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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()A. B. C. D.3.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.4.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.5.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.7.如圖,在中,,是上一點,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),對任意的,,當(dāng)時,,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對稱軸是 D.函數(shù)的一個對稱中心是9.設(shè)直線過點,且與圓:相切于點,那么()A. B.3 C. D.110.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.11.一物體作變速直線運動,其曲線如圖所示,則該物體在間的運動路程為()m.A.1 B. C. D.212.已知是圓心為坐標(biāo)原點,半徑為1的圓上的任意一點,將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)滿約束條件,則的最大值為___________.14.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a215.已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列,若,,則______.16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓及點,設(shè)點是圓上的動點,在中,若的角平分線與相交于點,則的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對邊分別為.已知,且.(1)求的值;(2)若的面積是,求的周長.18.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(1)求橢圓C的方程;(2)過點(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上,求直線l的方程.19.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.20.(12分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.21.(12分)已知,函數(shù),(是自然對數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)討論函數(shù)極值點的個數(shù);(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
試題分析:由題意可得:.共軛復(fù)數(shù)為,故選A.考點:1.復(fù)數(shù)的除法運算;2.以及復(fù)平面上的點與復(fù)數(shù)的關(guān)系2.B【解析】
設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,利用,可得,進(jìn)一步得到側(cè)面積,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,則,在中,,化為,,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時.故選:B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題,涉及到基本不等式求最值,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.3.C【解析】
先求出五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個,則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.4.D【解析】
利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.5.A【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡,求得對應(yīng)的坐標(biāo),由此判斷對應(yīng)點所在象限.【詳解】,對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算,考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.7.C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡,然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對于A,,故A錯誤;對于B,由,解得,故B錯誤;對于C,當(dāng)時,,故C錯誤;對于D,由,故D正確.故選:D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
過點的直線與圓:相切于點,可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點的直線與圓:相切于點,∴;∴;故選:B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】
選B.考點:圓心坐標(biāo)11.C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運動路程可用定積分表示,計算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運動的路程公式,可得.所以物體在間的運動路程是.故選:C【點睛】本題考查了定積分的實際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.12.C【解析】
設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時,取得等號.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.8【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距,由圖可知當(dāng)經(jīng)過點時截距最大,故的最大值為8.故答案為:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.14.-2【解析】試題分析:∵a2考點:等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式15.【解析】
,建立方程組,且,求出,進(jìn)而求出的公比,即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列,,,解得,所以的公比為,.
故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由角平分線成比例定理推理可得,進(jìn)而設(shè)點表示向量構(gòu)建方程組表示點P坐標(biāo),代入圓C方程即可表示動點Q的軌跡方程,再由將所求視為該圓上的點與原點間的距離,所以其最值為圓心到原點的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形,因為AQ是的角平分線,由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點,點,即,則,所以.又因為點是圓上的動點,則,故點Q的運功軌跡是以為圓心為半徑的圓,又即為該圓上的點與原點間的距離,因為,所以故答案為:【點睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題,常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑,還考查了求動點的軌跡方程,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)由正弦定理可得,,化簡并結(jié)合,可求得三者間的關(guān)系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】(1)因為,所以,整理得:.因為,所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,則,因為的面積是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標(biāo)以及列方程,由此求得,進(jìn)而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗滿足,故直線的方程為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點的坐標(biāo)求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力,屬于中檔題.19.(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域為,.由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時取得最大值.又∵,∴對任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時,恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時,,∴當(dāng)時,.∵,∴當(dāng)時,,即②.綜上①②可得,.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計算求解能力,屬于難題.,20.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由已知線面垂直得,結(jié)合菱形對角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計算出的長,寫出各點坐標(biāo),求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.又因為,平面,平面,所以平面.解:(2)據(jù)題設(shè)知,兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,因為與平面所成角為,即,所以又,所以,所以所以設(shè)平面的一個法向量,則令,則.因為平面,所以為平面的一個法向量,且所以,.所以二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角,這樣可減少思維量,把問題轉(zhuǎn)化為計算.21.(1)當(dāng)時,沒有極值點,當(dāng)時,有一個極小值點.(2)【解析】試題分析:(1),分,討論,當(dāng)時,對,,當(dāng)時,解得,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。所以,當(dāng)時,沒有極值點,當(dāng)時,有一個極小值點.(2)原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以。所以分和k>1討論。試題解析:(Ⅰ)因為,所以,當(dāng)時,對,,所以在是減函數(shù),此時函數(shù)不存在極值,所以函數(shù)沒有極值點;當(dāng)時,,令,解得,若,則,所以在上是減函數(shù),若,則,所以在上是增函數(shù),當(dāng)時,取得極小值為,函數(shù)有且僅有一個極小值點,所以當(dāng)時,沒有極值點,當(dāng)時,有一個極小值點.(Ⅱ)命題“,”是假命題,則“,”是真命題,即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若,則設(shè)
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