固體物理導論部分思考題1

固體物理問題一MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h1如何理解什么是晶體結(jié)構(gòu)。1理想晶體：Anidealcrystalisconstructedbytheinfiniterepetitionofidenticalstructuralunitsinspace.本質(zhì)在于長程有序。2晶體結(jié)構(gòu)（Crystalstructure）=lattice+basis1)點陣（lattice）：aregularperiodicarrayofpointsinspace.選取不唯一，不同的基元可能對應(yīng)不同的點陣。2)基元（basis）：thegroupofatoms。選取不唯一，體積最小和原子數(shù)最小的基元是原胞（初基基元），對應(yīng)著初基晶軸，這兩個是唯一的。3)基矢（Primitivetranslationvectors）：，，（晶軸），晶軸選取不唯一，初基晶軸選取也不唯一；初基平移矢量對應(yīng)于初基基元，因此初基基元形狀不唯一。晶格平移矢量（Latticetranslationvector）： where，andareintegers.基元中第j原子的相對位置（Thecenterpositionofanatomjinsidethebasis）： where3原胞（Primitivelatticecell）：形狀不唯一。1）Primitivelatticecellistheminimumvolumecellinthelattice。最小體積為 其中，，稱為初基晶軸。2）Thereisalwaysonelatticepointperprimitivelatticecell。同原胞中一個格點相聯(lián)系的基元稱為初基基元，初基基元是包含原子數(shù)目最少的基元。注意是一個格點，而不是一個原子。3）維格納-賽茲原胞（Wigner-Seitzcell）原則上是所有的點，但通常近鄰的點即可，由近到遠。在倒異空間的維賽原胞就是布里淵區(qū)。4）慣用晶胞（Theconventionalcell）canbesameorsometimesbiggerthantheprimitivecell。2晶格有哪些基本類型。立方晶格及簡單晶體結(jié)構(gòu)的基本特點。晶格平移矢量具有任意性，因此給出的一般性晶格通常都稱為斜方晶格；布拉維晶格（Bravaislattice）是對某種具體晶格類型的通稱。對稱性使然。1二維晶格：五種不同的類型正方晶格，長方晶格，六角晶格，有心長方晶格（不是原胞），一般的斜方晶格。2三維晶格：七大晶系十四種晶格類型一般的晶格類型為三斜晶格。七大晶系（慣用晶胞）：立方（3），四角（2），正交（4）；三角（1），六角（1）；單斜（2），三斜（1）（二斜和三斜的對稱性一樣）。3立方晶格：簡單立方（sc），體心立方（bcc），面心立方（fcc）1）三個最近鄰點作初基晶軸（這只適合于立方晶格）。2）最近鄰數(shù)和堆積比率正相關(guān)。3）體心立方晶格的原胞是109°28’的菱面體；面心立方的是60°菱面體。（三角晶格）4簡單晶體結(jié)構(gòu)1）密堆結(jié)構(gòu)（Close-packedstructures）六角密堆結(jié)構(gòu)（hcp）：ABAB…面心立方結(jié)構(gòu)（fcc）：ABCABC…二者最近鄰數(shù)都是12，堆積率一樣（0.74）；并且結(jié)合能（自由能）僅取決于每個原子的最近鄰鍵的數(shù)目，因此兩種結(jié)構(gòu)在能量上沒有差別。hcp原胞有2個原子，fcc原胞不是3個原子，而是一個原子！fcc沿著體對角線方向進行堆積。2）金剛石結(jié)構(gòu)（Diamondstructure）圖中分數(shù)值表示以立方體邊長為單位，其原子處在一個fcc格子上；在1/4和3/4處的點是處在另一個相似的格子上（兩套fcc，體對角線方向平移1/4）。如果看作單個的fcc晶格，基元是由位于（000）和（1/4,1/4,1/4）的兩個全同原子組成（原胞中應(yīng)該是相鄰的原子，滿足GOTOBUTTONZEqnNum718732REFZEqnNum718732\*Charformat\!(2)式）。每個原子有4個最近鄰，因此堆積率很低，只有0.34；碳、硅、鍺，錫都能結(jié)晶為金剛石型結(jié)構(gòu)。3）氯化納型結(jié)構(gòu)（NaCl）面心立方，基元由一個Na+和一個Cl-組成，間距為一個單位立方體體對角線的一半，每個原子有6個異類原子作為最近鄰。（一個大一個小，填充）。問題是面心立方的基元怎么會兩個原子？這也是兩個面心立方合在一起的結(jié)果，距離長才構(gòu)成離子晶體。4）氯化銫型結(jié)構(gòu)（CsCl）（典型的離子晶體）簡單立方，基元由一個Cs+和一個Cl-組成，每個原子有8個異類原子作為最近鄰。5）立方硫化鋅型結(jié)構(gòu)（ZnS）（介于離子鍵和共價鍵之間）面心立方，類似于金剛石結(jié)構(gòu)，錯開于立方體體對角線的1/4，不同的是不存在一個反演對稱操作中心。6）立方鋇鈦礦結(jié)構(gòu)（BaTiO3）:Ba在頂點，Ti在體心，O在面心。3如何確定晶面指數(shù)。1求晶面指數(shù)Step1:findtheintercepts,h’,k’andl’,ontheaxesinthetermsoflatticeconstantsa1,a2,a3.Step2:takethereciprocalsofthesenumbersandmultiplythesameratiotohavethreeintegers,usuallythesmallestthreeintegers,h,k,andl,enclosedthemintobrackets(hkl).（反過來時則只需要求倒數(shù)，因為晶面是一系列可通過晶格平移矢量移動的平面，只有不可以移動時才是不等價的，例如（200）與（100））2具體情況Case1:all?h’?,?k’?and?l’?>1multiplyanumberto1/h’,1/k’and1/l’tohavethesmallestthreeintegers.Case2:any?h’?,?k’?and?l’?<1multiplyanumberto1/h’,1/k’and1/l’tohavethreeintegers.E.g.(200)plane,(222)plane.Case3:anyh’,k’andl’isinfinitythecorrespondingindexiszero.Case4:anyh’,k’andl’=0takeanotheroriginpoint,repeatstep1.3注意Theindices(hkl)maydenoteasingleplaneorasetofparallelplanes.negativeindex：Duetothesymmetry,theplaneswithdifferentindicesmightbeequivalentinsidethecrystal.Allcanbedenotedas{100}Thedistancebetweentwoadjacentplanedenotedas(hkl),d,isre1latedtotheindicesh,k,andl.Thebiggerh,kandl,thesmallerd.4擴展Howtoindexadirection:Theindices[uvw]ofadirectioninacrystalarethesetofthesmallestintegersthathavetheratioofthecomponentsofavectorinthedesireddirection,referredtotheaxes.Incubicsystem,the[hkl]directionisperpendiculartothe(hkl)planes.4證明Bragg定律。如何理解晶體衍射條件和Laue方程與Bragg定律的關(guān)系。1布拉格定律為 證明如下圖所示，當行程差是波長的整數(shù)倍時，來自相繼平面的輻射就發(fā)生相長干涉。條件：elasticscattering（彈性散射）periodiclattice（周期性的晶體結(jié)構(gòu)）波長局限性：doesnotrefertowhatkindoflatticeandbasis,becausenoinformationoftheintensity.（具體的點陣與峰的排列有關(guān)，原胞與結(jié)構(gòu)因子有關(guān)，而結(jié)構(gòu)因子與峰強度有關(guān)；這里沒有涉及到峰的信息，即峰的排列和強度，因此不能確定具體的點陣和基元）2衍射條件定理：一組倒格矢G決定了可能存在的X射線反射。由散射振幅最大時即為產(chǎn)生衍射，因此可推導衍射條件為 其中。在彈性散射時，。由此結(jié)合GOTOBUTTONZEqnNum929244REFZEqnNum929244\*Charformat\!(5)式，可推導彈性散射的衍射條件為 可證明，結(jié)合GOTOBUTTONZEqnNum190987REFZEqnNum190987\*Charformat\!(6)式和晶面指數(shù)的定義，即可推導出布拉格定律。3Laue方程由一般的衍射條件GOTOBUTTONZEqnNum929244REFZEqnNum929244\*Charformat\!(5)式，結(jié)合初基基矢和倒格矢的關(guān)系，可推導勞厄方程 4晶格衍射條件和Laue方程與Bragg定律的關(guān)系衍射條件與Laue方程是等價的，當為彈性散射時，則是Bragg定律。5如何理解什么是倒格子。立方晶格和六角密堆結(jié)構(gòu)的倒格子。1倒格子在計算電子數(shù)密度n時，我們利用n(r)的周期性，進行了傅里葉變換，由此在k空間下研究晶體，稱之為倒易空間。值得注意的是，電子數(shù)密度n是我們研究的出發(fā)點。定義倒格子的軸矢量為 其中。倒格矢為 性質(zhì)：1）2）3）倒格矢垂直晶面，兩個平行的晶面的距離為。注意這里不局限于立方晶格。4）倒易空間的原胞體積為2立方晶格和六角密堆結(jié)構(gòu)的倒格子1）sc晶格2）體心立方晶格3）面心立方晶格4）六角密堆結(jié)構(gòu)6什么是布里淵區(qū)，如何理解布里淵區(qū)和衍射條件的關(guān)系。1布里淵區(qū)布里淵區(qū)定義為倒格子空間中的維格納-賽茨原胞。2第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)為倒格子的中央晶胞（我們把倒易空間成為倒格子空間，倒格子）。作由原點出發(fā)的諸倒格矢的垂直平分面，由這些垂直平分面所圍成的完全封閉的最小體積就是第一布里淵區(qū)（通常只需做最近鄰的幾個點）。3布里淵區(qū)和衍射條件的關(guān)系布里淵區(qū)邊界包括了所有能在晶體上發(fā)生布拉格反射的波的波矢。這和定理“一組倒格矢G決定了可能存在的X射線反射”是一致的。由彈性散射的衍射條件GOTOBUTTONZEqnNum190987REFZEqnNum190987\*Charformat\!(6)得 從原點出發(fā)，布里淵區(qū)邊界總是垂直方向，并且距離原點的距離是，因此滿足的波矢都在布里淵區(qū)邊界處（注意不一定是第一布里淵區(qū)邊界）。7什么是晶格的結(jié)構(gòu)因子。體心立方、面心立方、金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子。1晶體的結(jié)構(gòu)因子對于一個含有N個晶胞晶體，把衍射條件GOTOBUTTONZEqnNum929244REFZEqnNum929244\*Charformat\!(5)式代入散射振幅表達式，散射振幅可寫成 其中就是結(jié)構(gòu)因子，它的對象是晶胞。對電子數(shù)密度展開，并定義原子的形式因子（對象是原子），可得結(jié)構(gòu)因子的具體表達式為 其中j是一個晶胞里的第j個原子（注意不一定的原胞，更多的是慣用晶胞）。2體心立方、面心立方、金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子1）體心立方結(jié)構(gòu)慣用晶胞中含有兩個全同原子，分別處于。 2）面心立方結(jié)構(gòu)慣用晶胞中含有四個全同原子，處于。 3）金剛石結(jié)構(gòu)慣用晶胞中含有八個全同原子，處于、。 （用排列組合法）8什么是晶體的內(nèi)聚能、晶格能。哪些宏觀物理量可以定性表征內(nèi)聚能的大小。固體的內(nèi)聚力應(yīng)全部歸因于電子的負電荷與原子核的正電荷之間的靜電吸引相互作用。磁力對內(nèi)聚力影響微弱，萬有引力可以忽略，而強弱相互作用是短程力，只作用于原子核內(nèi)。由于最外層電子分布和離子實排列上的不同，將引起凝聚物質(zhì)實際存在形式之間的差別。1Thecohesiveenergy（內(nèi)聚能）:theenergythatmustbeaddedtothecrystaltoseparateitscomponentsintoneutralfreeatomsatrest,atinfiniteseparation,withthesameelectronicconfiguration.2Thelatticeenergy（晶格能）(forioniccrystals):theenergythatmustbeaddedtothecrystaltoseparateitscomponentionsintofreeionsatrestatinfiniteseparation.3定性地表征內(nèi)聚能大小的宏觀物理量Generally,thehigherthemeltingtemperature,thebiggerthecohesiveenergy,andalsothebiggerbulkmodulus(體彈性模量).9范德瓦耳斯力的本質(zhì)是什么。如何理解Lennard-Jones勢。1范德華爾斯力范德華爾斯力的本質(zhì)是感生偶極子-偶極子相互作用，并且是一個吸引的相互作用。建立一個相應(yīng)的簡單模型（一個諧振子內(nèi)部只有諧勢項，沒有電荷間的庫倫勢）。 其中。兩諧振子之間的庫侖相互作用能（類電偶極矩相互作用項） 通過正則變換（對角化處理），并對得到的兩個獨立頻率進行泰勒展開，即可比較諧振子結(jié)合前和結(jié)合后的零點能量，計算為 由此可見是一個吸引相互作用，系統(tǒng)的零點能量將由于偶極子-偶極子的耦合而降低。以原零點能為能量的零點，即可得到該相互作用勢為GOTOBUTTONZEqnNum462930REFZEqnNum462930\*Charformat\!(18)。1）當時，，從這一意義上講，范德華爾斯相互作用是一種量子效應(yīng)。（考慮量子修正，存在量子動能，其中原子愈重，量子修正愈小）2）范德華爾斯相互作用的存在不依賴于兩個原子的電荷密度的任何交疊。2排斥相互作用當兩個原子相互靠近時，它們的電荷分布將逐漸發(fā)生交疊，從而引起系統(tǒng)的靜電能發(fā)生變化。在兩原子距離足夠近時，交疊能是排斥性的，其中大部分貢獻來自泡利不相容原理。常用的排斥相互作用的經(jīng)驗勢有冪次方形式和指數(shù)形式的，即。3Lennard-Jones勢Lennard-Jones勢包括吸引部分和排斥部分，為 后面的形式更有物理意義，因為是特征量。當晶體處于平衡狀態(tài)時，晶格常數(shù)為，即此時倫納德勢（內(nèi)聚能）最小，導數(shù)為零。10Madelung能和共價鍵的本質(zhì)是什么。1Madelung能離子晶體的結(jié)合能主要來源于靜電能的貢獻，這一靜電能被稱為馬德隆能。因此，馬德隆能的本質(zhì)是靜電能。即帶電荷為的離子之間存在著長程相互作用，它包括帶異號電荷離子的靜電吸引相互作用和帶同號電荷離子之間的靜電排斥作用。在離子晶體中，忽略范德華爾斯相互作用（倫納德勢的吸引部分），但仍然存在由于電子密度分布交疊引起的排斥勢（只要由電子密度交疊，泡利不相容原理就產(chǎn)生排斥勢，在離子晶體里電荷密度大致呈球?qū)ΨQ分布），為短程的相互作用，用指數(shù)形式表示，即。因此，結(jié)合馬德隆能和排斥勢，只計及最近鄰間的排斥相互作用，對于N個分子（2N個離子），晶格能為 其中z是任一離子的最近鄰數(shù)，并且定義馬德隆常數(shù) 在達到平衡位置時，，由此可得到有關(guān)平衡間距的表達式，代回GOTOBUTTONZEqnNum321175REFZEqnNum321175\*Charformat\!(20)式 2共價鍵共價鍵是指兩個或多個原子共同使用它們的外層電子，在理想情況下達到電子飽和的狀態(tài)，由此組成比較穩(wěn)定的晶體結(jié)構(gòu)。其本質(zhì)是電子密度交疊后，高概率地出現(xiàn)在兩個原子核之間的電子與兩個原子核之間的靜電作用。1）飽和性：每個原子形成的共價鍵總數(shù)是一定的。2）strongdirectionalproperties3）spinsoftheelectroninthebondareantiparallel.共價鍵以反平行自旋電子的電荷分布相互重疊為特征。在自旋反平行下，泡利原理貢獻在排斥作用中的分量減少，這使得更大程度的交疊成為可能。這是令人驚訝的事，因為在離子鍵中電荷密度交疊導致了很大的排斥能，在共價鍵中盡管泡利原理仍然使排斥能存在，但重疊電荷使得吸引力比排斥大。也就是說，在共價鍵中，無論是吸引能還是排斥能，都是由電荷密度交疊引起。如果要算內(nèi)聚能，還