我所認(rèn)識的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

我所認(rèn)識的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系洑陽成明化機(jī)662080706002應(yīng)力和應(yīng)變都是物體受到外界載荷產(chǎn)生的響應(yīng)。物體受到外界載荷后，在物體內(nèi)部各部分之間產(chǎn)生互相之間的力的作用，由于受到力的作用就會產(chǎn)生相應(yīng)的變形；或者由于變形引起相應(yīng)的力的作用。則一定材料的物體其產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變也必然存在一定的關(guān)系。在力學(xué)上由于平衡方程僅建立了力學(xué)參數(shù)（應(yīng)力分量與外力分量）之間的關(guān)系，而幾何方程也僅建立了運(yùn)動學(xué)參數(shù)（位移分量與應(yīng)變分量）之間的聯(lián)系。所以平衡方程與幾何方程是兩類完全相互獨(dú)立的方程，它們之間還缺乏必要的聯(lián)系，這種聯(lián)系即應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。有了可變形材料應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系和力學(xué)參數(shù)及運(yùn)動學(xué)參數(shù)即可分析具體的力學(xué)問題。由平衡方程和幾何方程加上一組反映材料應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系的方程就可求解具體的力學(xué)問題。這樣的一組方程即所謂的本構(gòu)方程。討論應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系即可變?yōu)橐欢ǖ牟牧辖⒑线m的本構(gòu)方程。關(guān)于應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系，我想從以下四點(diǎn)來講：簡單情況下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；屈服條件；塑性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。一、簡單情況下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在簡單情況下，物體只受單向應(yīng)力，即應(yīng)力中只有，而、、、、均為零，產(chǎn)生的應(yīng)變中、、均為零，、、雖然均不為零，但是三者之間存在一定的關(guān)系。簡單情況下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖1所示。（1）彈性階段（OC段）該彈性階段為初始彈性階段OC，包括：線性彈性階段OA段，非線性彈性階段AB段和初始屈服階段BC段。該階段應(yīng)力和應(yīng)變滿足線性關(guān)系，比例常數(shù)稱為彈性模量或楊氏模量，記作：，即在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的初始部分（小應(yīng)變階段），許多材料都服從胡克定律。C點(diǎn)稱為屈服點(diǎn)，記為。（2）塑性階段（CDEF段）CDE段為強(qiáng)化階段，應(yīng)力超過屈服極限，應(yīng)變超過比例極限后，要使應(yīng)變再增加，所需的應(yīng)力必須在超出比例極限后繼續(xù)增加，這一現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化。CDE段的強(qiáng)化階段在E點(diǎn)達(dá)到應(yīng)力的最高點(diǎn)，荷載達(dá)到最大值，相應(yīng)的應(yīng)力值稱為材料的強(qiáng)度極限，記為。超過強(qiáng)度極限后應(yīng)力下降，直到最后試件斷裂。這一階段試件截面積的減小不是在整個試件長度范圍發(fā)生，而是試件的一個局部區(qū)域截面積急劇減小。這一現(xiàn)象稱為“頸縮”。此時，由于頸縮現(xiàn)象的出現(xiàn)，在E點(diǎn)以后荷載開始下降，直至在頸縮部位試件斷裂破壞。這種應(yīng)力降低而應(yīng)變增加的現(xiàn)象稱為應(yīng)變軟化。該階段應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系：。（3）卸載規(guī)律如果應(yīng)力沒有超過屈服應(yīng)力，即在彈性階段OC上卸載，應(yīng)力和應(yīng)變遵循原來的加載規(guī)律，沿CBO卸載。在應(yīng)力超過屈服應(yīng)力后，如果在曲線上任一點(diǎn)D處卸載，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再遵循原有的加載曲線規(guī)律，而是沿一條接近平行于OA的直線DO′變化，直到應(yīng)力下降為零，這時應(yīng)變并不為零，即有塑性應(yīng)變產(chǎn)生。如果用OD′表示總應(yīng)變ε，O′D′表示可以恢復(fù)的彈性應(yīng)變εe，OO′表示不能恢復(fù)的塑性應(yīng)變εp，則有（1-1）即總應(yīng)變等于彈性應(yīng)變加上塑性應(yīng)變。該階段應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系滿足。（4）卸載后重新加載DO′段若在卸載后重新加載，則σ-ε曲線基本上仍沿直線O′D變化，直至應(yīng)力超過D點(diǎn)的應(yīng)力之后，才會產(chǎn)生新的塑性變形。為了與初始屈服相區(qū)別，我們把繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時材料的再度屈服稱為后繼屈服，相應(yīng)的屈服點(diǎn)D稱為后繼屈服點(diǎn)，相應(yīng)的應(yīng)力稱為后繼屈服應(yīng)力，并用表示。顯然，由于硬化作用，＞，而且與不同，不是材料常數(shù)，它的大小與塑性變形的大小和歷史有關(guān)。（5）卸載全部載荷后反向加載如果在完全卸載后施加相反方向的荷載，如將拉伸改為壓縮，則σ-ε曲線上彈性階段OC段沿曲線OA′變化，有。DO′D′段沿DO'的延長線下降，開始是呈直線關(guān)系，但到達(dá)D″點(diǎn)后又開始進(jìn)入屈服，此時，即出現(xiàn)反方向的屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為Bauschinger效應(yīng)。這個效應(yīng)說明材料在某一個方向的硬化將引起反方向的軟化。這樣，即使是初始各向同性的材料，在出現(xiàn)塑性變形之后，就變?yōu)楦飨虍愋?。雖然在多數(shù)情況下為了簡化而忽略Bauschinger效應(yīng)，但對有反復(fù)加載和卸載的情形，必須予以考慮。圖1簡單情況下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系二、彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1、線性彈性體本構(gòu)關(guān)系線性彈性體應(yīng)當(dāng)滿足以下三個條件：完全弾性，即任意時刻應(yīng)力應(yīng)變一一對應(yīng)；無初應(yīng)力，即在初始狀態(tài)時應(yīng)力和應(yīng)變均為0。線彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫為：=（2-1）其中，為材料彈性常數(shù)，它與彈性體內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，溫度及方向有關(guān)。由于應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對稱性，同時彈性矩陣具有對稱性，從彈性應(yīng)變能密度函數(shù)的概念出發(fā)，可以證明上述81個材料彈性常數(shù)中，實(shí)際上獨(dú)立的材料彈性常數(shù)只有21個。滿足廣義胡克定律的線彈性體稱為各向異性彈性體，各向異性彈性體是線性彈性體的最一般情況。實(shí)際上，大多數(shù)線性彈性體都具有某種取向性，因此，所滿足的本構(gòu)關(guān)系也更簡單。2、常見的線性彈性體及其相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系對于極端各向異性的線性彈性體來講，其獨(dú)立的材料常數(shù)有21個；具有一個彈性對稱面（如xy面）的線性彈性體的獨(dú)立的材料常數(shù)有13個；正交各向異性的線性彈性體的獨(dú)立的彈性常數(shù)有9個；橫觀（如xz面）各向同性的線性彈性體的獨(dú)立的彈性常數(shù)5個；各向同性的線性彈性體的獨(dú)立的彈性常數(shù)有2個。3、各向同性體的本構(gòu)關(guān)系若材料某點(diǎn)沿任意方向的力學(xué)性質(zhì)都相同時，材料常數(shù)與方向無關(guān)，稱為各向同性材料。各向同性體的本構(gòu)關(guān)系有如下特點(diǎn)：正應(yīng)力引起線應(yīng)變，剪應(yīng)力引起剪應(yīng)變；應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸是重合的；體積應(yīng)力與體積應(yīng)變成比例；應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度成比例；應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量成比例。廣義胡克定律對任意正交坐標(biāo)系都是成立的，此時的胡克定律主要有應(yīng)力表示應(yīng)變的廣義胡克定律、應(yīng)變表示應(yīng)力的廣義胡克定律、體積胡克定律、應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度表示的胡克定律以及球張量與偏張量表示的胡克定律。三、屈服條件研究材料的塑性特性時，首先要弄清楚材料什么時候進(jìn)入塑性變形階段，即什么時候達(dá)到屈服。固體在載荷作用下，最初處于彈性狀態(tài)，隨著載荷逐步增加至一定程度使固體內(nèi)應(yīng)力較大的部位出現(xiàn)塑性變形，固體由初始彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)的過程就是初始屈服。需要找到確定材料初始彈性狀態(tài)的界限的準(zhǔn)則，這個準(zhǔn)則就稱為初始屈服條件，簡稱屈服條件。1、初始屈服條件（1）初始屈服函數(shù)在簡單應(yīng)力狀態(tài)下，如前面所述的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可知，當(dāng)固體內(nèi)部應(yīng)力達(dá)到初始屈服極限時將產(chǎn)生初始屈服，即。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，初始屈服函數(shù)可以寫成：（3-1）其中，C是與屈服有關(guān)的材料常數(shù)。對于均勻的各向同性材料，初始屈服函數(shù)f與坐標(biāo)和方向無關(guān)，常寫成由主應(yīng)力或主應(yīng)力不變量表示的形式：（3-2）（3-3）（3-4）（3-5）（2）初始屈服面以應(yīng)力張量的六個分量為坐標(biāo)軸，就建立起一個六維應(yīng)力空間，屈服函數(shù)表示應(yīng)力空間中的一個曲面，即屈服曲面（簡稱屈服面）。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于該曲面之內(nèi)時（即），材料處于彈性狀態(tài)；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位于此曲面上時（），材料由初始彈性開始屈服；如果應(yīng)力進(jìn)一步增加，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。假設(shè)：材料是初始各向同性的；平均應(yīng)力（靜水應(yīng)力）不影響塑性狀態(tài)。通過第一個假設(shè)，屈服面由六維空間中的一個超曲面簡化為三維主應(yīng)力空間中的一個曲面；通過第二個假設(shè)，屈服面簡化為一條曲線。在主應(yīng)力空間中，固體一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用一個矢量OP來描述（圖2），矢量OP可寫為：（3-6）分解成為偏量部分與球量部分有：（3-7）有上述第二個假定，ON與材料的塑性狀態(tài)無關(guān)。從幾何上看ON與軸的夾角相等，且正交于過原點(diǎn)的一個平面，這個平面的方程為：（3-8）該平面平均應(yīng)力等于0，習(xí)慣稱之為平面。根據(jù)第二個假定，在主應(yīng)力空間中，屈服面必定是一個垂直與平面的等截面的柱面，它的母線與矢量ON平行。屈服面是一個等截面的柱面，它在任意垂直與ON的平面上的投影曲線都是一樣的，研究這個柱面的特征，只要研究它在平面上的投影曲線即可，這條投影曲線稱為屈服曲線。圖2主應(yīng)力空間里的屈服面圖3平面上的屈服曲線（3）常用屈服條件Tresca屈服條件1864年，法國人Tresca做了一系列的金屬擠壓試驗(yàn)來研究屈服條件。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，他提出假設(shè)：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料發(fā)生屈服。這個條件稱為Tresca屈服條件，也稱為最大剪應(yīng)力條件。（3-9）c是和屈服有關(guān)的材料常數(shù)。Mises屈服條件Tresca屈服條件在平面上的幾何圖形是一個正六邊形，它的六個頂點(diǎn)是由試驗(yàn)得到的，但是連接這六個點(diǎn)得直線卻是假設(shè)的，而且Tresca正六邊形的角點(diǎn)也給問題的數(shù)學(xué)處理帶來了不便。在1913年，Mises提出采用一個圓來連接Tresca正六邊形的六個頂點(diǎn)可能更加合理，它可以避免由于屈服曲線不光滑而造成的數(shù)學(xué)困難。Mises提出的屈服條件為：（3-10）其中，C也是和材料性質(zhì)有關(guān)的一個常數(shù)。它可通過實(shí)驗(yàn)確定。若做簡單拉伸實(shí)驗(yàn)，則材料屈服時有，所以：（3-11）若做純剪實(shí)驗(yàn)，則材料屈服時有，所以（3-12）2、后繼屈服條件與后繼屈服曲面后繼屈服條件又稱加載條件或硬化條件。在單向應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力分量，其中為非材料常數(shù)，與塑性變形的歷史有關(guān)，比初始屈服極限大。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，后繼屈服函數(shù)為，與瞬時應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，K與變形歷史有關(guān)。后繼屈服面是一族與K即變形歷史有關(guān)的曲面。加載函數(shù)和加載曲面的形式非常復(fù)雜，至今沒有完全解決，只是根據(jù)一維應(yīng)力狀態(tài)規(guī)律建立模型或假設(shè)。四、塑性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1、理想塑性材料加載和卸載理想塑性材料的加載面和屈服面總是保持一致，所以，加載函數(shù)和屈服函數(shù)可以統(tǒng)一表示為或它們均與塑性變形的大小和加載歷史無關(guān)。于是，在荷載改變的過程中，如果應(yīng)力點(diǎn)保持在屈服面上，即df=0，此時塑性變形可以任意增長，就稱為加載。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面上退回屈服面內(nèi)，即df<0，就表示變形狀態(tài)從塑性變?yōu)閺椥?，此時不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載。理想塑性材料的上述加載和卸載準(zhǔn)則，可以用數(shù)學(xué)形式表示為（彈性狀態(tài)）（加載）（卸載）2、硬化材料加載、卸載對于硬化材料，加載面將隨著塑性變形的發(fā)展而不斷變化，它的加載和卸載準(zhǔn)則與理想塑性材料不同，只有指向加載面之外才是加載；當(dāng)正好沿著加載面變化時，加載面不會變化，稱