系統(tǒng)的復(fù)頻域分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

實(shí)驗(yàn)六系統(tǒng)的復(fù)頻域分析6.1)信號(hào)x(t)6.1)X(s)=J x(t)e-stdt是連續(xù)時(shí)間傅立葉變換地推廣。連續(xù)時(shí)間傅立葉變換在研究連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中是很有用的。然而，許多信號(hào)不存在傅立葉變換而存在拉普拉斯變換，這使得拉普拉斯變換成為線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的一種有用方法。對(duì)一大類信號(hào)來(lái)說(shuō)，它們的拉普拉斯變換可以表示為s的多項(xiàng)式之比，即這里N(s)和D(s)分別稱作分子和分母多項(xiàng)式。能表示成多項(xiàng)式之比的變換稱為有理變換，這里作為滿足線性常系數(shù)微分方程的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)中常常出現(xiàn)。除了一個(gè)標(biāo)量因子外，有理變換是完全由多項(xiàng)式N(s)和D(s)的根決定的，這些根分別稱為零點(diǎn)和極點(diǎn)。由于這些根在LTI系統(tǒng)的研究中起著重要的作用，所以它們以零極點(diǎn)圖的方式展現(xiàn)出來(lái)的是很方便的。這一章將用拉普拉斯變換在復(fù)頻域研究LTI系統(tǒng)的一些性質(zhì)。§6.1MATLAB函數(shù)lsim(用于系統(tǒng)函數(shù))目的用lsim仿真由系統(tǒng)函數(shù)表征的因果LTI系統(tǒng)的輸出。相關(guān)知識(shí)第二章所討論的是如何用lsim命令仿真一個(gè)輸出滿足一個(gè)線性常系數(shù)微分方程的因果LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。因?yàn)橄到y(tǒng)函數(shù)唯一地表征了關(guān)聯(lián)系統(tǒng)輸入和輸出的微分方程。所以由系統(tǒng)函數(shù)表征的因果LTI系統(tǒng)的輸出也能夠用lsim仿真。如果系統(tǒng)函數(shù)給出如下形式：H(s)=b(l)sM+???+b(M-l)s+b(M) (6.2)a(1)sN+ +a(N-1)s+a(N)那么，對(duì)輸入地系統(tǒng)x(t)的系統(tǒng)輸出就能用lsim(b,a,x,t)仿真，其中MATLAB向量b和a包含了分子分母s多項(xiàng)式的系數(shù)。例如，考慮系統(tǒng)函數(shù)H(s)=斗匚，其系數(shù)由向量b=[11/2]和a=[1-2]定義。s—2命令lsim(b,a,x,t)將系統(tǒng)對(duì)由向量x給出的輸入，在向量t給定的時(shí)刻上的系統(tǒng)的y2=lsim(a2,b2,x,t);y3=lsim(a3,b3,x,t);[t',x',y1,y2,y3]結(jié)果：ans=01.00001.000002.00000.10000.99500.63340.29481.83660.20000.98010.32610.57791.66670.30000.95530.06920.84681.49100.40000.9211-0.14441.09911.31050.50000.8776-0.32051.33231.1262§6.2作連續(xù)時(shí)間的零極點(diǎn)圖目的這一節(jié)要學(xué)習(xí)如何在一個(gè)零極點(diǎn)圖上展現(xiàn)有理系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)。相關(guān)知識(shí)一個(gè)有理系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)能用函數(shù)roots計(jì)算出。例如，對(duì)于系統(tǒng)函數(shù)為H(H(s)=s一1s2+3s+2的LTI系統(tǒng)，其零極點(diǎn)可用執(zhí)行如下命令而計(jì)算出：>>b=[1-1];>>a=[132];>>zs=roots(b)zs=1>>ps=roots(a)ps=一個(gè)簡(jiǎn)單的零極點(diǎn)圖可以用在復(fù)數(shù)s平面內(nèi)，在每個(gè)極點(diǎn)的位置放一個(gè)'X',在每個(gè)零點(diǎn)的位置放一個(gè)'o'來(lái)完成，也即>>plot(real(zs),imag(zs),'o');>>holdon>>plot(real(ps),imag(ps),'X');>>grid>>aXis([-33-33])基本題1.下列每個(gè)系統(tǒng)函數(shù)都對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)。用roots求每個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)，如上所示的利用plot畫(huà)出零極點(diǎn)圖并作適當(dāng)標(biāo)注。H(s)= S+5s2+2s+3H(s)=2s2+5s+12s2+2s+10H(s)= 2s2+5s+12-(s2+2s+10)(s+2)代碼：a1=[1,5];b1=[1,2,3];a2=[2,5,12];b2=[1,2,10];a3=[2,5,12];b3=[1,4,14,20];zs11=roots(a1);ps11=roots(b1);zs21=roots(a2);ps21=roots(b2);zs31=roots(a3);ps31=roots(b3);subplot(3,1,1)plot(real(zs11),imag(zs11),'o');holdon;plot(real(ps11),imag(ps11),'x');subplot(3,1,2)plot(real(zs21),imag(zs21),'o');holdon;plot(real(ps21),imag(ps21),'x');subplot(3,1,3)plot(real(zs31),imag(zs31),'o');holdon;plot(real(ps31),imag(ps31),'x');例如，具有單位沖激響應(yīng)為h(t)=e-atu(t),h(t)=-e-atu(-t)的因果和反因果LTI系c ac統(tǒng)就有相同的分子和分母多項(xiàng)式的有理系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=—-— Res)>-acs+aH(s)=—1— Re(s)<-aacs+a然而，它們有不同的系統(tǒng)函數(shù)，因?yàn)樗鼈冇胁煌氖諗坑颉?．對(duì)1中每個(gè)有理表達(dá)式，確定它們的收斂域。a1=[1,5];b1=[1,2,3];a2=[2,5,12];b2=[1,2,10];a3=[2,5,12];b3=[1,4,14,20];zs11=roots(a1);ps11=roots(b1);zs21=roots(a2);ps21=roots(b2);zs31=roots(a3);ps31=roots(b3);abs(zs11)abs(zs21)abs(zs31)結(jié)果ans=5ans=2.4495ans=2.44952.44953．對(duì)輸入和輸出滿足下面微分方程：如—3y(t)=空型+2如+5x(t)dt dt2 dt的因果LTI系統(tǒng)，求系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，并完成一幅適當(dāng)標(biāo)注的零極點(diǎn)圖。a=[1,-3];b=[1,2,5];zs=roots(a);ps=roots(b);plot(real(zs),imag(zs),'o');holdon;plot(real(ps),imag(ps),'x');grid;§6.3MATLAB函數(shù)freqz目的學(xué)習(xí)用函數(shù)freqz繪制LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。相關(guān)知識(shí)一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)可以完全用它的頻率響應(yīng)h(妙)來(lái)表征。若X(jo)是系統(tǒng)輸入的CTFT，那么y(jo)=h(jo)X(jo)。就給出了系統(tǒng)輸出的CTFT。輸入和輸出滿足線性常系數(shù)微分方程的LTI系統(tǒng)是一類重要的系統(tǒng)，其部分原因是因?yàn)檫@些系統(tǒng)的頻率響應(yīng)很容易求得。即滿足下面微分方程的LTI系統(tǒng)：藝adky(t)正bdmx(t)kdtk mdtmk=0 m=0其頻率響應(yīng)可直接得出為H(o)=bM(jO)M+bM1(jO)MT+…+bl(jO)+ban(jo)N+anJjo)n-i+ +ai(jo)+a0函數(shù)freqz(b,a)能用于計(jì)算并畫(huà)出這個(gè)頻率響應(yīng)，其中向量b和a分別包含系數(shù)bm和a。在b和a中系數(shù)的排列次序與對(duì)lsim輸入所要求的次序是完全相同的。k現(xiàn)考慮一階微分方程如+3y(t)=3x(t)，它描述的是一個(gè)因果、穩(wěn)定的LTIdt系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是H(jo)= 「。如果對(duì)freqz(b,a)3+jo沒(méi)有提供宗量，那么將自動(dòng)畫(huà)出h(jo)的幅值和相位。執(zhí)行如下命令：>>a=[13];>>b=3;>>freqs(b,a)就可得到下圖。可用其頻率特性表達(dá)式自行確認(rèn)下圖的幅值和相位是正確的。命令freqz自動(dòng)選擇畫(huà)出h(jo)的頻率范圍。如果想要h(jo)在特定的o值上畫(huà)出，或者在一個(gè)不同于由freqz自動(dòng)選定的頻率范圍畫(huà)出h(jo)，可以將這些頻率作為輸入給出。例如，執(zhí)行如下命令>>w=linspace(0,3*pi);>>H=freqz(b,a,w)

就產(chǎn)生在o<&<3兀區(qū)間內(nèi)，100個(gè)等間隔&上的Hj)。-D-O-D-D-O-D-O-D-O基本題1.利用freqz畫(huà)出微分方程3仝皿+4如+y(/)=必也+5x(t)描述的一個(gè)因果、dt2 dt dt2穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的幅值和相位。代碼：a=[3,4,1];b=[1,0,5];freqs(b,a);

Elpn-F『IT;>20ooo-2o-4Elpn-F『IT;>20ooo-2o-450

HIoooo55o-1藍(lán)巴曇)EISFd101010FfEquEncy(rad/s)§6.4系統(tǒng)的時(shí)域和頻域特性目的考慮幾個(gè)由線性常系數(shù)微分方程描述的穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，對(duì)這些系統(tǒng)要求計(jì)算它們的單位沖激響應(yīng)和頻率響應(yīng)。盡管用頻率響應(yīng)或單位脈沖響應(yīng)都足以完全表征一個(gè)LTI系統(tǒng)，但是將會(huì)明白有時(shí)候既從時(shí)域，又從頻域來(lái)考慮系統(tǒng)特性是很有利的。相關(guān)知識(shí)因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)任意輸入x(t)的響應(yīng)y(t)由卷積y(t)=h(t)*x(t)給出，所以一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)完全表征了該系統(tǒng)。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么該系統(tǒng)的一個(gè)等效表示就由它的頻率響應(yīng)H()給出，這時(shí)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換是由Y()=H()X()關(guān)聯(lián)的。基本題考慮由下面微分方程給出的一類因果LTI系統(tǒng)dy(t)百+a0y(t)=aox(t)其中a>0以保證穩(wěn)定性。定乂系統(tǒng)I是滿足上式，a=3的系統(tǒng)，系統(tǒng)II是a=13000的系統(tǒng)。用解析法導(dǎo)出對(duì)應(yīng)于上式的穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，同時(shí)確定這個(gè)頻率響應(yīng)的幅值和相位。分析：本系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性為H(jw)=a0/(jw+a0)，幅值為a0*aO/(w*w+a0*aO),相位為-actan(-w/a0)。定義w=linspace(0,10),利用freqz計(jì)算系統(tǒng)I和系統(tǒng)II在w頻率上的頻率響應(yīng)，在單一的圖上畫(huà)出這兩個(gè)頻率響應(yīng)的幅值。這兩個(gè)幅值圖與解析表達(dá)式中頻率響應(yīng)的幅值一致嗎？代碼：w=linspace(0,10);a=[3];b=[13];a1=[1/3];b1=[11/3];subplot(211)H=freqz(a,b,w)plot(abs(H));subplot(212)H1=freqz(a1,b1,w)plot(abs(H1));

由圖形與表達(dá)式可知，這兩個(gè)幅值圖與解析表達(dá)式中頻率響應(yīng)的幅值一致3.用函數(shù)impulse計(jì)算系統(tǒng)I和系統(tǒng)II在向量t=linspace(0,5)所定義的時(shí)間樣本點(diǎn)上的單位沖激響應(yīng)。代碼：t=linspace(0,5)a=[1,3];b=3;a1=[11/3];b1=1/3;subplot(211),impulse(b,a,5),grid;subplot(212),impulse(b1,a1,5),grid;

iLiPE-dE-=]ImpulseResponseLOO-一-O4.3.2「iLiPE-dE-=]ImpulseResponseLOO-一-O4.3.2