線性代數(shù)的過去、現(xiàn)在、未來及其應(yīng)用

線性代數(shù)的簡單介紹線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。線性代數(shù)是最古老的數(shù)學(xué)分支之一，是研究數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)的工具，但是線性代數(shù)理論的研究目前仍然十分活躍，許多新成果不斷涌現(xiàn)。線性代數(shù)已滲透到數(shù)學(xué)的眾多分支和其它學(xué)科的許多分支，是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)分支之一。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意，而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章。向量的概念，從數(shù)學(xué)的觀點來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情。向量用于梯度，散度，旋度就更有說服力。同樣，行列式和矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然dy/dx在數(shù)學(xué)上不過是一個符號，表示包括^y/Ax的極限的長式子，但導(dǎo)數(shù)本身是一個強有力的概念，能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但它的大多數(shù)生動的概念能對新的思想領(lǐng)域提供鑰匙。然而已經(jīng)證明這兩個概念是數(shù)學(xué)物理上高度有用的工具。線性代數(shù)起源于對二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實數(shù)向量空間的第一個例子。現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴展到研究任意或無限維空間。一個維數(shù)為n的向量空間叫做n維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象n維空間中的向量，這樣的向量（即n元組）用來表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為n元組，向量是n個元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。比如，在經(jīng)濟學(xué)中可以使用8維向量來表示8個國家的國民生產(chǎn)總值（GNP）。當(dāng)所有國家的順序排定之后，比如（中國，美國，英國，法國，德國，西班牙，印度，澳大利亞），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）顯示這些國家某一年各自的GNP。這里，每個國家的GNP都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個領(lǐng)域。一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。向量空間是在域上定義的，比如實數(shù)域或復(fù)數(shù)域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標(biāo)量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數(shù)表，稱為矩陣。對矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認為是線性代數(shù)的一部分高維問題研究是目前許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱點，也是代數(shù)表示論和非交換代數(shù)/幾何的一個重要方向。由于高維代數(shù)表示型是野的，其表示分類是不可能的。有限復(fù)雜度自入射代數(shù)是表示中高維問題研究的一類重要代數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)它具有馴化代數(shù)的一些特征。外代數(shù)及其上斜群代數(shù)不僅是有限復(fù)雜度自入射代數(shù)的典型例子，也有著非常深刻的背景和應(yīng)用，也是我們有限復(fù)雜度自入射代數(shù)的起點。我們提出了循環(huán)維數(shù)向量概念，建立了外代數(shù)Koszul模的循環(huán)濾的方法，推廣了遺傳代數(shù)表示的一些結(jié)果，并證明外代數(shù)的斜群代數(shù)以McKay箭圖為其箭圖。本年度的主要突破是對McKay箭圖的研究，我們將Cartan矩陣推廣到高維，建立了McKay箭圖與半正定而次型的聯(lián)系而推廣了Euclid圖的性質(zhì)?？坍嬃艘话阊h(huán)群和Abel群的McKay箭圖。。我們可以簡單地說數(shù)學(xué)中的線性問題——那些表現(xiàn)出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問題。在實踐中與非線性問題的差異是很重要的。線性代數(shù)方法是指使用線性觀點看待問題，并用線性代數(shù)的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數(shù)學(xué)與工程學(xué)中最主要的應(yīng)用之一。主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》）。

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位；在計算機廣泛應(yīng)用的今天，計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；。該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的；隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。線性代數(shù)的發(fā)展史講到線性代數(shù)的發(fā)展史必須提及代數(shù)的發(fā)展史一、代數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展歷史從代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史看，大體上分為三個時期。而在這三個時期中，人們將三個很不相同的東西都理解為代數(shù)學(xué)，也就是說這三個時期中說的代數(shù)學(xué)有很大差異。因此也就很難給“什么是代數(shù)學(xué)”下一個統(tǒng)一的定義。下面我們從三個不同時期的內(nèi)容來了解代數(shù)學(xué)，了解代數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展歷史。第一個時期這一時期大約從古代一直到十七世紀(jì)的樣子。在九世紀(jì)時，中亞地區(qū)（約783—850），他在公元820年寫了一本書，其阿拉伯書名為“ilmal-JabrwalMugabalah”。al-Jabr意為“整理”——即把負項移到方程另一邊變成正項；Mugabalah意為“對消”或“化簡”一一即指方程兩邊也可消去相同項或合并同類項。因此，該書若直譯應(yīng)為“整理與對消的科學(xué)”。在12世紀(jì)該書譯成拉丁文時書名為《Ludusalgebraeetalmugrabaeque》.后來簡稱為Algebra。這樣，Algebra作為代數(shù)學(xué)的名稱，從那時起在歐洲一些國家使用。在我國，最早把Algebra音譯為“阿爾熱巴拉”，到1859年清數(shù)學(xué)家李善蘭棣么根(A.deMorgan)的書《ElementsofAlgebra》才正式把Algebra定名為“代數(shù)學(xué)”，一直沿用至今。花拉子米的《代數(shù)學(xué)》內(nèi)容由三部分組成：①講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，其中有特殊的數(shù)學(xué)方程及解法，代數(shù)式的運算等；②討論各種實用算術(shù)問題；③列舉大量有關(guān)繼承遺產(chǎn)的應(yīng)用問題。《代數(shù)學(xué)》傳入歐洲后，對歐洲數(shù)學(xué)的代數(shù)產(chǎn)生了重大影響。應(yīng)該指出，公元一世紀(jì)編著而在公元263年又被我國數(shù)學(xué)家劉微的注譯《九章算術(shù)》中就已經(jīng)有一元二次方程，到七世紀(jì)，中國已能解三次、四次方程的正根，十一世紀(jì)能求數(shù)學(xué)系數(shù)高次方程的近似根，即秦九鞘方法。中國在代數(shù)學(xué)上的輝煌成就，可以說是當(dāng)時世界上最先進的代數(shù)學(xué)。在古代，為了解決某些數(shù)學(xué)問題而找到的定理和法則都是用語言把它寫下，因為那時字母表示法還沒有發(fā)明，后來漸漸意識到字母表示數(shù)的重大意義，即不僅用字母表示未知數(shù)，也用字母表示已知數(shù)和給定量。這樣一來，就使得代數(shù)學(xué)中一個定理和法則描述和表達極其明確和簡潔，這對于代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生重大影響，是數(shù)學(xué)史上一個劃時代的偉大事件。從此開始，人們把代數(shù)學(xué)實際看成是關(guān)于字母計算、關(guān)于由字母所構(gòu)成的公式的變換和代數(shù)方程的科學(xué)。它與算術(shù)的不同在于算術(shù)永遠是對具體數(shù)字的運算，僅僅從這以后，甚至很復(fù)雜的數(shù)學(xué)法都易于觀察和了解。在用字母代表數(shù)的變遷中作出貢獻的首推韋達，而笛卡爾對此也作了不少工作。這一時期代數(shù)學(xué)的另一特點是整個數(shù)學(xué)，無論是幾何學(xué)還是無窮小分析，都叫做代數(shù)學(xué)。這特別明顯表現(xiàn)在十七世紀(jì)歐拉所著的有名的《代數(shù)學(xué)引論》一書中，他當(dāng)時把代數(shù)學(xué)定義為各種量的計算的理論，他的書包含有：整數(shù)、分數(shù)、二、三次方根計算、對數(shù)、級數(shù)、多項式的計算、二項式定理及應(yīng)用、線性方程組理論、一二三四次方程解法以及整數(shù)不定方程解法等等。一般二次方程的求根公式最早出現(xiàn)在花拉子米的《代數(shù)學(xué)》一書中，這是花拉子米的最重要的貢獻。一直到十六世紀(jì)，三、四次方程的求根公式相繼被意大利數(shù)學(xué)家菲洛、塔爾塔里亞和費拉里(1522-1565)所找到。第二個時期在十八世紀(jì)和十九世紀(jì)初，代數(shù)學(xué)的問題之一，即代數(shù)方程的解法被認為是中心問題。因為在十六世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家在求得三、四次方程的一般解法后，人們就全國來求五次或五次以上一般方程的代數(shù)解法，當(dāng)時一些最偉大的數(shù)學(xué)家如卡丹、笛卡兒、牛頓、歐拉、達朗貝爾、拉各朗日、高斯、阿貝爾、伽羅華以及斯圖母等等，創(chuàng)造了與這個問題有關(guān)的大規(guī)模的復(fù)雜理論。如高斯在1799年證明了有名的代數(shù)學(xué)基本定理，笛卡兒特別是斯圖母于1835年給出了關(guān)于實根個數(shù)的判定法，等等，對代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生重要影響。但是，雖然經(jīng)過大多數(shù)數(shù)學(xué)家的頑強努力，而用根號解高于四次方程的問題仍懸而未決。當(dāng)1824年一個年青的有天才的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802-1829)的著作出版時，使當(dāng)時所以數(shù)學(xué)家都大為驚奇，他證明了如果方程的次數(shù)大于等于5,且系數(shù)看出字母，那么任何一個由這些系數(shù)組成的根式都不可能是該方程的根。原來一切國家的最偉大的數(shù)學(xué)家三個世紀(jì)以來用根號解五次或更高次的方程，之所以不能獲得成就，只因為這個問題根本就沒有解。但是，這并不是問題的全部，代數(shù)、方程理論的最關(guān)鍵之處仍留在面，阿貝爾只是證明了一般的五次或五次以上的方程不能用根號解，但并不排除特殊的方程可用根號解。于是關(guān)于用根號解方程的問題又在新的基礎(chǔ)上提出來了：一個方程究竟可用根號解的充分必要條件是什么？這個問題于1830年竟被一個不滿20歲的法國青年數(shù)學(xué)家伽羅華(Calios1811-1832)所徹底解決。他的工作是開創(chuàng)性的，他在方程解方面的卓越成就現(xiàn)在已發(fā)展成數(shù)學(xué)中一個新的分支一一群論，它廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中去。在十九世紀(jì)中葉，即歐拉的《代數(shù)學(xué)引論》出版一百年的時候，謝爾的兩卷《代數(shù)學(xué)》問世了，該書把代數(shù)定義為代數(shù)方程理論的科學(xué)，書中第一次序數(shù)了代數(shù)方程理論的頂峰一一伽羅華理論。在這一時期，作為與代數(shù)方程解法相關(guān)聯(lián)的行列式與矩陣的理論，二次型及線性變換等線性代數(shù)理論也發(fā)展起來了。第三個時期隨著數(shù)學(xué)特別是代數(shù)學(xué)的發(fā)展，使人們逐漸認識到，我們遇到的許多研究對象如多項式、矩陣和線性變換、函數(shù)以及力、向量等等，雖然它們都不是數(shù)，但也類似與數(shù)那樣遵循一定的運算規(guī)則進行運算。從這樣一個覺悟出發(fā)，于是近一百年特別是本世紀(jì)以來代數(shù)學(xué)的研究對象和研究方法發(fā)生了巨大變革。一系列新的代數(shù)領(lǐng)域被建立起來，大大地擴充了代數(shù)學(xué)的研究范圍，形成了所謂的近世代數(shù)學(xué)，它與以代數(shù)方程的根的計算與分布為研究中心的古典代數(shù)學(xué)有所不同，它是研究數(shù)字、文字和更一般元素代數(shù)運算的規(guī)律以及各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為其中問題的。由于代數(shù)運算貫穿在任何數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用問題里，也由于代數(shù)結(jié)構(gòu)及其中元素的一般性，近世代數(shù)學(xué)的研究在數(shù)學(xué)中是最具有基本性的，它的方法和結(jié)果滲透到那些與它相接近的各個不同的數(shù)學(xué)分支中，成為一些有著新面貌和新內(nèi)容的數(shù)學(xué)領(lǐng)域一一代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、拓撲代數(shù)、李氏代數(shù)、代數(shù)拓撲、泛函分析等，這樣，近世代數(shù)學(xué)就對于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展有著顯著的影響，并且對于其它一些科學(xué)領(lǐng)域如理論物理、計算機原理等也有較直接的應(yīng)用。歷史上，近世代數(shù)學(xué)可以說是從19世紀(jì)之初發(fā)生的，Galois應(yīng)用群的概念對于高次方程是否可以用根號解給出徹底回答，他可以說是近世代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人。從那時起，近世代數(shù)學(xué)由萌芽而成長發(fā)達，大概由十九世紀(jì)開始，群以及相聯(lián)系的不變量概念在幾何上、分析上以及理論物理上，都發(fā)生了重要影響。后來環(huán)、理想、域、線性空間代數(shù)、模以及同調(diào)代數(shù)等等，形成了代數(shù)學(xué)中的諸多重要分支。自1920年起，以Noether和Artin和他的學(xué)生們?yōu)橹行?，近世代?shù)學(xué)的發(fā)展極為燦爛。數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個主要分支學(xué)科的龐大的“共和國”。大體說來，數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個數(shù)學(xué)的本體與核心。在這一核心的周圍，由于數(shù)學(xué)通過數(shù)與形這兩個概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科。在此簡要介紹代數(shù)學(xué)的有關(guān)歷史發(fā)展情況?！按鷶?shù)”（algebra）一詞最初來源于公元9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾?花拉子米（al-Khowarizmi，約780—850）一本著作的名稱，書名的阿拉伯文是'ilmal-jabrwa’Imuqabalah，直譯應(yīng)為《還原與對消的科學(xué)》.al-jabr意為“還原”，這里指把負項移方程另一端“還原”為正項；muqabalah意即“對消”或“化簡”，指方程兩端可以消去相同的項或合并同類項.在翻譯中把“al-jabr”譯為拉丁文"aljebra”，拉丁文“aljebra”一詞后來被許多國家采用，英文譯作“algebra”。數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個主要分支學(xué)科的龐大的“共和國”。大體說來，數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范籌；溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分，屬于分析學(xué)的范圍。這三大類數(shù)學(xué)構(gòu)成了整個數(shù)學(xué)的本體與核心。在這一核心的周圍，由于數(shù)學(xué)通過數(shù)與形這兩個概念，與其它科學(xué)互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學(xué)科和交叉學(xué)科。在此簡要介紹代數(shù)學(xué)的有關(guān)歷史發(fā)展情況?！ù鷶?shù)"(algebra)一詞最初來源于公元9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿爾.花拉子米(al-Khowdrizmi，約780—850)一本著作的名稱，書名的阿拉伯文是‘ilmal-jabrwa’lmuqabalah，直譯應(yīng)為《還原與對消的科學(xué)》.al-jabr意為“還原”，這里指把負項移到方程另一端“還原”為正項；muqabalah意即“對消”或“化簡”，指方程兩端可以消去相同的項或合并同類項.在翻譯中把“al-jabr”譯為拉丁文"aljebra”，拉丁文"aljebra”一詞后來被許多國家采用，英文譯作“algebra”。了解了代數(shù)的發(fā)展史，那么線性代數(shù)的發(fā)展史就能銜接上了。二、線性代數(shù)的形成和發(fā)展歷史由于研究關(guān)聯(lián)著多個因素的量所引起的問題，則需要考察多元函數(shù)。如果所研究的關(guān)聯(lián)性是線性的，那么稱這個問題為線性問題。歷史上線性代數(shù)的第一個問題是關(guān)于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進一步發(fā)展。

矩陣和行列式行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1693年4月，萊布尼茨在寫給洛比達的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件。同時代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。稍后，數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezout,1730-1783)將確定行列式每一項符號的方法進行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解?？傊?，在很長一段時間內(nèi)，行列式只是作為解線性方程組的一種工具使用，并沒有人意識到它可以獨立于線性方程組之外，單獨形成一門理論加以研究。在行列式的發(fā)展史上，第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國數(shù)學(xué)家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父親的知道下學(xué)習(xí)音樂，但對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學(xué)院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一點來說，他是這門理論的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法。繼范德蒙之后，在行列式的理論方面，又一位做出突出貢獻的就是另一位法國大數(shù)學(xué)家柯西。1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；引進了行列式特征方程的術(shù)語；給出了相似行列式概念；改進了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個證明等。

19世紀(jì)的半個多世紀(jì)中，對行列式理論研究始終不渝的作者之一是詹姆士?西爾維斯特(J.Sylvester,1814-1894)。他是一個活潑、敏感、興奮、熱情，甚至容易激動的人，然而由于是猶太人的緣故，他受到劍橋大學(xué)的不平等對待。西爾維斯特用火一般的熱情介紹他的學(xué)術(shù)思想，他的重要成就之一是改進了從一個次和一個次的多項式中消去x的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時這兩個多項式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明。繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國數(shù)學(xué)家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)，他引進了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整個19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定理都相繼得到。矩陣矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具?！熬仃嚒边@個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個述語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。英國數(shù)學(xué)家凱萊(A.Cayley,1821-1895)一般被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個題目的一系列文章。凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首

先引進矩陣以簡化記號。1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根(特征值)以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。凱萊出生于一個古老而有才能的英國家庭，劍橋大學(xué)三一學(xué)院大學(xué)畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)，三年后他轉(zhuǎn)從律師職業(yè)，工作卓有成效，并利用業(yè)余時間研究數(shù)學(xué)，發(fā)表了大量的數(shù)學(xué)論文。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917)的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。1854年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問題。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引進了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的幕級數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開始的。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學(xué)分支一一矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域。線性方程組

線性方程組的解法，早在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)方程》章中己作了比較完整的論述。其中所述方法實質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，線性方程組的研究是在17世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。麥克勞林在18世紀(jì)上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克萊姆法則的結(jié)果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個法則。18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson)繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了個未知數(shù)個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計算數(shù)學(xué)中占有重要地位。二次型二次型也稱為“二次形式”，數(shù)域？上的？元二次齊次多項式稱為數(shù)域？上的？元二次型。二次型是我們線性代數(shù)教材的后繼內(nèi)容，為了我們后面的學(xué)習(xí)，這里對于二次型的發(fā)展歷史我們也作簡單介紹。二次型的系統(tǒng)研究是從18世紀(jì)開始的，它起源于對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀(jì)引進的。柯西在其著作中給出結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)型時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時并不太清楚，在化簡成標(biāo)準(zhǔn)型時，為何總是得到同樣數(shù)目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了個變數(shù)的二次型的慣性

定律，但沒有證明。這個定律后被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明。1801年，高斯在《算術(shù)研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術(shù)語。二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隱含地出現(xiàn)在歐拉的著作中，拉格朗日在其關(guān)于線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。而三個變數(shù)的二次型的特征值的實性則是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)建立的?？挛髟趧e人著作的基礎(chǔ)上，著手研究化簡變數(shù)的二次型問題，并證明了特征方程在直角坐標(biāo)系的任何變換下不變性。后來，他又證明了個變數(shù)的兩個二次型能用同一個線性變換同時化成平方和。1851年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明“不變因子組成兩個二次型的不變量的完全集”這一結(jié)論。1858年，魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，并證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，這個化簡也是可能的。魏爾斯特拉斯比較系統(tǒng)的完成了二次型的理論并將其推廣到雙線性型。從解方程到群論求根的問題是方程理論的一個中心課題。16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們解決了三、四次方程的求根公式，對于更高次方程的求根公式是否存在，成為當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們探討的又一個問題。這個問題花費了不少數(shù)學(xué)家們大量的時間和精力。經(jīng)歷了屢次失敗，但總是擺脫不了困境。到了18世紀(jì)下半葉，拉格朗日認真總結(jié)分析了前人失敗的經(jīng)驗，深入研究了高次方程的根與置換之間的關(guān)系，提出了預(yù)解式概念，并預(yù)見到預(yù)解式和各根在排列置換下的形式不變性有關(guān)。但他最終沒能解決高次方程問題。拉格朗日的弟子魯菲尼(Ruffini,1765-1862)也做了許多努力，但

都以失敗告終。高次方程的根式解的討論，在挪威杰出數(shù)學(xué)家阿貝爾那里取得了很大進展。阿貝爾(N.K.Abel,1802-1829)只活了27歲，他一生貧病交加，但卻留下了許多創(chuàng)造性工作。1824年，阿貝爾證明了次數(shù)大于四次的一般代數(shù)方程不可能有根式解。但問題仍沒有徹底解決，因為有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代數(shù)方程何時沒有根式解，是需要進一步解決的問題。這一問題由法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦全面透徹地給予解決。伽羅瓦(E.Galois,1811-1832)仔細研究了拉格朗日和阿貝爾的著作，建立了方程的根的“容許”置換，提出了置換群的概念，得到了代數(shù)方程用根式解的充分必要條件是置換群的自同構(gòu)群可解。從這種意義上，我們說伽羅瓦是群論的創(chuàng)立者。伽羅瓦出身于巴黎附近一個富裕的家庭，幼時受到良好的家庭教育，只可惜，這位天才的數(shù)學(xué)家英年早逝，1832年5月，由于政治和愛情的糾葛，在一次決斗中被打死，年僅21歲。置換群的概念和結(jié)論是最終產(chǎn)生抽象群的第一個主要來源。抽象群產(chǎn)生的第二個主要來源則是戴德金(R.Dedekind,1831-1916)和克羅內(nèi)克(L.Kronecker,1823-1891)的有限群及有限交換群的抽象定義以及凱萊(A.Kayley,1821-1895)關(guān)于有限抽象群的研究工作。另外，克萊因(F.Clein,1849-1925)和龐加萊(J-H.Poincare,1854-1912)給出了無限變換群和其他類型的無限群，19世紀(jì)70年代，李(M.S.Lie,1842-1899)開始研究連續(xù)變換群，并建立了連續(xù)群的一般理論，這些工作構(gòu)成抽象群論的第三個主要來源。1882-1883年，迪克(W.vondyck,1856-1934)的論文把上述三個主要來源的工作納入抽象群的概念之中，建立了(抽象)群的定義。到19世紀(jì)80年代，數(shù)學(xué)家們終于成功地概括出抽象群論的公理體系。20世紀(jì)80年代，群的概念已經(jīng)普遍地被認為是數(shù)學(xué)及其許多應(yīng)用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學(xué)、代數(shù)拓撲學(xué)、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學(xué)分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學(xué)科如拓撲群、李群、代數(shù)群等，它們還具有與群結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的其他結(jié)構(gòu)，如拓

撲、解析流形、代數(shù)簇等，并在結(jié)晶學(xué)、理論物理、量子化學(xué)以及編碼學(xué)、自動機理論等方面，都有重要作用。三、線性代數(shù)的應(yīng)用線性代數(shù)的應(yīng)用充斥著生活中的每一個角落。作為學(xué)生，線性代數(shù)的應(yīng)用對于不同的想法的人也有不同的作用，比如：你就是一個想拿到學(xué)位的畢業(yè)生，那么線性代數(shù)在學(xué)校的作用就僅限于你學(xué)好拿到學(xué)分就可以了。但對于你是一個想考研的學(xué)生來說，必須學(xué)好線代。因為它是必考的數(shù)學(xué)科目，也是研究生科目《矩陣論》、《泛函分析》的基礎(chǔ)。例如，泛函分析的起點就是無窮多個未知量的無窮多線性方程組理論。當(dāng)你走出校園，步入社會的時候，線性代數(shù)又將發(fā)揮不一樣的作用，如果你想找一個好工作，就必學(xué)要學(xué)好線性代數(shù)。例如：想搞電子工程，好，電路分析、線性信號系統(tǒng)分析、數(shù)字濾波器分析設(shè)計等需要線代，因為線代就是研究線性網(wǎng)絡(luò)的主要工具；進行IC集成電路設(shè)計時，對付數(shù)百萬個集體管的仿真軟件就需要依賴線性方程組的方法；想搞光電及射頻工程，好，電磁場、光波導(dǎo)分析都是向量場的分析，比如光調(diào)制器分析研制需要張量矩陣，手機信號處理等等也離不開矩陣運算。想搞軟件工程，好，3D游戲的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是以圖形的矩陣運算為基礎(chǔ)；當(dāng)然，如果你只想玩3D游戲可以不必掌握線代；想搞圖像處理，大量的圖像數(shù)據(jù)處理更離不開矩陣這個強大的工具，《阿凡達》中大量的后期電腦制作沒有線代的數(shù)學(xué)工具簡直難以想象。想搞經(jīng)濟研究。好，知道列昂惕夫(WassilyLeontief)嗎？哈佛大學(xué)教授，1949年用計算機計算出了由美國統(tǒng)計局的25萬條經(jīng)濟數(shù)據(jù)所組成的42個未知數(shù)的42個方程的方程組，他打開了研究經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的新時代的大門。這些模型通常都是線性的，也就是說，它們是用線性方程組來描述的，被稱為列昂惕夫“投入-產(chǎn)出”模型。列昂惕夫因此獲得了1973年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。相當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)，好，要會運籌學(xué)，運籌學(xué)的一個重要議題是線性規(guī)劃。許多重要的管理決策是在線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上做出的。線性規(guī)劃的知識就是線代的知識啊。比如，航空運輸業(yè)就使用線性規(guī)劃來調(diào)度航班，監(jiān)視飛行及機場的維護運作等；又如，你作為一個大商場的老板，線性規(guī)劃可以幫助你合理的安排各種商品的進貨，以達到最大利潤。對于其他工程領(lǐng)域，沒有用不上線代的地方。如搞建筑工程，那么奧運場館鳥巢的受力分析需要線代的工具；石油勘探，勘探設(shè)備獲得的大量數(shù)據(jù)所滿足的幾千個方程組需要你的線代知識來解決;飛行器設(shè)計，就要研究飛機表面的氣流的過程包含反復(fù)求解大型的線性方程組，在這個求解的過程中，有兩個矩陣運算的技巧：對稀疏矩陣進行分塊處理和進行LU分解；作餐飲業(yè)，對于構(gòu)造一份有營養(yǎng)的減肥食譜也需要解線性方程組；知道有限元方法嗎？這個工程分析中十分有效的有限元方法，其基礎(chǔ)就是求解線性方程組。知道馬爾科夫鏈嗎？這個“鏈子”神通廣大，在許多學(xué)科如生物學(xué)、商業(yè)、化學(xué)、工程學(xué)及物理學(xué)等領(lǐng)域中被用來做數(shù)學(xué)模型，實際上馬爾科夫鏈?zhǔn)怯梢粋€隨機變量矩陣所決定的一個概率向量序列，看看，矩陣、向量又出現(xiàn)了。另外，矩陣的特征值和特征向量可以用在研究物理、化學(xué)領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動力系統(tǒng)中，甚至數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家用以在預(yù)測原始森林遭到何種程度的砍伐會造成貓頭鷹的種群滅亡；大名鼎鼎的最小二乘算法廣泛應(yīng)用在各個工程領(lǐng)域里被用來把實驗中得到的大量測量數(shù)據(jù)來擬合到一個理想的直線或曲線上，最小二乘擬合算法實質(zhì)就是超定線性方程組的求解；二次型常常出現(xiàn)在線性代數(shù)在工程（標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計及優(yōu)化）和信號處理（輸出的噪聲功率）的應(yīng)用中，他們也常常出現(xiàn)在物理學(xué)（例如勢能和動能）、微分幾何（例如曲面的法曲率）、經(jīng)濟學(xué)（例如效用函數(shù)）和統(tǒng)計學(xué)（例如置信橢圓體）中，某些這類應(yīng)用實例的數(shù)學(xué)背景很容易轉(zhuǎn)化為對對稱矩陣的研究。線性代數(shù)中的某些具體部分在現(xiàn)實中的應(yīng)用：二次型的應(yīng)用應(yīng)該說是處于一個比較重要的地位，利用二次型可以把任何一個方陣JORDAN標(biāo)準(zhǔn)化，對研究矩陣非常有用!線性代數(shù)起源于對二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實數(shù)向量空間的第一個例子?，F(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴展到研究任意或無限維空間。一個維數(shù)為n的向量空間叫做n維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象n維空間中的向量，這樣的向量（即n元組）用來表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為n元組，向量是n個元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個領(lǐng)域。一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。向量空間是在域上定義的，比如實數(shù)域或復(fù)數(shù)域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標(biāo)量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數(shù)表，稱為矩陣。對矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認為是線性代數(shù)的一部分。我們可以簡單地說數(shù)學(xué)中的線性問題——那些表現(xiàn)出線性的問題一一是最容易被解決的。比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問題。在實踐中與非線性問題的差異是很重要的線性代數(shù)方法是指使用線性觀點看待問題，并用線性代數(shù)的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數(shù)學(xué)與工程學(xué)中最主要的應(yīng)用之一。矩陣的應(yīng)用矩陣圖法就是從多維問題的事件中，找出成對的因素，排列成矩陣圖，然后根據(jù)矩陣圖來分析問題，確定關(guān)鍵點的方法，它是一種通過多因素綜合思考，探索問題的好方法。在復(fù)雜的質(zhì)量問題中，往往存在許多成對的質(zhì)量因素.將這些成對因素找出來，分別排列成行和列，其交點就是其相互關(guān)聯(lián)的程度，在此基礎(chǔ)上再找出存在的問題及問題的形態(tài)，從而找到解決問題的思路。按照交點上行和列因素是否相關(guān)聯(lián)及其關(guān)聯(lián)程度的大小，可以探索問題的所在和問題的形態(tài)，也可以從中得到解決問題的啟示等。質(zhì)量管理中所使用的矩陣圖，其成對因素往往是要著重分析的質(zhì)量問題的兩個側(cè)面，如生產(chǎn)過程中出現(xiàn)了不合格品時，著重需要分析不合格的現(xiàn)象和不合格的原因之間的關(guān)系，為此，需要把所有缺陷形式和造成這些缺陷的原因都羅列出來，逐一分析具體現(xiàn)象與具體原因之間的關(guān)系，這些具體現(xiàn)象和具體原因分別構(gòu)成矩陣圖中的行元素和列元素。矩陣圖的最大優(yōu)點在于，尋找對應(yīng)元素的交點很方便，而且不遺漏，顯示對應(yīng)元素的關(guān)系也很清楚。矩陣圖法的用途矩陣圖法的用途十分廣泛.在質(zhì)量管理中.常用矩陣圖法解決以下問題：把系列產(chǎn)品的硬件功能和軟件功能相對應(yīng)，并要從中找出研制新產(chǎn)品或改進老產(chǎn)品的切入點；明確應(yīng)保證的產(chǎn)品質(zhì)量特性及其與管理機構(gòu)或保證部門的關(guān)系，使質(zhì)量保證體制更可靠；明確產(chǎn)品的質(zhì)量特性與試驗測定項目、試驗測定儀器之間的關(guān)系，力求強化質(zhì)量評價體制或使之提高效率；當(dāng)生產(chǎn)工序中存在多種不良現(xiàn)象，且它們具有若十個共同的原因時，希望搞清這些不良現(xiàn)象及其產(chǎn)生原因的相互關(guān)系，進而把這些不良現(xiàn)象一舉消除；在進行多變量分析、研究從何處入手以及以什么方式收集數(shù)據(jù)。矩陣圖法還具有以下幾個點：可用于分析成對的影響因素；因素之間的關(guān)系清晰明了，便于確定重點；便于與系統(tǒng)圖結(jié)合使用。二、矩陣圖法的用途矩陣圖法的用途十分廣泛.在質(zhì)量管理中.常用矩陣圖法解決以下問題：把系列產(chǎn)品的硬件功能和軟件功能相對應(yīng)，并要從中找出研制新產(chǎn)品或改進老產(chǎn)品的切入點；明確應(yīng)保證的產(chǎn)品質(zhì)量特性及其與管理機構(gòu)或保證部門的關(guān)系，使質(zhì)量保證體制更可靠；明確產(chǎn)品的質(zhì)量特性與試驗測定項目、試驗測定儀器之間的關(guān)系，力求強化質(zhì)量評價體制或使之提高效率；當(dāng)生產(chǎn)工序中存在多種不良現(xiàn)象，且它們具有若十個共同的原因時，希望搞清這些不良現(xiàn)象及其產(chǎn)生原因的相互關(guān)系，進而把這些不良現(xiàn)象一舉消除；在進行多變量分析、研究從何處入手以及以什么方式收集數(shù)據(jù)。以上為矩陣的一些應(yīng)用方面，可能矩陣的應(yīng)用方面不只是在這些地方，應(yīng)該在各個領(lǐng)域都會用到。下面僅以線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用做以介紹線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例1基因間“距離”的表示在ABO血型的人們中，對各種群體的基因的頻率進行了研究。如果我們把四種等位基因A1，A2,B，O區(qū)別開，有人報道了如下的相對頻率，見表1.1。表1.1基因的相對頻率愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國人f3i朝鮮人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合計1.0001.0001.0001.000問題一個群體與另一群體的接近程度如何？換句話說，就是要一個表示基因的“距離”的合宜的量度。解有人提出一種利用向量代數(shù)的方法。首先，我們用單位向量來表示每個群體。為此目的，我們?nèi)∶恳环N頻率的平方根，記%=寸f.由于對這四種群kiki體的每一種有尸fki=1，所以我們得到匕=1.這意味著下列四個向量的每個都i=1i=1是單位向量.記%11%21%31%41%12%22%32%42a=,a=,a=,a=1%132%233%334%43%14%24%34%44在四維空間中，這些向量的頂端都位于一個半徑為1的球面上.現(xiàn)在用兩個向量間的夾角來表示兩個對應(yīng)的群體間的“距離”似乎是合理的.如果我們把氣和a2之間的夾角記為。，那么由于1%1=1妃=1，再由內(nèi)只公式，得

cos0=a-a而0.53980.32160.00000.2943a=,ai0.177820.34640.82280.8307cos0=a-a=0.91870=23.2°按同樣的方式，我們可以得到表1.2.表1.2基因間的“距離”愛斯基摩人班圖人英國人愛斯基摩人0°23.2°愛斯基摩人班圖人英國人愛斯基摩人0°23.2°16.4°班圖人23.2°0°9.8°英國人16.4°9.8°0°朝鮮人16.8°20.4°19.6°朝鮮人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可見，最小的基因“距離”是班圖人和英國人之間的“距離”，而愛斯基摩人和班圖人之間的基因“距離”最大.Euler的四面體問題問題如何用四面體的六條棱長去表示它的體積？這個問題是由Euler(歐拉)提出的.CEJ1米條椎長已為的面體解建立如圖2.1所示坐標(biāo)系，設(shè)A，B，C三點的坐標(biāo)分別為(a,b,c),(a,b,c)111222和(a,b,c)，并設(shè)四面體O-ABC的六條棱長分別為l,m,n,p,q,r拉)提出的.CEJ1米條椎長已為的面體333

道，該四面體的體積V等于以向量函,OB,OC組成右手系時，以它們?yōu)槔獾钠叫辛骟w的體積咿*.而C一）一a1C一）一a1V=OAXOB，OC=abc11bc6222a3bc331于是得將上式平方，得ab6V=ab2ab3c2c3a2+a2+b2+c2111aa+bb+cc121212aa+bb+cc\o"CurrentDocument"131323aa+bb+cc\o"CurrentDocument"121212a22+b22+c22aa+bb+cc232323aa+bb+cc131313aa+bb+cc232323a32+b32+c32abcabc11111136V2=abc?abc222222abcabc333333+bb+cc,

1212OB-OB=+bb+cc,

1212OB-OB=a;+b2+c2

OC?OC=a2+b2+c2.OA?OAOA?OBOA-OC36V2=OA?OBOA?OCOB?OBOB?OCOB?OCOC?OC（2.1）根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有OA-OA=a2+b：+c2,OA-OB=OA-OC=aa+bb+cc,131313OB-OC=aa+bb+cc,于是由余弦定理，可行——p2+q2—n2OA?OB=p?q?cos9=pq同理—-—p2+r2—m2——q2+r2—12OA?OC=p,OB?OC=q將以上各式代入(2.1)式，得36V2=這就是Euler的四面體體例一塊形狀為四面體的p2+q2-n2p2+r2-m2.(2.2)p222p2+q2-n2p2+r2-12p222p2+r2-m2p2+r2-12r222積公式.J花崗巖巨石，量得六條棱長分別為Z=10m,m=15m,〃=12m,p=14m,q=13m,r=11m.則p2+q2-n2p2+r2-m2_p2+r2-12_.,,.222代入(2.1)式，得196110.54636V2=110.516995=1369829.754695121于是V2牝38050.82639牝(195m3)2.即花崗巖巨石的體積約為195m3.古埃及的金字塔形狀為四面體，因而可通過測量其六條棱長去計算金字塔的體積.3動物數(shù)量的按年齡段預(yù)測問題問題某農(nóng)場飼養(yǎng)的某種動物所能達到的最大年齡為15歲，將其分成三個年齡組：第一組，0?5歲；第二組，6?10歲；第三組，11?15歲.動物從第二年齡組起開始繁殖后代，經(jīng)過長期統(tǒng)計，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3.第一年齡和第二年齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為2和4.假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各100頭，問15年后農(nóng)場三個年齡段的動物

各有多少頭?問題分析與建模因年齡分組為5歲一段，故將時間周期也取為5年.15年后就經(jīng)過了3個時間周期.設(shè)x(k)表示第k個時間周期的第i組年齡階段動物的數(shù)量(k=1，2，3；i=1，2，3).因為某一時間周期第二年齡組和第三年齡組動物的數(shù)量是由上一時間周期上一年齡組存活下來動物的數(shù)量，所以有X2k)=—X(k-1),X；k)=—X2k-1)(k=1,2,3).又因為某一時間周期，第一年齡組動物的數(shù)量是由于一時間周期各年齡組出生的動物的數(shù)量，所以有x(k)=4x—k-1)+3%3k-1)(k=1,2,3).于是我們得到遞推關(guān)系式：X(k)=4X(k-1)+3xk-1,TOC\o"1-5"\h\z13〈Xk=—X(k-1),211X(k)=_X(k-1).342用矩陣表示X(X(k)1043X(k-1)1X(k)=—00X(k-1)222X(k)1X(k-1)L3」0034(k=1,2,3).x(k)=Lx(k-1)(k=1,2,3).其中012012043001000x(0)=10001000則有X(k)1X(則有X(k)1X(k)

2X(k)3(k=1,2,3),x(1)=Lx(0)=X(2)=Lx(1)=X(3)=Lx(2)=431—___—1000「7000」001000=500,1401000-25043「7000「「2750」00500=3500,140_25012543「2750」「14375」003500=1375101258754結(jié)果分析15年后，農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)將達到16625頭，其中0?5歲的有14375頭，占86.47%,6?10歲的有1375頭，占8.27%,11?15歲的有875頭，占5.226%.15年間，動物總增長16625-3000=13625頭，總增長率為13625/3000=454.16%.注要知道很多年以后的情況，可通過研究式x(k)=Lx(k-1)=Lkx(0)中當(dāng)趨于無窮大時的極限狀況得到.關(guān)于年齡分布的人口預(yù)測模型我們將人口按相同的年限(比如5年)分成若干年齡組，同時假設(shè)各年齡段的田、女人口分布相同，這樣就可以通過只考慮女性人口來簡化模型.人口發(fā)展隨時間變化，一個時間周期的幅度使之對應(yīng)于基本年齡組間距(如先例的5年)，令x(k)是在時間周期k時第i個年齡組的(女性)人口，i=1,2,…,n.用1表示最低年齡組，用n表示最高年齡組，這意味著不考慮更大年齡組人口的變化.假如排除死亡的情形，那么在一個周期內(nèi)第i個年齡組的成員將全部轉(zhuǎn)移到i+1個年齡組.但是，實際上必須考慮到死亡率，因此這一轉(zhuǎn)移過程可由一存活系數(shù)所衰減.于是，這一轉(zhuǎn)移過程可由下述議程簡單地描述：x（k）=bx（kt）（i=1,2,…,n-1）,其中b是在第i個年齡組在一個周期的存活率，因子b可由統(tǒng)計資料確定.惟一不能由上述議程確定的年齡組是x（k）,其中的成員是在后面的周期內(nèi)出生的，他們1是后面的周期內(nèi)成員的后代，因此這個年齡組的成員取決于后面的周期內(nèi)各組的出生率及其人數(shù).于是有方程x（k）=ax（k-i）+axk-1hfax（k-i）,（3.1）這里a〔（i=1,2,…,n）是第i個年齡組的出生率，它是由每時間周期內(nèi)，第i個年齡組的每一個成員的女性后代的人數(shù)來表示的，通?？捎山y(tǒng)計資料來確定.于是我們得到了單性別分組的人口模型，用矩陣表示便是x(k)aaa…aax(k-1)1123n-1n1x(k)b00…00x(k-1)212x(k)=0b0…00x(k-1),3-.?.?2?.??.??.?:?3?:?x(k)x(K)000…b0x(k-1)x(k1)n*—n-1n或者簡寫成x（k）=Lx（k-1）.（3.2）矩陣「aaa…aa123n-1nb00…001L0b0…002???:::::000…b0n-1—1稱為Leslie矩陣.由（3.2）式遞推可得x(k)=Lx(k-1)=Lkx(0)這就是Leslie模型.4企業(yè)投入產(chǎn)生分析模型問題某地區(qū)有三個重要產(chǎn)業(yè)，一個煤礦、一個發(fā)電廠和一條地方鐵路.開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費.生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費.創(chuàng)收一元錢的運輸費，鐵路要支付0.55元的煤費及0.10元的電費.在某一周內(nèi)，煤礦接到外地金額為50000元的定貨，發(fā)電廠接到外地金額為25000元的定貨，外界對地方鐵路沒有需求.問三個企業(yè)在這一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界的需求?數(shù)學(xué)模型設(shè)呵為煤礦本周內(nèi)的總產(chǎn)值，％為電廠本周的總產(chǎn)值，尤3為鐵路本周內(nèi)的總產(chǎn)值，則TOC\o"1-5"\h\zx-(0xx+0.65x+0.55尤)=50000,1123{x-(0.25x+0.05x+0.10x)=25000,(4.1)2123x-(0.25x+0.05x+0xx)=0,、3123「x]1x-2x300.25「x]1x-2x300.250.250.650.050.05「x]「50000-1x=250002x300.550.100x1「00.650.55-「50000-X=x2,A=0.250.050.10,Y=25000_x3_0.250.050__0_矩陣A稱為直接消耗矩陣，X稱為產(chǎn)出向量，Y稱為需求向量，則方程組（4.1）X-AX=Y,艮口（E-A）X=Y，（4.2）其中矩陣E為單位矩陣，（E-A）稱為列昂杰夫矩陣，列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣.投入產(chǎn)出分析表設(shè)B=(投入產(chǎn)出分析表設(shè)B=(E-A)-1-E,C=A00x204?0x31，1)C.矩陣B稱為完全消耗矩陣，它與矩陣A一起在各個部門之間的投入產(chǎn)生中起平衡作用.矩陣C可以稱為投入產(chǎn)出矩陣，它的元素表示煤礦、電廠、鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系.向量D稱為總投入向量，它的元素是矩陣C的對應(yīng)列元素之和，分別表示煤礦、電廠、鐵路得到的總投入.由矩陣C，向量Y，X和D，可得投入產(chǎn)出分析表4.1.表4.1投入產(chǎn)出分析表單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦cccyX11121311電廠cccyX21222322鐵路cccyX31323333總投入ddd123計算求解按（4.2）式解方程組可得產(chǎn)出向量X，于是可計算矩陣C和向量D，計算結(jié)果如表4.2.表4.2投入產(chǎn)出計算結(jié)果單位：元煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦036505.9615581.5150000102087.48電廠25521.872808.152833.002500056163.02鐵路25521.872808.150028330.02總投入51043.7442122.2718414.525交通流量的計算模型問題圖5.1給出了某城市部分單行街道的交通流量（每小時過車數(shù)）.留5-1SOO留5-1SOO假設(shè)：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量；（2）全部流入一個節(jié)點的流量等于全部流出此節(jié)點的流量.試建立數(shù)學(xué)模型確定該交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量.建模與計算由網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè)，所給問題滿足如下線方程組：x-x+x=300,尤+x=500,x；-x：=200,X+x=800,x'+x2=800,<x+x=1000,7x9=400,x10一丁200,xi0=6。。，x+x+x=1000.系數(shù)矩陣為「01-11000000-000110000000000-110001100000000A=10001000000000001100000000001000000000-1100000000010010010100增廣矩陣階梯形最簡形式為「1000100000800-0100-100000000100000002000001100000500B=000001010080000000011001000000000001040000000000016000000000000000000000000其對應(yīng)的齊次方程組為x+x=0,15x-x=0,25x=0,3x+x=0,45x+x=0,68x+x=0,78x=0,9x=0.10?。ㄓ?,尤8）為自由取值未知量，分別賦兩組值為（1,0）,（0,1），得齊次方程組基礎(chǔ)解系中兩個解向量門廣（-1,1,0,一1,1,0,0,0,0,0,）,q頊0,0,0,0,-1,-1,1,0,0）,其對應(yīng)的非齊次方程組為'x+x=800,尤-x=0,25X3=200，x+x=500,<x+x=800,x+x=1000,7i=400,^x10=600.賦值給自由未知量（x5,x8）為（0,0）得非齊次方程組的特解X*二（800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600）.于是方程組的通解x=kn+kn+x*,其中k，站為任意常數(shù)，x的每一個分量即為交112212通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量，它有無窮多解.6小行星的軌道模型問題一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離：1.4959787X1011m）.在5個不同的時間對小行星作了5次觀察，測得軌道上5個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表6.1.表6.1坐標(biāo)數(shù)據(jù)X1X2X3X4X5X坐標(biāo)5.764y16.286y26.759y37.168y47.408y5Y坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（開普勒）第一定律知，小行星軌道為一橢圓.現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供研究（注：橢圓的一般方程可表示為aX2+2ax^y+ay2+2aX+2ay+1=0.12345問題分析與建立模型天文學(xué)家確定小行星運動的軌道時，他的依據(jù)是軌道上五個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)：（X],y1）,（X2,y2）,（X3,y3）,（x4,y4）,（x5,y5）.由Kepler第一定律知，小行星軌道為一橢圓.而橢圓屬于二次曲線，二次曲線的一般方程為aX2+2axy+ay2+2aX+2ay+1=0.為了確定方程中的五個待定TOC\o"1-5"\h\z12345系數(shù)，將五個點的坐標(biāo)分別代入上面的方程，得ax2+2axy+ay2+2ax+2ay=-1,11211314151ax2+2axy+ay2+2ax+2ay=-1,12222324252<ax2+2axy+ay2+2ax+2ay=-1x2+2axy+ay2+2ax+2ay=-1x2+2axy+ay2+2ax+2ay=-1.是一個包含五個未知數(shù)的線性方程組，寫成矩陣X2X22Xy111X22Xy222X22Xy333X22Xy444X22Xy555y212X12y1「a]1「-1y222X22，2a2-1y232X32y3a3=—1y242X42y4a4-1y252X52y5a5—1求解這一線性方程組，所得的是一個二次曲線方程.為了知道小行星軌道的一些參數(shù)，還必須將二次曲線方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式:X2Y21——+=1a2b2由于太陽的位置是小行星軌道的一個焦點，這時可以根據(jù)橢圓的長半軸a和短半軸b計算出小行星的近日點和遠日點距離,以及橢圓周長"根據(jù)二次曲線理論,可得橢圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下：=0.所以，橢圓長半軸:a=;橢圓短半軸:b=品"橢圓半焦矩:c=x所以，橢圓長半軸:a=;橢圓短半軸:b=品"橢圓半焦33.22377.47010.419911.5281.29239.513815.11151.444812.57202.404045.684124.64333.323313.51803.646051.380236.21276.380714.33605.052055.950450.265611.289614.96006.7200計算求解首先由五個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)形成線性方程組的系數(shù)矩陣A=使用計算機可求得(a,a,a,a,a)=(0.6143,—0.3440,0.6942,—1.6351,—0.2165).12345從而aa'0.6143—0.3440、12=a1-2a3」廠0.34400.6942/C=|C|=0.3081,C的特征值%=0.3080,氣=1.0005.

a1a2a3-0.6143—0.3440