第四講 絕對值函數(shù)和絕對值不等式

從高考到自主招生·第四講：絕對值不等式和絕對值函數(shù)共16頁，第16頁絕對值函數(shù)和絕對值不等式【知識點】一、絕對值的性質(zhì)1.|a|=eq\b\lc\{(\a\al(a，a≥0，,－a，a<0))推論①：|ab|≥ab(當且僅當ab≥0時，“=”成立)；推論②：|ab|≥－ab(當且僅當ab≤0時，“=”成立).2.|a|2=a2；二、絕對值不等式3.若a2≥b2，則|a|≥|b|；證明：由性質(zhì)2，a2≥b2|a|2≥|b|2|a|≥|b|.4.|a|≥a，(當且僅當a≥0時等號成立)；推論③：|ab|≥ab.推論④：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.證明：(1)||a|－|b||≤|a－b|：因為|ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a2+b2－2|ab|≤a2+b2－2ab，由性質(zhì)2，則：(|a|－|b|)2≤(a－b)2，由性質(zhì)3即證.此時，當且僅當ab≥0時等號成立.(2)||a|－|b||≤|a+b|.證明：由推論②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，從而：(|a|－|b|)2≤(a+b)2，由性質(zhì)2即證.此時，“=”成立的條件為ab≤0.(3)由2ab≤2|ab|=2|a||b|，則(a+b)2≤(|a|+|b|)2，由性質(zhì)2即證.等號成立的條件為ab≥0.同理可證：|a－b|≤|a|+|b|.等號成立的條件為ab≤0.推論⑤：|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.證明：當n=2時，顯然成立；設(shè)當n=k時，有：|a1+a2+…+ak|≤|a1|+|a2|+…+|ak|；則當n=k+1時，|a1+a2+…+ak+ak+1|=|(a1+a2+…+ak)+ak+1|≤|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|.推論⑥：|a|+|b|=eq\b\lc\{(\a\al(|a+b|，ab≥0，,|a－b|，ab<0，))|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}.證明：若ab≥0，顯然有|a|+|b|=|a+b|，且此時：|a+b|≥|a－b|，所以：|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}；ab<時，同理可證.5.對任意a，b∈R，a+b+|a－b|=2max{a，b}.證明：由于對稱性，不妨設(shè)a≥b，則：a+b+|a－b|=a+b+a－b=2a=2max{a，b}.6.對任意a，b∈R，a+b－|a－b|=2min{a，b}.證明：a+b=max{a，b}+min{a，b}，由性質(zhì)5，|a－b|=2max{a，b}－(a+b)，從而：a+b－|a－b|=a+b－[2max{a，b}－(a+b)]=2(a+b)－2max{a，b}=2max{a，b}+2min{a，b}－2max{a，b}=2min{a，b}.7.對任意實數(shù)a，b，|a+b|+|a－b|=2max{|a|，|b|}.證明①：不妨設(shè)a≥b，則|a－b|+|a+b|=a－b+|a－(－b)|=2max{a，－b}；若b≤a≤0，則2max{a，－b}=2(－b)=2max{|a|，|b|}；若b≤0≤a，則2max{a，－b}=2max{|a|，|b|}；若0≤b≤a，則2max{a，－b}=2a=2max{|a|，|b|}.綜上：命題得證.證明②：由輪換性，不妨設(shè)ab≥0，則|a+b|=|a|+|b|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}；|a－b|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}，兩式相加即得.8.對任意的實數(shù)a，b，|a+b|－|a－b|=eq\b\lc\{(\a\al(2min{|a|，|b|}，ab≥0,－2min{|a|，|b|}，ab<0))證明：若ab≥0，則|a+b|=|a|+|b|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}；|a－b|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}，兩式相減得：|a+b|－|a－b|=2min{|a|，|b|}.若ab<0，則|a+b|=|a－(－b)|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}；|a－b|=|a+(－b)|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}；兩式相減得：|a+b|－|a－b|=－2min{|a|，|b|}四、絕對值函數(shù)1.f(x)=a|x－m|+b(1)函數(shù)y=f(x)以點(m，b)為頂點；注意這個點的軌跡往往可以幫助我們簡化解題；(2)當a>0時，函數(shù)有最小值b，無最大值；當a<0時，函數(shù)有最大值b，無最小值.2.f(x)=a|x－m|+b|x－n|.(1)函數(shù)的圖像是以A(m，f(m))，B(n，f(n))為折點的折線；(2)當a+b>0時，圖像的兩端無限向上延伸，y=f(x)的值域為[min{f(m)，f(n)}，+∞)；(3)當a+b<0時，圖像的兩端無限向下延伸，y=f(x)的值域為(－∞，max{f(m)，f(n)}]；(4)當a+b=0時，函數(shù)的圖像兩端無限平行于x軸，函數(shù)的值域為[min{f(m)，f(n)}，max{f(m)，f(n)}].五、絕對值不等式的其他形式1.向量形式①|(zhì)|a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|||a|－|b||≤|a+b|當且僅當a·b≤0時等號成立；|a+b|≤|a|+|b|當且僅當a·b≥0時等號成立.②||a|－|b||≤|a－b|≤|a|+|b|.③eq\b\bc\|(\a\al(\i\su(i=1,n,λiai)))≤eq\i\su(i=1,n,|λ1||ai|).2.復(fù)數(shù)形式①|(zhì)z1－z2|≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；②.【方法概論】遇到絕對值的問題時，方法主要以下幾種：1.分類討論：即去掉絕對值；這種方法是解決絕對值問題的基本辦法。一般說來，分類討論主要是用“零點分類討論”的方法，即絕對值內(nèi)什么時候非負，什么時候為負，要做到“不重不漏”；2.幾何意義：絕對值的幾何意義主要分為兩塊，一個是表示函數(shù)圖象的翻折，另一個則表示數(shù)軸上兩點之間的距離；3.用絕對值不等式：將含有絕對值的不等式或者函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們上面的結(jié)論或者推論，從而直接應(yīng)用前面的結(jié)論或者推論.無論應(yīng)用上面的哪一種方法，拿到題目以后盡量先畫出函數(shù)的草圖是很重要的.典型例題：題型一、分類討論核心技能：分類討論是解決絕對值函數(shù)問題的主要的方法，解題時，注意函數(shù)的的定義域，做到“不重不漏”.【例題1】【2016年浙江高考，19】已知a≥3，函數(shù)F(x)=min{2|x－1|，x2－2ax+4a－2}.(1)求使得F(x)=x2－2ax+4a－2成立的x的取值范圍；(2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在區(qū)間[0，6]上的最大值M(a).此題的解法顯然是分類討論，去掉題中的絕對值.【例題2】【浙江省衢州市2015年4月高三教學(xué)質(zhì)量檢測，15】已知函數(shù)f(x)=x2－2x，若關(guān)于x的方程|f(x)|+|f(a－x)|=t有四個不同的實數(shù)解，且四個根之和為2，則實數(shù)t的取值范圍為.先由函數(shù)的對稱性性質(zhì)求出a的值，然后寫出分段函數(shù)的形式，最后由函數(shù)的圖象即可得出答案.【例題3】【2015高考湖北，文17】a為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為.當_________時，的值最小.由于a的值不同，從而g(a)的表達式也不一樣，需要分情況討論.【例題4】【2015年浙江省金華一中全真模擬考試(理)，20】已知函數(shù)f(x)=x2－|ax－b|(其中，a∈R+，b∈R)(1)若a=2，b≥2，且函數(shù)f(x)的定義域和值域均為(1，b)，求b的值；(2)若函數(shù)f(x)的圖像于直線y=1在(0，2)上有兩個不同的交點，試求eq\f(b,a)的取值范圍.適當轉(zhuǎn)化思路，即可得到比較簡便的解答.題型二、數(shù)形結(jié)合核心技能：掌握絕對值的兩種幾何意義，并能應(yīng)用.【例題5】【2017年浙江省臺州市高三期末質(zhì)量評估，17】已知函數(shù)f(x)=eq\b\bc\|(\a\al(x+\f(1,x)－ax－b))，當x∈eq\b\bc\[(\a\al(\f(1,2)，2))時，設(shè)f(x)的最大值為M，則M的最小值為.設(shè)g(x)=x+eq\f(1,x)，h(x)=ax+b，則f(x)表示為在同一個x0條件下，g(x0)、h(x0)(即兩個縱坐標之差的絕對值)的大小.【例題6】【2017年9+1聯(lián)盟期中，17】當x∈eq\b\bc\[(\a\al(\f(3,2)，4))，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，則6a+b的最大值是.先將等式兩邊同除以x然后應(yīng)用線性規(guī)劃的方法加以解決，當然，也可以用“線性表出”的方法.【例題7】【2015年浙江高考理，14】已知實數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y－2|+|6－x－3y|的最小值是.一樣是一道線性規(guī)劃的問題.【例題8】【2011年北約考試】求函數(shù)f(x)=|x－1|+|2x－1|+…+|2011x－1|的最小值.考察絕對值的幾何意義.【例題9】【2010年新疆預(yù)賽，1】由曲線|x|－|y|=|2x－3|所圍成的幾何圖形的面積為.考慮絕對值的幾何意義.題型三、轉(zhuǎn)化和放縮核心技能：掌握【知識點】部分的各個結(jié)論及其推論，包括等號成立的條件.【例題10】【2017年浙江高考，17】已知a∈R，函數(shù)f(x)=eq\b\bc\|(\a\al(x+\f(4,x)－a))+a在區(qū)間[1，4]上的最大值為5，則實數(shù)a的取值范圍是.令t=x+eq\f(4,x)，t∈[4，5]，則原題轉(zhuǎn)化為g(t)=|t－a|+a≤5在t∈[4，5]上恒成立的問題.【例題11】【2017年湖州、麗水、金麗衢聯(lián)考】設(shè)m∈R，f(x)=|x3－3x－2m|+m在x∈[0，2]上的最大值和最小值之差為3，則m=.鞏固例題9的方法，并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法.【例題12】【2017年浙江省嵊州市高三第一學(xué)期質(zhì)調(diào)】已知eqf(x)=x2+(a－4)x+1+|x2－ax+1|的最小值為eq\f(1,2)，則是實數(shù)a的值為.不妨設(shè)g(x)+h(x)=x2+(a－4)x+1，g(x)－h(huán)(x)=x2－ax+1，然后即可發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).【例題13】【浙江省杭州市2017屆高三二模，17】已知實數(shù)l>0，若|f(x)+f(x+l)－2|+|f(x)－f(x+l)|≥2恒成立，則l的最小值為.令g(x)=f(x)－1，則原條件轉(zhuǎn)化為|g(x)+g(x+l)|+|g(x)－g(x－l)|≥2.注意到g(x+l)(l>0)是將函數(shù)g(x)的圖像向左平移l個單位所得到.這種圖象的平移要重視，比如已知f(x)為R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=eq\f(1,2)(|x－a2|+|x－2a2|－3a2)，若對任意的實數(shù)x∈R都有f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為.【例題14】【浙江省2016年高考，15】已知向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))滿足：|eq\o(a,\s\up6(→))|=1，|eq\o(b,\s\up6(→))|=2，若對任意的單位向量eq\o(e,\s\up6(→))，都有|eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(e,\s\up6(→))|+|eq\o(b,\s\up6(→))·eq\o(e,\s\up6(→))|≤eq\r(6)，則eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))的最大值是.這一道題的解法比較多，唯獨用絕對值不等式比較簡便：由2(a2+b2)=10，而|eq\o(a,\s\up6(→))+eq\o(b,\s\up6(→))|≤|eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(e,\s\up6(→))|+|eq\o(b,\s\up6(→))·eq\o(e,\s\up6(→))|≤eq\r(6)，而4a·b=(a+b)2－(a－b)2即可解出答案.【例題15】【2014年安徽預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足eq\b\bc\|(\a\al(z+\f(1,z)))≤2，則|z|的取值范圍是.設(shè)|z|=r，則eq\b\bc\|(\a\al(r－\f(1,r)))≤2，考慮其意義是什么?【例題16】【浙江省2015年高考，18】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[－1，1]上的最大值.(1)證明：當|a|≥2時，M(a，b)≥2；(2)當a，b滿足M(a，b)≤2時，求|a|+|b|的最大值.注意基本不等式：min{a，b}≤eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)≤eq\r(\f(a2+b2,2))≤max{a，b}.【例題17】【2014年河北預(yù)賽，6】已知對x∈[0，1]，都有|ax+b|≤1，則|bx+a|的最大值為.令f(x)=ax+b，則f(0)=b，a=f(1)－f(0).【例題18】【2018年浙江省預(yù)賽，12】設(shè)a∈R，且對任意實數(shù)b均有eq\o(max,\s\do7(x∈[0，1]))|x2+ax+b|≥1，求a的取值范圍.此題的解法比較多，應(yīng)用絕對值不等式是最簡的解法.【例題19】【2017年全國聯(lián)賽，9】設(shè)k、m為實數(shù)，不等式|x2－kx－m|≤1對所有x∈[a，b]成立.證明：b－a≤2eq\r(2).【過關(guān)習(xí)題4】1.【2018年學(xué)考選考十校聯(lián)盟，☆☆】已知a，b是實數(shù)，則“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a－b|≤2”的.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.【2018年紹興高三適應(yīng)性考試，，☆☆】已知a>0，函數(shù)f(x)=|x2+|x－a|－3|在區(qū)間[－1，1]上的最大值是2，則a=.3.【2018年溫州二模，17，，☆☆☆】已知f(x)=x2－ax，|f(f(x))|≤1在[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的最大值為.4.【2017年紹興諸暨二模，，☆☆☆☆】已知函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|在區(qū)間[0，c]內(nèi)的最大值為M(a，b∈R，c>0為常數(shù))且存在實數(shù)a，b，使得M取最小值2，則a+b+c=.5.【☆☆】設(shè)正實數(shù)x，y，則|x－y|+eq\f(1,x)+y2的最小值為.6.【2017年杭州二模，10，☆☆】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的兩個零點為x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，則.A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤27.【2017年浙江4月份學(xué)考，☆☆】已知a，b∈R，a≠1，則|a+b|+eq\b\bc\|(\a\al(\f(1,a+1)－b))的最小值為.8.【2017年浙江紹興市柯橋中學(xué)5月質(zhì)檢，8，☆☆】已知x，y∈R，則.A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，則eq\b\bc\((\a\al(x+\f(1,2)))\s\up7(2)+\b\bc\((\a\al(y－\f(1,2)))\s\up7(2)≤\f(3,2)B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，則eq\b\bc\((\a\al(x－\f(1,2)))\s\up7(2)+\b\bc\((\a\al(y－\f(1,2)))\s\up7(2)≤\f(3,2)C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，則eq\b\bc\((\a\al(x+\f(1,2)))\s\up7(2)+\b\bc\((\a\al(y+\f(1,2)))\s\up7(2)≤\f(3,2)D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，則eq\b\bc\((\a\al(x－\f(1,2)))\s\up7(2)+\b\bc\((\a\al(y+\f(1,2)))\s\up7(2)≤\f(3,2)9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知實數(shù)a、b、c，下面四個選項中正確的是.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b－c|≤1，則a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b－c2|≤1，則a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2－c|≤1，則a2+b2+c2<10010.【2017年杭州高級中學(xué)最后一模，17，☆☆】設(shè)實數(shù)x，y，z滿足eq\b\lc\{(\a\al(|x+2y－3z|≤6，,|x－2y+3z|≤6，,|x－2y－3z|≤6，,|x+2y+3z|≤6，))則|x|+|y|+|z|的最大值為.11.【2017年浙江名校協(xié)作體，7，☆】設(shè)f(x)=|2x－1|，若f(x)≥eq\f(|a+1|－|2a－1|,|a|)對任意的a≠0恒成立，則x的取值范圍為.12.【2016年浙江樣卷，☆】已知f(x)=ax2+bx+c，a、b、c∈R，且a≠0，記M(a，b，c)為|f(x)|在[0，1]上的最大值，則eq\f(a+b+2c,M(a，b，c))的最大值是.13.【☆☆】設(shè)函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|，若對任意的實數(shù)a、b，總存在x0∈[0，4]使得f(x0)≥m成立，則實數(shù)m的取值范圍是.14.【2017年浙江縉云、富陽、長興聯(lián)考，☆☆☆】已知函數(shù)f(x)=－x3－3x2+x，記M(a，b)為函數(shù)g(x)=|ax+b－f(x)|(a>0，b∈R)在[－2，0]上的最大值，則M(a，b)的最小值為.15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b，記M為函數(shù)y=|f(x)|在[－1，1]上的最大值，N為|a|+|b|的最大值，則.A.若M=eq\f(1,3)，則N=3B.若M=eq\f(1,2)，則N=3C.若M=2，則N=3D.若M=3，則N=316.【2017年諸暨，☆☆☆】設(shè)函數(shù)f(x)=|ax+2eq\r(x)+b|，若對任意的x∈[0，4]，函數(shù)f(x)≤eq\f(1,2)恒成立，則a+2b=.17.【浙江省紹興市2017屆高三二模，17，☆☆☆】已知對任意實數(shù)x都有|acos2x+bsinx+c|≤1恒成立，則|asinx+b|的最大值為.18.【浙江省嘉興市2016屆高三教學(xué)質(zhì)量測試(二)，14，☆☆】設(shè)max{a，b}=eq\b\lc\{(\a\al(a(a≥b),b(a<b)))，已知x，y∈R，m+n=6，則F=maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\al(|x2－4y+m|，|y2－2x+n|))的最小值為．19.【☆☆】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若對任意的|x|≤1，都有|f(x)|≤1，則|a|+|b|+|c|的最大值為.20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐標系xOy中，O為原點，A(－1，0)，B(0，eq\r(3))，C(3，0)，動點D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|=1，則|eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值為.21.【浙江省2017年預(yù)賽，10，☆☆☆】已知f(x)=eq\b\lc\{(\a\al(－2x，x<0，,x2－1，x≥0，))若方程f(x)+2eq\r(1－x2)+|f(x)－2eq\r(1－x2)|－2ax－4=0有三個不等的實數(shù)根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，若x3－x2=2(x2－x1)，則a=.22.【2006年遼寧，☆】已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)(sinx+cosx)－eq\f(1,2)|sinx－cosx|，則f(x)的值域為.23.【2008年江西，☆】函數(shù)y=tanx+sinx－|tanx－sinx|在區(qū)間eq\b\bc\((\a\al(\f(π,2)，\f(3π,2)))內(nèi)的圖像是.24.【浙江省紹興市2015年高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測，15，☆☆☆】當且僅當x∈(a，b)∪(c，d)(b≤c)時，函數(shù)f(x)=2x2+x+2的圖像在函數(shù)g(x)=|2x+1|+|x－t|的下方，則b－a+d－c的取值范圍為.25.【2016高考浙江文數(shù)，☆☆】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______．26.【2014年四川預(yù)賽，9，☆☆】已知a、b為實數(shù)，對任何滿足0≤x≤1的實數(shù)x，都有|ax+b|≤1成立，則|20a+14b|+|20a－14b|的最大值是.27.【2014年黑龍江預(yù)賽，14，☆☆】已知f(x)=eq\b\lc\{(\a\al(－x2+x，x≤1，,log\s\do6(\f(1,2))x，x>1，))g(x)=|x－k|+|x－1|，若對任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，則實數(shù)k的取值范圍為.28.【2014年全國聯(lián)賽，3，☆☆】若函數(shù)f(x)=x2+a|x－1|在[0，+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是.29.【2015年湖北預(yù)賽，1，☆☆】若對任意實數(shù)x，|x+a|+|x+1|≤2a恒成立，則實數(shù)a的最小值為.30.【2016年山東預(yù)賽，1，☆☆☆】方程x=|x－|x－6||的解為.31.【2016年陜西預(yù)賽，12，☆☆】設(shè)x∈R，則函數(shù)f(x)=|2x－1|+|3x－2|+|4x－3|+|5x－4|的最小值為.32.【2016年浙江預(yù)賽，11，☆☆☆】設(shè)a∈R，方程||x－a|－a|=2恰有三個不同的實數(shù)根，則a=.33.【1982年全國，4，☆☆】由曲線|x－1|+|y－1|=1確定的曲線所圍成的圖形的面積是.A.1B.2C.πD.434.【2017年江蘇預(yù)賽，5，，☆☆】定義區(qū)間[x1，x2]的長度為x2－x1.若函數(shù)y=|log2x|的定義域為[a，b]，值域為[0，2]，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值和最小值的差為.35.【2018年浙江預(yù)賽，8，☆】設(shè)f(x)=|x+1|+|x|－|x－2|，則f(