何變化，不能確定解：答案是B。簡要提示：力F1和F2的對轉(zhuǎn)軸力矩之和垂直于紙面向里，根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，角加速度的方向也是垂直于紙面向里，與角速度的方向（垂直于紙面向外）相反，故開始時(shí)一定減速。4.一輕繩繞在半徑為r的重滑輪上，輪對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，一是以力F向下拉繩使輪轉(zhuǎn)動(dòng)；二是以重量等于F的重物掛在繩上使之轉(zhuǎn)動(dòng)，若兩種情況使輪邊緣獲得的切向加速度分別為a1和a2，則有：（）A.a1=a2B.a1>a2C.a1<a2D.解：答案是B。簡要提示：(1)由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，和，得：(2)受力分析得：，其中m為重物的質(zhì)量，T為繩子的張力。得：，所以a1>a2。5.一半徑為R，質(zhì)量為m的圓柱體，在切向力F作用下由靜止開始繞軸線作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則在2秒內(nèi)F對柱體所作功為：（）A.4F2/mB.2F2/mC.F2/mD.F2解：答案是A。簡要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：，得：所以：6.一電唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤正以0的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，現(xiàn)將一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2的唱片置于轉(zhuǎn)盤上，則共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為：（）A．B．C．D．解：答案是A。簡要提示：角動(dòng)量守恒7.已知銀河系中一均勻球形天體，現(xiàn)時(shí)半徑為R，繞對稱軸自轉(zhuǎn)周期為T，由于引力凝聚作用，其體積不斷收縮，假設(shè)一萬年后，其半徑縮小為r，則那時(shí)該天體的：（）自轉(zhuǎn)周期增加，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加；自轉(zhuǎn)周期減小，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減??；自轉(zhuǎn)周期減小，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加；自轉(zhuǎn)周期增加，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小。解：答案是C。簡要提示：由角動(dòng)量守恒，，得轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率增大，所以轉(zhuǎn)動(dòng)周期減小。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為可得Ek>Ek0。m0選擇題8圖8.如圖，一質(zhì)量為m0的均勻直桿可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的子彈水平射入靜止直桿的下端并留在直桿內(nèi)，則在射入過程中，由子彈和桿組成的系統(tǒng)（m0選擇題8圖A.動(dòng)能守恒B.動(dòng)量守恒C.機(jī)械能守恒D.對O軸的角動(dòng)量守恒解：答案是D。二填空題1.半徑為30cm的飛輪，從靜止開始以0.5rads–2的角加速度勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則飛輪邊緣上一點(diǎn)在轉(zhuǎn)過2400時(shí)的切向加速度為；法向加速度為。解：答案是0.15ms–2；0.4m簡要提示：。由，，得：2.一質(zhì)量為0.5kg、半徑為0.4m的薄圓盤，以每分鐘1500轉(zhuǎn)的角速度繞過盤心且垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，今在盤緣施以0.98N的切向力直至盤靜止，則所需時(shí)間為s。解：答案是16s。簡要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，，，得：m1lm2填空題3圖3.一長為l，質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿，兩端附著小球m1和m2（m1＞m2m1lm2填空題3圖解：答案是。簡要提示：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得：4.如圖所示，質(zhì)量為m0，半徑為r的繞有細(xì)線的圓柱可繞固定水平對稱軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，若質(zhì)量為m的物體縛在線索的一端并在重力作用下，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)m下降h的距離時(shí)，m的動(dòng)能與m0的動(dòng)能之比為。解：答案是。rm0m填空題4圖rm0m填空題4圖填空題5圖如圖所示，、兩飛輪的軸桿在一條直線上，并可用摩擦嚙合器C使它們連結(jié)．開始時(shí)輪靜止，輪以角速度A轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)在嚙合過程中兩飛輪不受其它力矩的作用．當(dāng)兩輪連結(jié)在一起后，共同的角速度為．若輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA，則輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣JB＝．解：答案是簡要提示：兩飛輪不受外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，得：所以：6.一位轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0的花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員以角速度0自轉(zhuǎn)，其角動(dòng)量為；轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為。當(dāng)其收回手臂使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減為J0/3時(shí)，則其角速度變?yōu)椋晦D(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變?yōu)?。解：答案是J00；；30；簡要提示：角動(dòng)量守恒7.一圓形轉(zhuǎn)臺可繞中心軸無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)，臺上有一輛玩具小汽車相對臺面由靜止啟動(dòng)，當(dāng)其繞軸作順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺將作轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)汽車突然剎車停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)的守恒；而和不守恒。解：答案是逆時(shí)針；角動(dòng)量；動(dòng)量；機(jī)械能三計(jì)算題1.一細(xì)桿繞其上端在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，桿與豎直方向的夾角。求：(1)桿擺動(dòng)的角速度和角加速度；(2)距上端0.5m處的一點(diǎn)的速度和加速度。解：(1);(2)；；2.有一個(gè)板長為a、板寬為b的均勻矩形薄板，其質(zhì)量為m。求矩形板對于與板面垂直并通過板中心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：如圖，把矩形薄板分成無限多個(gè)小質(zhì)元，任取一個(gè)小質(zhì)元，其面積為dS，設(shè)薄板的質(zhì)量面密度為，則小質(zhì)元質(zhì)量為babayxdmyOxr小質(zhì)元dm對于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量整個(gè)矩形板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算題3圖3.質(zhì)量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個(gè)均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為m計(jì)算題3圖解：隔離物體，分別對重物和轉(zhuǎn)盤受力分析，如圖所示。根據(jù)牛頓定律和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有：由轉(zhuǎn)盤和重物之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，有：TT’T聯(lián)立以上方程，可得：4.如圖所示，半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的定滑輪A可繞水平光滑軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，輪上纏繞有不能伸長的輕繩，繩一端系有質(zhì)量為m的物體B，B可在傾角為的光滑斜面上滑動(dòng)，求B的加速度和繩中張力。計(jì)算題4圖BA計(jì)算題4圖BAJ,roθ定滑輪A的運(yùn)動(dòng)滿足剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律加速度和角加速度之間滿足關(guān)系聯(lián)立解得B的加速度a的方向沿斜面向下。繩中張力為km1θJm2計(jì)算題5圖5.如圖所示，質(zhì)量為m1的物體可在傾角為的光滑斜面上滑動(dòng)。m1的一邊系有勁度系數(shù)為k的彈簧，另一邊系有不可伸長的輕繩，繩繞過轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為r的小滑輪與質(zhì)量為m2（m1）的物體相連。開始時(shí)用外力托住m2使彈簧保持原長，然后撤去外力，求mkm1θJm2計(jì)算題5圖解：在m2由靜止下落h距離的過程中機(jī)械能守恒，因此有式中，解得m2由靜止下落h距離時(shí)的速率下降到最低時(shí)，、速率為零，代入上式，得到m2下降的最大距離6.空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始時(shí)環(huán)的角速度為0。質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點(diǎn)，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)，問小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點(diǎn)和環(huán)的最低處的C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多大?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑r<<R.)解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)．在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中沿轉(zhuǎn)軸方向的合外力矩為零，所以角動(dòng)量守恒．對地球、小球和環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒。取過環(huán)心O的水平面為勢能零點(diǎn)．小球到B點(diǎn)時(shí)，有：其中vB表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對于地面的豎直分速度，也就是它相對于環(huán)的速度。由以上兩式解出計(jì)算題6圖計(jì)算題6圖小球到C點(diǎn)時(shí)，由角動(dòng)量守恒定律，系統(tǒng)的角速度又回復(fù)至0，而由機(jī)械能守恒，有：所以。LOm0omv計(jì)算題7圖7.質(zhì)量為m0長為L的均勻直桿可繞過端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以水平速度vLOm0omv計(jì)算題7圖解：（1）完全非彈性碰撞時(shí)，質(zhì)點(diǎn)射入桿內(nèi)，與桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)。在此過程中質(zhì)點(diǎn)和桿系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，設(shè)系統(tǒng)繞端點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，因此解出（2）完全彈性碰撞時(shí)，碰撞前后系統(tǒng)關(guān)于端點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后質(zhì)點(diǎn)的水平速度為v，直桿繞端點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，因此有得到（1）碰撞前后系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因此有由上式得到（2）將（2）式和（1）式兩邊相除，得到（3）再由（3）式和（1）式解得8.如圖所示，一長為L，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒，一端懸掛在O點(diǎn)上，可繞水平軸在豎直面內(nèi)無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，在同一懸掛點(diǎn)，有長為l的輕繩懸掛一小球，質(zhì)量也為m，當(dāng)小球懸線偏離鉛垂方向某一角度由靜止釋放，小球在懸點(diǎn)正下方與靜止細(xì)棒發(fā)生彈性碰撞。若碰撞后小球剛好靜止，試求繩長l應(yīng)為多少？LlmO計(jì)算題8圖解：在碰撞過程中，小球和棒都在垂直位置，因此系統(tǒng)受到的關(guān)于轉(zhuǎn)軸O的合外力矩為零，因此系統(tǒng)在碰撞前后瞬間的角動(dòng)量守恒。設(shè)碰撞后瞬間細(xì)棒繞轉(zhuǎn)軸OLlmO計(jì)算題8圖另外由于沒有摩擦和阻尼，因此系統(tǒng)在碰撞期間的機(jī)械能也守恒。即小球的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能由以上兩式解得或解設(shè)碰撞后小球的速率為v，則由角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，有求得令，則解得9.轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，現(xiàn)有質(zhì)量為m的小鋼球以每秒n個(gè)的速率垂直落入轉(zhuǎn)臺上半徑為r的圓軌道內(nèi)，求轉(zhuǎn)臺的角速度隨時(shí)間的變化關(guān)系。解：由角動(dòng)量守恒，初始時(shí)角動(dòng)量為：，t時(shí)刻系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角動(dòng)量為：；所以角速度為：在一半徑為R、質(zhì)量為m、可繞中心豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤的邊上，站著一個(gè)質(zhì)量為m的人，求當(dāng)人沿圓盤的邊緣走完一周回到原有位置時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)過的角度為多大？解：設(shè)人相對于圓盤的速率為v，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為。將人和轉(zhuǎn)盤作為一個(gè)系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中沿轉(zhuǎn)軸方向的外力矩為零，因此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。因此得到設(shè)人沿圓盤的邊緣走完一周回到原有位置時(shí)所需時(shí)間為T，則圓盤轉(zhuǎn)過的角度為或解：設(shè)圓盤和人相對于地面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為和，與的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。則人相對于圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。將人和轉(zhuǎn)盤作為一個(gè)系